¿Qué es el TENSOR de RIEMANN o tensor de CURVATURA? [RIEMANN OR CURVATURE TENSOR] -7.71 ✅ 💡
qué tal vamos a ver el tensor de rima o tensor de curvatura que es una de las piezas claves de la teoría de relatividad y como su nombre indica nos dice lo curvo que está a un espacio de acuerdo entonces imagínense mos imaginémonos que estamos aquí en un punto si quieren del polo norte en la 2a esfera y tenemos un sistema de referencia junto y nosotros digamos aunque pensábamos que la tierra age plana podemos medir la curvatura bajo nuestros pies pero imaginémonos que hay otro observador en otro lugar diferente que tiene otro sistema de referencia que incluso no tiene por qué ser paralelo ni tangencial al suelo es el caso más basic entonces nosotros lo que queremos es y medir la curvatura desde que tiene el observador uno el observador desde su sistema de referencia y que dicha curvatura el observador o prima que está aquí la medida también concept lo mismo de acuerdo queremos leyes físicas que que digan lo mismo en todos los sistemas de referencia y para ello necesitamos un tensor que al contraerse todos sus índices produzca un escalar de acuerdo que sea invariante invariante significa que el escalares tiene el mismo valiance en todos los sistemas de referencia y entonces podemos asegurar que algo wrong un cierto valor y que vale lo mismo en todos los sistemas de referencia de acuerdo bien para medir cómo se curva un espacio bajo nuestros pies por ejemplo el caso de estar en el polo norte y suponer que que la tierra es plana pero no se contour queremos hacer una medida de dicha curvatura bien esto no se puede poner es que un poco como se obtuvo porque es muy complejo pero se U.S.A. el tensor de rimas el desorden y mantiene una forma de es destinos no es tan fácil de memorizar el red de a b c pero vamos a aplicar algunos trucos que nos pueden ayudar a memorizarlo un poco de acuerdo esto sería se puede poner en función tiene diversas formas pero los vamos a colocar en función de la conexión a fin más es más menos d de acuerdo bien esta es la forma bien todo recordemos que esta es la conexión afín que usamos vamos a ponerlo aquí qué bueno tenerlo la conexión a fin la conexión a fin en función de la métrica que period aquellos no intensos la conexión a fin sino un objeto matemático que se añade para que la derivada sea aquí mismo la misma en todos los sistemas de referencia es nuestra guerra major en relatividad general es cuando todo se curva tratar de obtener leyes que sean las mismas en todos los sistemas defensivos por eso necesitamos los tensores y los tensores a su vez necesitamos definir el espacio qué variante el espacio contra variante y la contracción para producir escalares de elementos de vectores y tensores entre la parte disadvantage variante y converse variante de acuerdo esto todo más o menos pasa tiene un aparataje al fin matemático muy complejo pero no hay otra manera de verla bien vamos a recordar algunas cosas una fórmula cómoda de memorizar la la conexión al final a la siguiente tenemos los índices aquí a y b fíjense que a y b los colocó aquí lo ven y ahí ve aquí pero lo vamos a poner así en sentido invertido vale le cambió el sentido vale y ahí ven aquí digamos que la fórmula para dar conexión a fin no es tan difícil de memorizar vamos a ver si podemos hacer algo parecido con disadvantage el tensor de riman de acuerdo vamos a ver que tenemos no es exactamente lo mismo pero si ayuda a memorizar lo no aprendiendo no de memoria los nombres realistas porque luego hay usan muy duro wrong más diferentes notaciones de acuerdo off-white lo vamos a poner otro color veis están aquí de acuerdo pues 20 también están aquí de acuerdo y dice también están aquí ya sabemos con cierto orden y luego tenemos vamos a poner rojo [Música] con un pequeño arco para distinguir bay de aquí veis aquí ve y de aquí también de acuerdo y luego tenemos por último se concept y lo vamos a colocar disadvantage [Música] se idea en que están aquí miren que lo colocamos aquí d hice y luego aquí vale bien no es tan fácil como el como los símbolos de christopher pero bueno más o menos se puede se puede ayudar a memorizar esto y luego eso se contraen y vamos a hacer una anotación para los índices que se contraen y aquí se encuentra con este y es un índice modular está contrario bien pues más o menos es más fácil la fórmula de la conexión a fin pero bueno añadiremos algunas cosas de interés por ejemplo de este tensor tan complejo que es un short de riman que una vez se contrae create una escala es el mismo en todos los sistemas de referencia pues vamos a bien algunas cosas que kid bastante interesantes por ejemplo el tensor de ritchie para estas son un poco más straightforward un saying consiste r ave y consiste en contraer el tensor de rima r ah se ve y vamos a hacer la anotación porque siempre es mejorar aprendernos las posiciones no el nombre de las letras para memorizar esto se contradiga mos que el índice intermedio del tensor de riman lo encontremos y disadvantage la parte exceptional de acuerdo tensor de riman también se puede escribir disadvantage los cuatro índices abajo de este estilo r&& b se debe pero yo creo que es más complicado de aprender de memoria así también pasa disadvantage la conexión a fin que se puede también escribir así a veces pero es también más complejo no más difícil de memorizar bien este es el tensor de rimas y este sería el tensor de reach y el r&& b y a su vez el tensor de richi se puede volver a simplificar con un escalar que se llama el escalar de richi vamos a escribirlo aquí el escalar de richi que consiste en contraer disadvantage la métrica al tensor de richi es decir haríamos se contrae con be y vamos a poner tu color y se contrae con el acuerdo este sería el escalar de ricky que es para de alguna manera tener la curvatura como con un número disadvantage un único número que sería una escala es decir esto sería el escalar de richi sería esto de aquí valen sería contraer el escalar el tensor de richi consigo mismo de acuerdo bien por último para poner un ejemplo de todo esto en un espacio euclideon es decir lo más sencillo posible que podemos que no se curva que es totalmente plano lo vamos a hacer en dos dimensiones lo más basic posible y en coordenadas cartesianas pues nos vamos a encontrar el tensor métrico va a tener una forma de este estilo y ya lo conocemos ave pues va a ser el 1 001 con las coordenadas bueno ya todos conocemos las coordenadas x x pues ya sabemos que el diferencial de espacio pues el problema de pitágoras es lo más fácil posible que podemos hacer pues bien si yo me planteara calcular el tensor de rima en el escalar de richi o el tensor del oij o el tensor de getting to de este espacio euclideon en coordenadas cartesianas pues claro lo primero que tenía que hacer es escribir la fórmula para la conexión a fin antes de ver cómo calcular las todas las combinaciones posibles que nos da el tensor se riman para luego disadvantage traerlo consigo mismo con las métricas etcétera etcétera y es un cálculo bastante tedioso vamos a escribir un poco él otra vez la fórmula de la conexión a fin bueno para aplicar un poco todo lo que hemos dicho aquí de las reglas nemotécnicas y todas estas cosas una cosa válvula aquí me he equivocado desde aquí entonces para aplicar un poco todo el tema este de las reglas nemotécnicas disadvantage b fíjense que a disadvantage b y aquí se invierte vale y aquí se deja justo aquí vale esta es la fórmula de la conexión a fin pues bien si nos fijamos aquí arriba todo el esto es constante lo único no nulo child los elementos la angled que además kid constantes entonces las derivadas de todo esto todas estas derivadas pues nos vamos a encontrar que van a ser igual a 0 al ser esto todo constante o 0 las constantes o iguales a 0 pues todos estos elementos de aquí van a ser 0 al derivar una constante pues sale siempre 0 entonces todos los símbolos de christopher posibles que podamos construir en un espacio 12 cartesiano yo que sé vamos a poner xx por ejemplo el combinado consigo mismo también será cero fíjense el xx y también será a cero l x disadvantage y x también se da a 0 x con iu y también será a 0 y disadvantage equis y también será a 0 el icom y x también al hacer las derivadas van a salirnos todos iguales a 0 y el web link con bueno con y que ya lo puse arriba también va a ser igual a 0 decir pues no sé si me dejaba alguno pero vamos a seguir lo escribimos otra vez todos son 0 entonces que lo que nos va a pasar que el tensor derriban para todas las combinaciones posibles va a hacer 0 porque los símbolos christopher child todos 0 y el tensor de rima en su fórmula pues había que construirlo en lo tenemos aquí todo a base derivada del símbolo de christopher en o productos de símbolo de cristos entonces el tensor de riman va a ser cero y también nos vamos a encontrar por consiguiente que él el tensor de riman va a ser cero todas estas combinaciones rr x x x podemos escribir la cantidad de combinaciones boy enormes hay un número donde infinito d de combinación independiente pero bueno ya lo veremos aquí vamos a seguir colocando pues todas las combinaciones que queramos también las componentes ni también serán cero bien todos es totalmente cero entonces al last nos vamos a encontrar con que él el tensor del imán es igual a cero y también pues sí contraigo con la métrica aunque sea 1 el tensor de richi también va a ser igual a cero y también por consiguiente escalar de reach y que el tensor de richter contraído consigo misma también va a ser igual hacer veces el espacio no tiene curvatura hombre es lógico porque si nos paramos a pensar estamos trabajando con un con un espacio métrico equilibrio bidimensional y cartesiano entre claro plano totalmente y no tiene curvatura no hay ningún tipo de efecto relativista y entonces el tensor de rimas no está diciendo que dentro de las coordenadas de nuestro propio espacio el tensor vale 0 y el tensor al ser 0 en un sistema en otro sistema cualquiera con las coordenadas curvas totalmente curva porque está deformado por el espacio-tiempo y está en otro sitio etcétera etcétera digamos que está lo mejor en la cercanía de un agujero negro está muy deformado este otro sistema de referencia pues no vamos a encontrar que nuestro espacio para nosotros no se deforma es tiene el tensor de ree +0 y para estos que están aquí en un sitio todo deformado van a medir y van a observar que tampoco se deforma es decir la validez de la no deformación del espacio tiempo va a ser válida en todos los sistemas de referencia vale no exactamente el tensor de rimas va a ser igual porque puede ser totalmente diferente y aquí puede tener otros valores pero al contarlo todo consigo mismo si r es cero el escalar del ritz y r también va a ser cero y ya podemos asegurar algo a pesar de todo lo que todos relativos de acuerdo bien pues nada lo dejamos ya por hoy