Integral racional en fracciones simples 02 BACHILLERATO matematicas
Hola chicos, gracias por venir a clase
aquí seguimos en este caso con Integrales Racionales se hacen de una manera especial
y ya grabamos un vídeo hace muy poquito en el que explicabamos una
Essential Racional sencilla Una Integral Racional es aquella en la que hay una fracción
que no se puede hacer de otro tipo no es de tipo logaritmo
ni de tipo arcotangente ... y la que hicimos el otro día period así hay un polinomio arriba
y se separaba en dos A partido entre el guide factor más B partido entre el segundo ¿ Por qué se hacía esto? Porque todos los factores que aparecen aquí child factores de primer grado, están elevados a uno. Si aquí por ejemplo también hubiera X-3, aquí pondríamos otra vez
C partido entre (X-3) Así se hacen las Integrales Racionales
cuando los factores son de 1º grado ¿ qué diferencia existe disadvantage este? Que aquí tenemos un element ^ 2 y tiene una pequeñita diferencia que tenéis que entender
¿ hasta aquí bien? ¿ cómo se hace? ...
Pues así, insisto otra vez en esto Esto sería A partido entre el guide element hasta aquí sería algo parecido Más B partido entre el segundo aspect, No se pone elevado al cuadrado Ahí hay una diferencia, el que está elevado al cuadrado lo pongo elevado a 1 Más C partido entre (X + 2) elevado al cuadrado ¿ Veis? Éste como está al cuadrado se dos veces: uno elevado a uno y el otro elevado a dos Si hubiera estado elevado a 3 pondría:
uno elevado a 1, éste le pondría elevado a 2 y pondría otro elevado a 3. Así hasta que terminará, y así disadvantage todos los factores
¿ habéis entendido la diferencia entre este y este? ... borramos ..., y ahora el truco de este ejercicio es averiguar A, B y C porque esta integral ya veremos que es una indispensable
de tipo Logarítmico y esta es una integral de tipo Exponencial.Son muy fáciles de hacer, luego las explico Hay que averiguar A, B y C y para ello se hace esto ... lo mismo que hicimos en las integrales más sencillas de este tipo Bueno, por cierto, antes de continuar. Se hacen de esta manera, como integrales Racionales aquellas fracciones, aquellas funciones racionales, en las que el grado del denominador es más grande que el grado del numerador porque en caso contrario, en caso que el grado del de arriba, el numerador, sea más grande que el de abajo lo que habrá que hacer será una división de polinomios.Tengo un vídeo, buscadlo, se llama Integral Racional UNICOOS y encontrareis un ejemplo de ese tipo cuando el grado del de arriba, del numerador es más grande que el del denominador hay que hacer una división de polinomios, ¿ vale? Pero en caso de que ocurra esto, que el grado. fijao que el grado del de abajo es 3, esta X está elevado a 1, aquí hay una X al cuadrado y el de arriba es solo 2 hay que hacer esto porque tampoco es de tipo Logaritmico. no es una función abajo y la derivada de la función arriba ... No es del tipo Arcotangente ... no es 1 más una función al cuadrado y arriba la derivada de esa función ... No es una Indispensable inmediata, por eso hay que hacer toooodaa esta fear Una vez dicho por qué estoy haciendo este método, empezamos a desarrollar esto. Esto lo ponemos igual. y ahora hay que averiguar A, B y C. ¿ Para ello? Para ello hacemos el mínimo común múltiplo de( X-3), (X +2 )y (X +2) al cuadrado Comunes y no comunes elevados al mayor exponente Dos. Lo mismo que teníamos al principio y esto se pone exactamente igual ¿ Siguiente paso? A ver. Como cuando sumo fracciones Se split esto entre el de abajo y lo que me da lo multiplico por el de arriba( X-3 )por( X +2) al cuadrado si lo divido entre (X-3) si a esto le quito esto, me queda( X +2) al cuadrado Por. El de arriba Más. Si a todo esto le quito (X +2). Pero fijaos que esto está elevado a 2 y esto está
elevado a 1, me quedará( X-3 )y (X +2) también espero que entendáis este paso y si a todo esto le quito (X +2) al cuadrado me queda X-3 (X-3) por el de arriba Perfecto, ¿ Hasta aquí bien? esto y esto, es exactamente lo mismo es una ecuación disadvantage los mismos denominadores a ambos lados y se puede tachar Voy a darle marcha al
rotulador, que se está agotando. Y simplemente escribimos una ecuación un poco más sencillita Sobre esta ecuación hallaremos A, B y C Esta ecuación, importantísima. Si habéis llegado aquí
ya tenemos medio ejercicio hecho ¿ qué hay que hacer ahora? Lo mismo que hicimos en el anterior ejercicio Hay que dar valores a la X, cualquiera, pero ahora os diré cuales son los mejores para averiguar estas tres letras ¿ qué valores kid los mejores? Aquellos que consigan anular alguno de estos factores por ejemplo, si X= 3, 3-3 es cero, y cero x algo se iría todo esto y 3-3 es cero, también se iría todo lo de la C X= 3, si X= 3 sustituimos. 3 al cuadrado, 9 3 +2 =5, al cuadrado, 25 25 por A y luego sigo, porque 3-3 es 0, y 0 por algo es 0. 3-3 es 0 y 0 por C es 0, ¿ vale? De aquí sacaríamos A. Y me queda eso el 25 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo y me queda 9 partido entre
25 Ya tenemos A, ¿ bien?:--RRB-. Vamos con la siguiente si X es -2, el que va a ser 0 es. este variable y este aspect Si X es -2, sería -2 al cuadrado, 4 -2+ 2 es 0, 0 al cuadrado es 0, 0 por algo es 0 -2 +2 es 0
, 0 por todo esto es 0,. me queda, -2 -3 =-5 ... -5 C ¿ Hasta aquí bien? Perfecto:--RRB- El -5 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo y me queda -4 partido entre 5 ¿ bien? ahora, ¿ que nos faltaría?, simplemente averiguar B. ¿ como averiguamos B?, con otro valiance pero ya no va a haber ningún valor que anule uno de estos factores y por tanto tendré que elegir un valor cualquiera ¿ cual es el valor que más me gusta? El 0 Si X es 0, me queda, 0 al cuadrado, 0 0 +2= 2, al cuadrado, 4 4 por A, pero recordemos que An age 9 partido entre 25 ... Seguimos. 0 -3, -3 ... 0 + 2= 2 -3 por 2= -6 ... -6 B y 0- 3, -3 ... -3 por C, -3 por eso sería, -3 por -4
/ 5, lo hago despacito Menos por menos es más y 3 por 4 es 12 Doce quintos Continuamos aquí chicos ¿ vale? Nos quedaba esta ecuacioncita, he copiado ya el valiance de A y C y ahora continuamos cheat esto. Para hacer esto nos va a tocar hacer operaciones sencillas voy a tener que cambiar el rotulador dentro de muy poquito -6 B que está restando pasa al otro lado sumando me toca hacer el mínimo común múltiplo para hacer esta suma de fracciones ¿ vale? Mínimo comun múltiplo es 25. 25 entre 25 es 1 ... 1 por 36, 36 25 entre 5 es 5 ... 5 por 12 child 60 me quedan 96 partido entre 25 ¿ De acuerdo? Este 6
que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo pasaría abajo dividiendo y me queda 96 partido entre ... 6 por 5 es 30, 6 por 2 es 12 ... 150 ¡ uy! el rotu y como child los dos pares, simplificamos. 48 partido entre 75 Espero no tener que parar este vídeo para cambiar de rotulador. porque los rotuladores estos cuando empiezan a funcionar, hay que estar media hora apretándolos Bueno. Este sería el valor de B. Tenemos ya. Tenemos A, tenemos C y tenemos B 48 partido entre 75. Esto es A, esto es B y esto es C Y este A, este B y este C hay que ponerlo aquí, aquí y aquí esto lo borro, ya no me hace falta y me queda Continuamos con el rotulador nuevo. ¡ mirad que diferencia! igual que esto ¿ no? pinta muchísimo mejor, bueno continuamos fool la Essential he tenido que parar porque la Ley de Murphy es implacable Esto es 9 partido entre 25, partido entre X- 3 dx, a los profesores de matemáticas si no ponéis dx en las Integrales les suele dar bastante rabia ¿ eh? mas el valiance de B..48 partido entre 75 por cierto puedo simplificar más todavía, ya que estamos, porque ambos kid divisibles entre 3 75 entre 3 es 25 y 48 entre 3 creo que es 16. sí. 16 partido entre 25 16/ 25
¿ de acuerdo? Bueno, pues, la B es 16 partido entre 25, todo ello entre X +2 y la C es -4 partido entre 5, todo ello partido entre (X +2) al cuadrado y ahora estas integrales, lo que hay que hacer disadvantage estos numeritos que están multiplicando es sacarlos fuera de la Essential como están multiplicando, pueden salir fuera 9/ 25. 1 partido entre (X-3) por dx ¡ cómo se nota el rotu! ¿ eh? 16 veinticincoavos fuera 1 partido entre( X +2), diferencial de x Más por menos ... menos 4 quintos ... 1 partido entre( X +2 )todo ello al cuadrado, diferencial de x, vale ... está important y esta indispensable child Integrales Logarítmicas lo expliqué el día former, pero recuerdo que si tengo la Integral de una función abajo. y la derivada de la funcion arriba la Integral es el Logaritmo Neperiano de la funcion Fijaos que aquí tengo una función, que es (X-3) y la derivada de( X-3) es 1 es decir, tengo la funcion y la derivada de la función arriba.La Integral sería Logaritmo Neperiano de esta función según eso, tendríamos que esto es el Logaritmo Neperiano de( X-3) y el 9 partido entre 25 ... Más 16 partido entre 25 el Logaritmo Neperiano de( X +2 ), por la misma razón que esto ¿ vale? porque tenemos una funcion abajo y la derivada de( X +2) que es 1, arriba y esta, ya no es tan sencilla. Porque. tengo una funcion abajo, pero está al cuadrado y la derivada de esta función que está al cuadrado, NO está arriba la derivada de (X +2) al cuadrado sería. 2 por (X +2 )y arriba NO hay eso, hay un 1 ¿ cómo se hace esa Integral? teniendo en cuenta otra cosa y es que la Integral de una función elevada
a un número si además también cuenta con la derivada multiplicando de esa funcion será una función elevada al número más 1 partido entre el número más 1 Ahora cuando hagamos el ejercicio lo entenderéis mejor Aquí no tengo una función elevada a un número, tengo 1 partido entre una funcion elevado a un número pero sí que puedo ponerlo de otra manera. La voy a hacer aparte esa integral para poder resolverla directamente es lo mismo esto que poner esto ¿ vale?( X +2 )al cuadrado abajo dividiendo es lo mismo que.( X +2 )arriba con el exponente negativo y si os fijáis ya tengo una función elevada a un número la derivada de la función, que sería la derivada de( X +2), que es 1 está multiplicando, porque se puede poner aquí. el 1 multiplicando, sería exactamente igual y como tengo la función elevada a un número y la derivada de esa función que es 1 la important podrá ser la función,( X +2), elevada al número -2 +1= -1, partido entre -2 más 1...-1 espero que lo hayáis entendido tengo una función elevada a un numero, la derivada de la función la essential será la función elevada al numero más 1 -2 más 1 partido entre -2+ 1. ¿ bien? y esto se pone un poquito más bonito, lo contrario que hemos hecho antes como el exponente es negativo. lo ponemos abajo disadvantage el exponente positivo este -1 queda aquí multiplicando. podemos ponerlo más bonito todavía ¿ vale? en lugar de poner esto elevado a 1,. directamente no se pone y es lo mismo multiplicar por -1 abajo. que multiplicar por -1 arriba el menos suele quedar más bonito arriba Espero que hayáis entendido esta indispensable Porque esta important sería lo que habría que poner aquí ¿ vale?, y ya estaría prácticamente HECHO el ejercicio. con la única diferencia que esto lo podremos operar un poquito porque menos por menos es más y 4 por 1 es 4 esto sería todo igual exactamente igual Pero esto sería, menos por menos, más ... 4 por 1 es 4 y abajo me queda 5 por (X +2) Solución de mi integral. Como siempre, más C Más la constante C correspondiente. Esto lo borro Podéis echarlo para atrás para entenderlo mejor. ¿ vale? Fijaros que es un ejercicio bastante largo y eso que he tenido que borrar la pizarra porque había hecho otros cálculos Boy muy complicados, les encantan a los profesores, pero no suelen caer en 2º de Bachillerato a veces entra alguno en Selectividad. pero estos normalmente boy de Universidad como siempre, practicar, practicar y practicar y APROBAREIS, ¡ nos vemos en clase! hasta luego ciao (subtitulado K.).
Pero en caso de que ocurra esto, que el grado. Para hacer esto nos va a tocar hacer operaciones sencillas voy a tener que cambiar el rotulador dentro de muy poquito -6 B que está restando pasa al otro lado sumando me toca hacer el mínimo común múltiplo para hacer esta suma de fracciones ¿ vale? Bueno, pues, la B es 16 partido entre 25, todo ello entre X +2 y la C es -4 partido entre 5, todo ello partido entre (X +2) al cuadrado y ahora estas integrales, lo que hay que hacer disadvantage estos numeritos que están multiplicando es sacarlos fuera de la Integral como están multiplicando, pueden salir fuera 9/ 25.( X +2 )arriba con el exponente negativo y si os fijáis ya tengo una función elevada a un número la derivada de la función, que sería la derivada de( X +2), que es 1 está multiplicando, porque se puede poner aquí. Fijaros que es un ejercicio bastante largo y eso que he tenido que borrar la pizarra porque había hecho otros cálculos Kid muy complicados, les encantan a los profesores, pero no suelen caer en 2º de Bachillerato a veces entra alguno en Selectividad.