The Simplest Math Problem No One Can Solve - Collatz Conjecture
- Éste es el problema más peligroso
de las matemáticas, en el que se advierte a los jóvenes matemáticos que no pierdan el tiempo. Es una easy conjetura que ni siquiera los
mejores matemáticos del mundo han podido resolver. Paul Erdos, un famoso matemático, dijo: "" Las matemáticas aún no están lo
Así es como funciona. Elige un número, cualquier número. Si el número es impar,
multiplicamos por tres y sumamos uno. Entonces tres por siete
Si el número es par, lo dividimos por dos. 11 es impar, entonces multiplicamos
por 3, 33 y sumamos 1, 34. Par, dividimos entre dos, 17, impar. Multiplica por 3, 51, suma 1, 52, the same level. Dividido por dos, 26, sigue igual. Dividir por dos, 13, impar. Entonces multiplicamos por 3, 39,
sumamos uno, y eso es 40, que es the same level, entonces dividimos por dos, 20, dividimos por dos, 10,
dividimos por dos, cinco, impar. Multiplica por tres, 15, suma uno, 16, divide por dos, que es ocho,
y luego cuatro, dos y uno.Ahora, uno
es impar, así que
multiplicamos por tres y sumamos uno, lo que da cuatro. Pero cuatro equivale a dos, equivale a uno, así que estamos en un bucle y.
el número más bajo es uno. Ahora, la conjetura es la siguiente: cada número entero positivo,.
si aplicas estas reglas, eventualmente terminará en.
el ciclo cuatro, dos, uno. Esto se conoce comúnmente como.
la conjetura de Collatz en honor al matemático alemán.
Luther Collatz, a quien se le ocurrió la conjetura en la década de 1930.
Pero el problema tiene muchas.
También se conoce como conjetura de Ulam, problema de Kakutani, conjetura de Thwaites, algoritmo de Hasse, problema de Siracusa y simplemente 3N +1. - Entre los matemáticos profesionales, tal vez no sea famoso sino infame, en el sentido de que si alguien.
Los números que se.
obtienen al aplicar 3x +1 se llaman números de granizo, porque suben y bajan como granizo en una nube de tormenta, pero eventualmente todos caen en uno, o al menos eso creemos. Puedes pensar que los números representan la altura.
Entonces 10 se llama tiempo complete de parada. Pero tomemos el siguiente número, 27, y rebota por todos lados. De hecho, sube.
Los caminos que. Bueno, sinceramente, los matemáticos tuvieron dificultades.- La gente simplemente decidió que esto age algo.
Jeffrey Lagarias es la autoridad mundial en 3x +1. -La primera vez que lo conocí.
dijo: "No hagas esto. No trabajes en este problema. Si quieres tener una carrera, no empieces "a gastar dinero". "No dediques. tiempo a escribir sobre esto o publicar artículos sobre esto.
Haz cálculos reales por un tiempo. Narrador]
Alex. Kontorovich no escuchó. Él y Yakov Sinai observaron las trayectorias de. los números de granizo. ¿ Hubo algún patrón? Pero obviamente todos terminaron en uno. Pero ¿ qué pasa disadvantage los caminos que. toman para llegar allí? El patrón es la aleatoriedad. Aquí está la secuencia de un. gran número elegido al azar.El gráfico alcanza su punto máximo y luego cae tan
bajo que realmente no se puede ver
. lo que está sucediendo a esta escala. Pero si tomas el logaritmo, encontrarás este gráfico ondulado. con una tendencia a la baja. Parece el. mercado de valores en un mal día. Y esto no es una coincidencia. Ambos son ejemplos de. movimiento browniano geométrico. Eso significa que si tomas el registro.
y eliminas la tendencia lineal, las fluctuaciones boy aleatorias.
Es como lanzar una moneda al aire en cada paso. Si la moneda sale cara, la línea sube, cruz, baja. 3x +1 es como los. movimientos aleatorios del mercado de valores.
Durante períodos suficientemente largos, el mercado de valores tiende a tener una tendencia alcista, mientras que 3x +1 tiene una tendencia a la baja.Otra forma de analizar 3x +1 es mirando el. dígito principal de cada número en una secuencia. Aquí están los.
números de granizo que comienzan con tres como semilla.
Y podemos contar cuántos. números comienzan con uno, cuántos comienzan con dos, cuántos
comienzan con tres,. y así sucesivamente para hacer un histograma.
Podemos hacer lo mismo con la secuencia que comienza disadvantage cuatro,. Para los primeros mil millones de secuencias, encontrará que uno es, con diferencia, el. El 30% de todos los números empiezan con uno, alrededor del 17,5% empiezan disadvantage.
a medida que los dígitos child más altos. Menos del 5 %de todos los. números comienzan disadvantage nueve. Ahora bien, este patrón no es exclusivo de 3x +1. En realidad, aparece en todas partes, desde las poblaciones de los países hasta el valor de las empresas, todas las constantes físicas. y los números de Fibonacci, sólo por nombrar algunos.
La distribución se. conoce como ley de Benford e incluso se utiliza para detectar fraudes.Si todos
los números en. sus formularios de impuestos sobre la renta obedecen a la ley de Benford, entonces, bueno, probablemente esté siendo honesto. Si no, es posible que estés ocultando algo. En las elecciones, la ley de Benford se puede utilizar para detectar irregularidades, aunque hay que aplicarla correctamente. La ley de Benford funciona mejor. cuando los números involucrados abarcan varios órdenes de magnitud, como ocurre disadvantage 3x +1. Pero la ley de Benford no puede decirnos si todos los números terminarán en el bucle cuatro, dos, uno o no. Para eso, necesitamos un. tipo diferente de análisis. Ahora, a primera panorama, parece extraño que cuando aplicas 3x +1, todos los números terminen en uno. Quiero decir, considere que. hay la misma cantidad de números pares e impares, pero los números impares se triplican con creces, mientras que los números pares solo se reducen a la mitad.Por lo tanto, parece que,. en promedio, cada secuencia debería crecer, no reducirse.
Pero aquí está el truco.
Cada vez que multiplicas.
Entonces, los números impares en. realidad no se triplican por 3x +1.
Se incrementan en un factor. de aproximadamente tres sobre dos.
Estoy descuidando el más uno porque es insignificante. para números grandes.
Y 3/2 es en realidad lo máximo que puede crecer un número impar en un solo paso.
Y el 50% de las veces, dividir entre dos da como resultado. Entonces, para una cuarta parte de números, el siguiente en la secuencia será 3/4 de su valiance inicial. 1/8 de las veces, puedes dividir entre ocho antes de llegar al siguiente número impar, y 1/16 de las veces,.
Entonces, estadísticamente hablando, es más possible que las secuencias 3x +1 se. Tome 341, por ejemplo, multiplique por tres y. agregue uno, obtendrá 1,024, que puede dividir por dos y luego dividir por dos una y
otra vez, y otra y otra vez, 10 veces en total complete. Si la conjetura es cierta, significa que cada número está conectado a este gráfico.Cada pequeño arroyo que llega.
Y luego terminas trick una estructura que parece un coral o un alga. Y al ajustar el grado de rotación para números pares e impares, puedes crear estas hermosas. Podría haber un número.
Por alguna razón, no obedece a la misma gravedad numérica que todos los demás números. Otra posibilidad es que. Pero hasta el momento
no se ha encontrado ningún bucle o secuencia que se dispare.
Sabemos con certeza que cada. uno de esos números eventualmente se decrease a uno. Hemos probado casi. 300 quintillones de números y ninguno de ellos refuta la conjetura. De hecho, dada
esta información, los matemáticos calculan que cualquier bucle que no sea cuatro, dos, uno debe tener al menos 186 mil millones de números. Entonces, parece bastante potential. que la conjetura sea cierta, pero esto no lo prueba. Una forma en que los matemáticos. han intentado demostrarlo es haciendo un diagrama de dispersión disadvantage todos los números de semillas en el
eje x y un número de cada. secuencia de semillas en el eje y. Ahora, si puedes demostrar que.
Pero, en 1976, Riho Terras pudo demostrar que casi todas las secuencias de Collatz llegan a un punto por debajo de su valiance inicial.En 1979, este límite se redujo y casi todos los números llegaron a menos de X. elevado a 0,869. Y luego, en 1994, se redujo aún más a menos de X elevado a 0,7925. Significa que a medida que los.
, Terry Tao, pudo demostrar que 3x +1 obedece a criterios aún más estrictos. Mostró que casi todos. los números terminarán siendo más pequeños que cualquier función arbitraria
f de x siempre que esa función llegue al infinito cuando x llega al infinito. Pero la función puede aumentar. tan lentamente como desee. Entonces, log x es un ejemplo, o. log, log, log x también funciona, o log, log, log, log x. Lo que esto significa es que,. para casi todos los números, puedes
garantizar que. hay un número arbitrariamente pequeño en algún lugar de su secuencia.En una charla pública que dio. en 2020, Terry Tao dijo: "Esto es lo
más cerca que uno puede llegar a la conjetura de Collatz. wrong resolverla realmente". Este es un resultado impresionante,.
pero aún no es una prueba.
Entonces, ¿ por qué no podemos demostrar que la conjetura es cierta? ¿ Será porque no es verdad? Quiero decir, todo el mundo. intenta demostrar que es cierto, lo que significa que casi nadie. busca contraejemplos. -Me había sucedido hace. apenas dos años, donde había algo que. estaba tratando de probar, que estuve tratando. de probar durante tres años, y no pude hacerlo funcionar.Y luego encontré un contraejemplo y luego me di cuenta de cuál debería haber sido. la afirmación correcta. Y luego, un mes después,.
demostré que la afirmación era correcta.
Quizás deberíamos gastar más energía buscando contraejemplos
. de la que gastamos actualmente.- [Narrador] Quiero decir, ¿.
A
continuación se muestra un gráfico del. La semilla 9.663, por ejemplo,.
Aplicando las mismas reglas de 3x +1 que antes, no hay un bucle, ni dos bucles, sino tres bucles independientes de números. ¿ Por qué deberían haber bucles desconectados en el lado negativo de la recta numérica, pero no en el lado positivo? Pero demostrar que casi todos los.
demostrar que todos los números sí lo hacen.
¿ Cuántos números entre uno. y 100 kid cuadrados perfectos? La respuesta es 10
. Entonces, el 10 %de los números hasta. 100 kid cuadrados perfectos. ¿ Cuántos números entre uno.
y 1000 child cuadrados perfectos? La respuesta es 31.
Así que sólo el 3,1% de los números. hasta 1000 child cuadrados perfectos.
Y cuanto más alto subes, más. pequeño se vuelve este porcentaje, de modo que, en el límite, se podría decir que casi todos los números.
no kid cuadrados perfectos. La fracción de números que no child cuadrados perfectos llega a uno cuando X llega al infinito. Y, wrong stoppage, sabemos que hay un. número infinito de cuadrados perfectos y sabemos exactamente dónde están. Ahora, hemos probado por fuerza bruta todos los números hasta dos elevados al 68, y todos obedecen la conjetura de Collatz.Y quizás estés pensando que,. bueno, a estas alturas ya deberíamos haber encontrado un contraejemplo. Pero en la escala de todos los números,. dos elevado a 68 no es nada. Quiero decir, la. conjetura de Polya propuesta en 1919 por George Polya afirmaba que la mayoría. de los números naturales hasta cualquier número dado tienen un. número impar de factores primos. C. Brian Haselgrove finalmente demostró que la conjetura era falsa en 1958 cuando identificó un contraejemplo. Lo que es remarkable es que el. valor de este contraejemplo fue 1,845 veces 10 elevado a 361. Eso es entre 10 y 340 veces mayor que todos los números verificados para 3x +1. Una forma de pensar en 3x +1 es como si fuera un. programa simple ejecutado en una máquina de Turing.El número de semilla es la.
entrada a la máquina. Entonces, en esta imagen, dos elevado a 68 es simplemente una cinta de entrada de 68 cuadrados de largo. Puedes pensar en ellos como. una cadena de unos y ceros o cuadrados blancos y negros. Decir que la máquina ha.
transformado cada entrada hasta este cuadrado de 68 grabado en uno no debería darle mucha confianza de que lo hará para todas las entradas. De hecho, es bastante sencillo calcular un número que muestre cualquier comportamiento arbitrario que.
Pero si quieres un número que. Si desea un número que. Pero después de la sección finita que especificas, ya no tienes control.Y todo
lo que alguna vez ha sido.
Si hay un contraejemplo, es prácticamente imposible. que alguien lo adivine. Y el espacio de todas
las posibilidades es demasiado grande para buscarlo. exhaustivamente mediante la fuerza bruta.- Dos elevado a 1.000. no es un espacio de búsqueda. Entonces, si vamos a encontrarlo, tenemos que encontrarlo mediante. algún proceso inteligente y no adivinando y comprobando. Estuve en el equipo 3x +1 durante 20 años.Y luego este punto de view, me di cuenta de que, ¿ qué es lo que realmente sabemos? Es muy difícil demostrar. un teorema que es falso. Entonces, ¿ podría ser que. todo el mundo esté luchando por demostrar esto porque en. realidad no es cierto? Y dos a 60. no es mucha evidencia. E incluso la.
versión estadística tal vez sea cierta y no sea evidencia de la inexistencia de una trayectoria divergente en. algún lugar de la secuencia 3x +1. -Por supuesto que hay otra opción, y es que nunca lo sabremos, que el problema es indecidible.
En 1987, John Conway creó.
Age una máquina matemática. Y pudo demostrar que esta.
máquina es completa, lo que significa que puede hacer cualquier cosa que. una computadora moderna pueda hacer, pero también significa que está.
sujeta al problema de detención, una posibilidad de que la máquina. nunca deje de funcionar y, por
lo tanto, no darte una salida. Y esto no prueba que 3x +1 también esté sujeto. al problema de la detención, pero es posible que,.
dado lo que sabemos, nunca podamos demostrar que la.
conjetura de Collatz es verdadera o falsa.- En la escuela te enseñarán que sabemos un montón de.
Aquí está este pequeño y
estúpido problema. Ya sabes, simplemente demuestra que las matemáticas son difíciles. En todo caso, muestra.
( música suave )Lo que me
encanta de 3x +1 es que es un problema que casi. Así, no sólo recuerdas la fórmula, sino que realmente entiendes lo que significa. Recomiendo ampliamente su curso sobre
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De hecho, dada
esta información, los matemáticos calculan que cualquier bucle que no sea cuatro, dos, uno debe tener al menos 186 mil millones de números. Pero después de la sección finita que especificas, ya no tienes control.Y todo
lo que alguna vez ha sido. Estuve en el equipo 3x +1 durante 20 años.Y luego este punto de panorama, me di cuenta de que, ¿ qué es lo que realmente sabemos? -Por supuesto que hay otra opción, y es que nunca lo sabremos, que el problema es indecidible.
( música suave )Lo que me
encanta de 3x +1 es que es un problema que casi.Así que quiero agradecer a Fantastic
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