Numberphile v. Math: the truth about 1+2+3+...=-1/12

Bienvenidos al primer vídeo de Mathologer del año. Hoy se trata de algo muy serio y por eso llevo una
camiseta totalmente negra. A todos les gusta Numberphile, ¿ verdad? Yo también, excepto por este video
en el que prueban la infame identidad 1 +2 +3+ ...= -1/ 12 usando algo de álgebra straightforward que
incluso los niños de la escuela primaria deberían poder seguir. Desde que se publicó este vídeo
en 2014, más de seis millones de personalities lo han visto y a más de
65.000 les ha gustado.

Desafortunadamente, casi todas las afirmaciones hechas
en este video clip kid incorrectas. Y por mal me refiero a mal en mayúsculas. En
specific, como cualquiera que sepa matemáticas confirmará, 1 +2 +3+ ... suma exactamente lo que el sentido común sugiere que debería ser más infinito. Y este vídeo no fue publicado el 1 de abril. Además, como todos sabemos, los
vídeos de Numberphile boy presentados por tipos inteligentes, en este caso
profesores universitarios de física, que saben matemáticas y que definitivamente no pretenden
engañarnos.

Entonces, ¿ cómo se equivocaron tanto y qué
querían decir realmente? Bueno, comenzaron disadvantage una conexión genuinamente profunda y asombrosa
entre 1 + 2 + 3, etc y el número -1/ 12, pero en el esfuerzo por
explicar esta conexión en términos realmente simples, simplemente se excedieron
y terminaron con una explicación. Esto no sólo es realmente easy sino también realmente
incorrecto. Bueno, 6 millones de visitas después y las secciones de comentarios de todos los YouTubers de matemáticas
están siendo inundadas por comentarios confusos de uno más dos más tres que child una
consecuencia directa de este video clip. Para las relaciones públicas matemáticas es un
desastre. (Marty) Es EL desastre. (Mathologer) Sí, es EL desastre. Por eso creo que es una buena idea volver a.
observar de cerca el cálculo de Numberphile paso a paso, indicar claramente.
qué tiene de malo, cómo solucionarlo y cómo volver a conectarlo con las matemáticas genuinas.
que los profesores de Numberphile tenían en mente.

originalmente. Nos.
esperan muchas matemáticas asombrosas: métodos de suma no estándar para series divergentes,.
la función eta, una hermana de muy buen comportamiento de la función Zeta, la esencia de la.
continuación analítica en palabras simples, algunos trucos matemáticos más de Euler, etc. He intentado que todo esto sea autónomo. Así que no es necesario haber.
visto mi otro video clip muy diferente sobre uno más dos más tres de hace más de un año.
ni nada más para entender este. Bien, vámonos. Para que.
todos estemos en la misma página, aquí está muy rápido el cálculo completo de Numberphile. Al valor desconocido de la serie infinita lo llaman 1 + 2 + 3+ ... S. Como.
trampolines para el cálculo, primero calculan las sumas de estas otras.
dos series infinitas. Entonces 1-1 +1 -1+ ... y 1-2 +3 -4+ ... Sumando los términos de la primera serie, obtenemos las sumas parciales.
1.

Ok, 1 menos 1 es 0, 1 menos 1 más 1 es 1, 1 menos 1 más 1 menos 1 es 0 y así.
sucesivamente. Estas sumas parciales alternan entre 0 y 1 y por eso los chicos de Numberphile.
declaran que la suma de esta serie infinita es CLARAMENTE el promedio de 1 y 0,.
que es 1/2 (Marty). Eso no está tan claro para mí. (Mathologer) Muy bien, llegaremos a eso. También mencionan que.
existen otras formas de justificar esto. También llegaremos a eso. Ok, segunda suma. Aquí.
comienzan considerando lo que sucede cuando se duplica esta suma. Entonces, 2 veces S2 es.
igual a la serie infinita sumada a sí misma, pero ahora, antes de sumar las dos.
collection infinitas, desplazan la serie inferior un término hacia la derecha. Ahora 1 más.
nada es 1, menos 2 más 1 es menos 1, 3 menos 2 es 1, menos 4 más 3 es menos 1,.
and so on. Pero esa serie de abajo es la que ya vimos y que, recuerda, es.
igual a 1./ 2 y así ... Segunda suma hecha, genial. Ahora, la última suma, esa es la que realmente buscamos. Aquí los chicos de Numberphile comienzan restando S2, la.
suma que acaban de calcular, de S.Ahora 1 menos

1 es 0, 2 menos menos 2 es más 4, 3.
menos 3 es 0, 4 menos menos 4 es 8, and so on. Los ceros no importan, así que.
Ah, el amarillo, ese es nuestro 1 +2 +3+ ... suma S otra vez. Ahora resuelva para S, y mi magia habitual aquí, y obtenemos -1/ 12. Y aquí los chicos de Numberphile hacen una reverencia.
tontería tal como fue presentado. En certain estas tres identidades child.
falsas. Esto significa que si en cualquier examen de matemáticas en cualquier universidad de la Tierra te.
piden que evalúes las sumas de estas collection infinitas y das las.
identidades numerófilas como respuesta, recibirás exactamente 0 puntos por.
tus respuestas. Es fundamental darse cuenta de que en matemáticas tenemos una.
definición precisa que sustenta la suma de una serie infinita. Dondequiera que vea.
collection infinitas, esta definición y solo esta definición se aplica a menos que haya.
grandes advertencias en sentido contrario en las luces de neón parpadeantes.

Muy bien, ahora los.
chicos de Numberphile no incluyeron tales exenciones de responsabilidad y, por lo tanto, ellos también deberían.
(Mathologer) Sí, creo que puedo estar de acuerdo disadvantage eso. Bien, ¿.
cuál es esta definición y cuáles son las respuestas que le darán la máxima puntuación en.
su examen de matemáticas? Para evaluar la suma de una serie infinita, calculas la.
secuencia de sumas parciales tal como lo hicieron los chicos de Numberphile.
al principio.

Ahora bien, si la secuencia de sumas parciales se nivela en un.
número finito, es decir, si la secuencia merge, o si explota hasta más infinito, o.
si explota hasta menos infinito, entonces este límite es la suma.
de la serie infinita. Si no existe tal límite, entonces la serie infinita no.
tiene suma. Eso es todo, esa es la definición. Entonces, para la primera.
serie de Numberphile, la secuencia de sumas parciales alterna entre 0 y 1 y, por lo tanto,.
no tiene límite. Esto quiere decir que esta serie infinita no tiene suma,.
ni 1/2 ni nada más. Esta es la respuesta correcta para tu examen de matemáticas. Muy bien, ¿ qué pasa con las otras dos series infinitas? Hmm, bueno, en el caso de.
1 más 2 más 3 las sumas parciales explotan hasta más infinito y por lo tanto la suma.
de la serie es infinito.

Para la serie infinita en.
el medio, las sumas parciales explotan en tamaño, pero ni hasta el infinito ni.
hasta menos infinito, por lo que esta serie tampoco tiene suma. Así que estas.
boy las respuestas que te dan la máxima puntuación. En muchos sentidos, las.
collection infinitas más importantes son aquellas disadvantage una suma finita que aún no han aparecido aquí. Entonces,.
para dar algo de perspectiva, aquí hay un ejemplo estándar, una serie geométrica infinita.
: 1/2 +1/ 4 +1/ 8 y así sucesivamente. Ahora bien, aquí las sumas parciales exhiben un.
(Mathologer) Esto es claro, por lo que la suma de esta serie infinita es 1. Oh, antes de que lo olvide, esas.
series de suma finita generalmente se llaman series convergentes y todas las demás.
collection infinitas se llaman collection divergentes. Teniendo esto en cuenta,.
echemos otro vistazo al cálculo de Numberphile. Aquí está.
todo de un vistazo. Es sólo una transcripción de lo escrito en el papel marrón del.
vídeo de Numberphile.

Nuevamente, tal como lo presentó Numberphile, todo esto es una.
(Mathologer) O menos:-RRB- ESTO. ES. No lo uses,.
de lo contrario arderás en el infierno matemático. Dicho esto, debería haber algún método para esta locura, ¿ verdad? ¡.
Esos tipos boy inteligentes! Pero si lo hay, entonces está claro que las sumas que ves.
aquí no pueden representar las sumas habituales, ya que este vídeo ha hecho creer a unos seis millones de personas
. Ok, comencemos haciendo algo que.
también puede parecer un poco loco. A primera vista, sólo por diversión, y negando la.
realidad, supongamos por un segundo que esas tres series de Numberphile eran en.
realidad convergentes, es decir, todas tenían una suma finita. Entonces todos, TODOS los.
argumentos resaltados serían válidos.

Esto incluye la suma y resta de.
collection que se realizaron aquí, ... y aquí, ... e incluso el desplazamiento hacia la derecha.
antes de la suma, que mucha gente ve con recelo. ¿ Por qué todas estas.
operaciones estarían bien si estuviéramos tratando disadvantage series convergentes? Porque la suma de.
Hay diferencias entre sumas finitas e.
infinitas. Por ejemplo, las collection infinitas a veces no tienen una suma,.
mientras que las sumas finitas siempre existen, la reordenación de los términos puede cambiar.
la suma de las series infinitas convergentes, and so on. Por otro lado, las sumas de las.
collection infinitas convergentes comparten gran parte de la propiedades de sumas finitas y child.
exactamente estas propiedades las que las hacen tan útiles. Aquí las.
tres propiedades más importantes. Digamos que tienes dos series infinitas convergentes, está bien << . con las sumas A y B. Luego, al sumar estas dos collection terminológicamente obtienes una nueva. serie infinita. Y ahora es bastante fácil demostrar que esta nueva serie infinita. también es convergente y que su suma es igual a A más B, por supuesto.

Y lo.
mismo ocurre si reemplazas todas las ventajas con desventajas. Entonces, la suma.
y resta a término es consistente disadvantage la suma de series convergentes. Esa es.
Propiedad dos. Multiplicar los términos de una serie convergente disadvantage suma A por un número, digamos cinco, da una nueva serie infinita.
es muy fácil ver que la nueva serie es convergente y que su suma.
es cinco veces A. Por lo tanto, la multiplicación por números también es.
consistente con la suma de series infinitas convergentes. Esa es nuestra segunda.
propiedad. Finalmente, la propiedad tres. Desplazar los términos de una serie convergente con.
suma A en un término es lo mismo que agregar un cero como primer término a nuestra serie,.
así. Evidentemente, la nueva serie sigue siendo convergente y su suma es la misma.
que la de la serie original.

Esto también funciona al revés. Eliminar un.
término cero al principio no cambia la suma. Bien, esa es la propiedad tres. Ahora podemos usar estas tres propiedades para construir argumentos válidos, muy parecido al.
video de Numberphile. He aquí un ejemplo. Esta es la serie convergente que.
les mostré stakes. Recuerda que su suma es 1. Ahora digamos que.
no sabemos su suma o incluso si esta serie es convergente o no. Entonces.
podríamos argumentar de una manera legítima como esta: Ok, bueno, no sabemos si es.
convergente o no, pero si es convergente y su suma es M (M para número misterioso:-RRB- entonces, debido a la propiedad de multiplicación de números, obtenemos esa mitad M es igual a.
1/2 por 1/2 que es igual a 1/4 más 1/4 por 1/2 que es igual a 1/8 y.
así sucesivamente.

Pero debido a la propiedad de desplazamiento, 1/2 M también es igual a este tipo de aquí.
cero más lo que sea. Ahora bien, debido a las propiedades de suma y resta, estamos.
justificados para restar como en el video de Numberphile. Entonces, en el lado izquierdo tenemos M.
menos 1/2 M, eso es 1/2 M, y en el lado derecho tenemos 1/2 menos cero,.
eso es 1/2, y luego todo lo demás desaparece. En complete obtenemos que M.
es igual a 1. Entonces, nuestra suposición de que nuestra serie misteriosa es convergente con la suma M.
nos permite concluir de manera válida que el único valor que M puede.
Pregunta: ¿ Esto prueba que M es 1?? Debido a que este argumento comienza disadvantage una suposición, para poder concluir que.
la suma de la serie realmente es 1, aún tienes que demostrar de alguna manera que la.
serie con la que comenzamos es realmente convergente.

Mmmm, entonces este tipo de argumento.
te da una idea de qué esperar, pero no te explica todo el camino. De todos modos.
veamos qué pasa cuando desatamos este tipo de razonamiento sobre la primera.
serie de Numberphile que ya sabemos NO es convergente. Bueno, sólo por diversión,.
supongamos que la serie 1-1 +1 en realidad era convergente disadvantage la.
suma desconocida S1. Entonces, debido a la propiedad de desplazamiento, S1 también sería.
igual a 0 más toda la demás basura. Nuevamente, debido a la propiedad de la suma, podemos.
sumar en ambos lados S1 más S1, eso es 2 S1 y luego sumamos términos a la.
derecha para obtener, bueno, 1 allí y todo lo demás se cancela como puedes ver. Y entonces.
obtenemos esto, que es exactamente lo que Numberphile dijo que debería ser S1.

Entonces la.
trama se complica aquí, ¿ verdad? De hecho, en cierto modo esta línea de razonamiento.
habría encajado mejor disadvantage el resto de su argumento que simplemente sacar el.
número 1/2 de la nada. Entonces, echemos otro vistazo al.
argumento de Numberphile y ajustemos lo que acabamos de hacer como primer paso para justificar por qué S1.
Así que, aquí vamos. Este es el argumento numerófilo.
insertando el argumento para S1 de hace un momento. Aquí vamos. Y aquí hay una manera de reformular todo el asunto para convertirlo en un.
argumento válido. SI, y este es un enorme, enorme y monstruoso SI, estas tres series infinitas.
fueran convergentes, ENTONCES todo este argumento sería válido y las sumas de estas tres.
series infinitas serían exactamente los números dados por Numberphile.

Genial, pero.
por supuesto sabemos que la suposición de este argumento válido es falsa, que las.
tres series infinitas no kid convergentes. Entonces, sí, este argumento es válido en sí mismo, pero ¿ de qué sirve si la suposición inicial.
es falsa? Bueno, aquí tienes una concept. Dado que ninguna serie divergente tiene un.
valiance finito, soñemos en grande. ¿ Y si fuera posible.
ampliar la noción de sumar una serie convergente? ¿ Y si fuera.
posible definir una supersuma? Esta supersuma debería tener tres.
propiedades clave: en primer lugar, no queremos perder nada, por lo que la supersuma de una.
serie convergente debería ser la misma que su suma normal, ¿ verdad? Entonces todas las.
series infinitas divergentes deberían ser supersumables trick valores finitos. Y luego lo último.
que queremos es esa súper suma, al igual que la suma normal es consistente con.
sumar, desplazar, and so on, bien. Ahora bien, tal extensión de supersuma de la.
suma infinita estándar sería tan fantástica como la extensión de los números reales a los.
números complejos, con todo tipo de propiedades interesantes para un mundo más pequeño que seguirían siendo.
válidas en el mundo más grande y al mismo tiempo todo tipo de propiedades.

de nueva magia que aparece en.
el mundo más grande. En particular, debido a que la consistencia hizo que el argumento fuera.
válido para collection convergentes, esperaríamos que el argumento aún fuera válido si.
reemplazáramos la igualdad ordinaria por igualdad con respecto a la supersuma. Aún.
mejor, dado que cada serie infinita tendría una súper suma, podríamos deshacernos del.
si y así todo el video de Numberphile podría salvarse simplemente diciendo que.
Qué hermoso sueño:-RRB- (Marty) ¡ Es hora de despertar! Bueno, de todos modos, aquellos que vieron mi último video sobre este tema saben que.
hay una súper suma. Wrong stoppage, sólo asigna una suma a algunas:-RRB- collection divergentes pero no.
a todas. En particular, return to a los dos primeros muchachos de allí. Para mostrar cómo.
funciona la supersuma, apliquémosla a nuestra primera serie divergente molesta. Básicamente, la.
súper suma se basa en la suma normal y luego promedia cualquier.
rebote de las sumas parciales. Empezamos calculando la.
secuencia de sumas parciales.

Si esta secuencia merge, entonces nuestra supersuma es.
igual a nuestra suma typical y no se necesitan trucos. Wrong embargo, si la secuencia de.
sumas parciales no assemble, como en el caso de esta serie infinita, entonces.
comenzamos cheat el truco, construyendo una segunda secuencia a partir de la primera. El enésimo término.
de esta nueva secuencia es solo el promedio de los primeros N términos de la primera.
secuencia. Entonces, para nuestra serie specific para el guide término de la nueva secuencia no.
hay nada que promediar, bueno, el promedio de 1 es solo 1.

Ok, entonces el.
promedio de 1 es 0 es 1/2, el promedio de 1 y 0 y 1 es 2/3, and so on. Ahora, cada segundo número aquí es 1/2 y los números restantes también convergen a 1/2 y esto.
significa que en general la segunda serie converge a 1/2. Y eso significa que nuestra.
serie infinita suma 1/2, que también es el número que obtiene Numberphile. Ahora bien, para otras series infinitas, incluso la segunda secuencia puede no converger, en.
cuyo caso generamos una tercera secuencia, nuevamente promediando la segunda secuencia. Si eso no funciona, entonces generamos una cuarta, luego una quinta, etc. Mientras cualquiera de esas secuencias converja, la serie infinita en.
discusión tiene el límite correspondiente como supersuma.

Por ejemplo, en el caso de.
la segunda serie de Numberphile, la primera y la segunda secuencia divergen pero la.
tercera secuencia merge a 1/4, que entonces es nuestra supersuma. Esto también es.
lo que obtiene Numberphile y por eso todo pinta bien. Hasta ahora, tenemos que.
afrontar la triste verdad de que para la mayoría de las series infinitas ninguna de las.
secuencias de números promediados asociativos converge y, por lo tanto, estas series no tienen una.
supersuma. En specific, para 1 más 2 más 3 y así sucesivamente, todas las sumas parciales.
boy positivas y, obviamente, promediar números positivos siempre solo dará como.
resultado números positivos. De hecho, todas las secuencias de.
números asociadas explorarán hasta el infinito positivo, por lo que 1 + 2 + 3, and so on definitivamente.
no suma nada finito, y mucho menos algo finito y negativo.
como -1/ 12. Volviendo al cálculo de Numberphile, aquí está la parte.
que puede justificarse totalmente utilizando supersumas en lugar de sumas regulares. Debido a que no todas las collection divergentes tienen una supersuma, todavía necesitamos el SI grande para que.
esta parte del argumento sea válida. Sin embargo, en sí mismo no es tan malo, ya que la.
suposición es realmente cierta, ¿ verdad? Y dado que la supersuma es realmente la.
extensión más all-natural de la suma typical, 1/2 y 1/4 kid los únicos números razonables.
En resumen,. Ah,.
por cierto, debo mencionar que en la literatura nuestra supersuma se llamaría.
suma generalizada de Cesaro o suma generalizada de Hölder. De todos modos,.
estos métodos de suma son extensiones adecuadas entre sí y, por.
lo tanto, pueden asignar valores significativos a clases de collection cada vez más grandes
. Wrong embargo, poder hacer más también tiene un precio. Cuanto más poderoso es.
un método de suma, peor se comporta. Lo que funciona para sumas finitas no.
necesariamente puede darse por sentado para sumas infinitas. Ya mencioné los problemas disadvantage la reordenación de.
series convergentes, por ejemplo. Por supuesto, las supersumas también carecen de.
todas las agradables propiedades sumisas de las que carecen las sumas infinitas normales, pero.
incluso son cosas sumisas que todavía funcionan para sumas infinitas que ya no funcionan para.
Por ejemplo, insertar o eliminar infinitos ceros no tiene ningún efecto. Sin stoppage, hacer lo mismo disadvantage las supersumas puede cambiar las cosas. Por ejemplo, si insertamos infinitos ceros en nuestra primera.
Pequeño enigma para ti: ¿ Cuál es la nueva supersuma? Y este problema cero es importante.
Pasé por alto. esto porque no tendrá ninguna relación con nuestra discusión, pero en algún momento del. cálculo de Numberphile simplemente eliminan infinitos ceros y esto. no se puede justificar con nuestras tres propiedades. Malo ... El efecto de perder más. y más propiedades a medida que te vuelves más y más basic es en realidad algo que.
todos habéis encontrado stakes cuando conocisteis. sistemas numéricos cada vez más grandes: primero los números positivos, luego los enteros, los.
números racionales, los reales y a los números complejos e incluso más allá a los. cuaterniones y los octoniones. Cada vez que amplías tu mundo, pierdes. algunas propiedades interesantes

. Segundo acertijo para ti: ¿ Puedes pensar
en algunas propiedades. que se pierden en el camino a medida que construimos sistemas numéricos cada vez más grandes? Y. otro acertijo: supongamos que asumimos que la serie 1+ 2+ 3, etc en realidad.
suma un número finito, ¿ puedes manipular esta identidad en un par. de afirmaciones contradictorias usando nuestras tres propiedades favoritas? ¿.
Qué se puede concluir entonces del hecho de que se puedan llegar a. afirmaciones contradictorias? ¿ Será interesante ver qué se te ocurre a este.
( redoble de tambores )Tenemos que tomarnos en serio la
. Así que presiona el botón de pausa,. Aquí vamos.Incluso en el nivel de las supersumas estamos.
Estoy seguro de que muchos de
ustedes ya habrán oído hablar de esta.

Por eso creo que es una buena concept volver a.
observar de cerca el cálculo de Numberphile paso a paso, indicar claramente.
(Mathologer) Esto es claro, por lo que la suma de esta serie infinita es 1. Entonces, nuestra suposición de que nuestra serie misteriosa es convergente con la suma M.
nos permite concluir de manera válida que el único valor valiance M puede.
Bueno, de todos modos, aquellos que vieron mi último video sobre este tema saben que.
Estoy seguro de que muchos de
ustedes ya habrán oído hablar de esta.Esta es la huge famosa función zeta de Riemann
.

Es una función de la variable compleja z. Escrito como suma infinita
allí, tiene sentido si la parte genuine de z es mayor que 1. Sin stoppage, existe una
forma única de extender la función zeta de Riemann a una función analítica para todos los
números complejos z excepto 1. Formalmente, si se sustituye z = -1
obtienes ... Bueno, por supuesto, menos 1 no es mayor que 1, por lo que realmente
no tenemos igualdad aquí, así que eliminemos rápidamente su signo igual. Ok,
al mismo tiempo el lado derecho es nuestro villano master 1 + 2 + 3, and so on y el
valiance de zeta en menos 1 es igual a lo que adivinaste:
1/12. Y esta, en pocas palabras, es la conexión genuina, real y real
entre 1 + 2 + 3 + y - 1/12. Pero ¿ por qué alguien describiría esta conexión como una
suma, y qué tiene que ver todo esto disadvantage la última parte del cálculo numerófilo? Bueno, hay más que explicar. Primero, aquí hay una mini introducción a las
funciones analíticas y su continuación analítica.

Esta será una introducción aproximada y lista, que es
todo lo que necesitamos. Todos sabéis qué es un polinomio, ¿ verdad? Uno de estos tipos:
una función constante o una función lineal o una función cuadrática o una cúbica, etc. Ahora juguemos a un juego. Aquí hay una parte de una función continua misteriosa que está
definida para todos los números reales. Así que simplemente no les mostraré la parte a la izquierda
del eje y. Aquí está la pregunta. Disadvantage solo mirar este fragmento, ¿ puedes continuar disadvantage
el gráfico y decirme cuál es mi función? Ahora podría sentirse tentado a decir "" Sí"", pero la respuesta es "" No"". Hay infinitas maneras en que podríamos continuar hacia la izquierda
y aquí hay un par de ejemplos. Aquí hay uno y hay otro, hay un tercero, hay infinitos diferentes.

¿ Te engañaron? (Marty) No. (Mathologer) Seguro que no, pero conoces el juego, ¿ verdad? Por supuesto, nuestro fragmento inicial es parte de una línea y es
all-natural pensar en continuar la función como esta misma línea. Pero no
tenemos por qué hacerlo. Sin stoppage, si te digo que la función misteriosa es lineal, entonces tu
fragmento inicial te dice exactamente cómo continuar la función, solo hay una
forma de continuar para que toda la función sea lineal. De hecho, lo mismo
ocurre si solo te dijera que la función es un polinomio. Disadvantage solo mirar el
fragmento, puedes estar absolutamente seguro de que mi polinomio es lineal y exactamente
qué función lineal, ¿ verdad? Ahora podemos generalizar esta easy observación en un
par de pasos, de una manera bastante dramática en realidad. Aquí vamos. Primero, supongamos que nuestro fragmento inicial es parte de una parábola o, si se prefiere
, de una cúbica o de cualquier polinomio. Si luego te digo que mi función misteriosa es un
polinomio, siempre habrá exactamente un polinomio que continúe disadvantage
nuestro fragmento inicial. En otras palabras, un polinomio está completamente determinado por
cualquier parte de él.

En segundo lugar, todo lo que hemos dicho sigue siendo cierto si pensamos en los polinomios como
funciones de una variable compleja y si comenzamos disadvantage una parte del polinomio
correspondiente a una región en el plano complejo. Entonces, a la izquierda, ves el
plano de números complejos donde cada punto representa un número complejo
y también he coloreado una pequeña región en el plano. Y así, en términos de esta
imagen, un polinomio está completamente determinado por los valores que adopta
en una región como esta. Ningún otro polinomio tomará allí los mismos
valores. Nuevamente, relájate si todo esto te parece demasiado. Ahora bien, los polinomios kid las funciones más simples y de mejor comportamiento, pero
existe un mundo mucho más amplio de funciones que comparte muchas de las mejores propiedades
con los polinomios. Esas child las llamadas funciones analíticas.

Estas son
funciones complejas que se pueden expresar localmente como polinomios finitos regulares o.
como polinomios infinitos, las llamadas series de potencias. Por ejemplo, la.
función exponencial es una función analítica porque se puede escribir como un.
polinomio infinito como este. De hecho, casi todas nuestras funciones favoritas, como las.
funciones trigonométricas, funciones racionales, and so on, child analíticas. Para nosotros es importante que, al.
igual que un polinomio, una función analítica está completamente determinada por.
cualquier fragmento inicial. Entonces, si les doy un fragmento inicial de una función analítica.
como la función exponencial, entonces ninguna otra función analítica puede continuar.
este fragmento. Esto suele expresarse diciendo que la continuación analítica de una.
función analítica está determinada de forma única.En resumen

, aunque puede haber muchas maneras advertisement hoc agradables de continuar una función analítica, sólo hay una forma distinguida,.
más razonable, absolutamente fantástica, que nunca se mejorará, de hacer esto, lo que.
lleva a una función analítica más amplia. Por supuesto, como dije, todo esto es muy.
vago y ustedes, los que lo saben, probablemente me criticarán hasta la muerte en los.
comentarios. (Marty) Lo espero con ansias. Ok, en particular no les dije por qué necesitamos arrastrar.
funciones complejas a la discusión, pero ejecútenlo por hoy y les prometo que.
completaré los detalles pronto.Mientras tanto, también puedes leer sobre cosas. siguiendo los enlaces en la descripción. Lo único que realmente hay que. recordar es esto: una parte inicial de una función analítica define toda la. función analítica.
Ahora podemos unir los puntos. Tenemos dos nociones completamente diferentes. de mejor extensión.
Primero, para extender sumas a supersumas de. series divergentes y segundo, para extender una parte de una.
función analítica a toda la función analítica. Combinando estas dos.
concepts de extensión, finalmente podemos explicar qué sucede con 1 + 2 + 3 + y -1/ 12.

Bien,.
echa un vistazo a esta serie infinita. Observe que es lo mismo que la.
función zeta excepto que incluye desventajas. También es obviamente diferente de la.
serie Numberphile en que incluye una variable z. Entonces, en realidad es una.
familia infinita de collection infinitas, una para cada número complejo z. Hagamos simplemente una.
pequeña lista de dichas collection correspondientes a algunos valores enteros destacados. Para.
z = 0 tenemos nuestra serie 1 menos 1 más 1. Ok, para x = - 1 obtenemos 1 menos 2 más 3 y los habituales de Mathologer saben que para z = 1 y 2 las collection kid convergentes. Ahora bien, en general, estas series.
boy convergentes para todos los números complejos z en el semiplano parduzco positivo. Las.
collection infinitas child divergentes para todos los demás z, incluido 1 menos 1 más 1, etc en 0 y el otro.

Wrong stoppage, así como las dos series de Numberphile pueden.
supersumarse, lo mismo es posible para cada z, para todas las collection divergentes de esta.
familia. Y esto nos permite definir un pariente cercano de la función zeta, la.
llamada función eta de Dirichlet. Y esta.
función resulta ser una función analítica. Entonces, para empezar, la.
suma estándar solo nos da parte de esta función analítica para la cual.
convergen dos collection infinitas, esta parte aquí. Ahora, la mayoría de los matemáticos simplemente descartarán una.
serie divergente que aparece aquí como artefactos inútiles.

En lugar de ello,.
construirán la continuación analítica de la función eta mediante métodos completamente diferentes
. Estos métodos kid muy hábiles e ingeniosos. Wrong stoppage, proporcionan muy poca intuición y comprensión de lo que realmente está.
sucediendo aquí. Por otro lado, ver que la extensión más razonable de una.
función analítica que se define en parte del.
plano complejo en realidad viene dada por la forma más razonable de asignar.
sumas generalizadas a estas series divergentes supuestamente inútiles me parece correcto.
y lleva a la camino hacia una comprensión más intuitiva de la continuación analítica,.
al menos en este caso.

Pero ahora hay una grandma concept: acabamos de usar una.
suma generalizada para construir una continuación analítica, ¿ verdad? Demos la vuelta a la concept y.
usemos la continuación analítica para identificar candidatos para un.
método de suma generalizada. Y esto es exactamente lo que sucede en el caso de 1 + 2 + 3,.
and so on y - 1/12 y la función zeta. Obtienes la función zeta cuando reemplazas.
todos los inconvenientes de la función eta por ventajas. Bueno, obtienes parte de ella, la.
parte marrón. que es la parte del plano complejo para la cual.
convergen las series infinitas de la derecha. Para todos los demás z, las series infinitas resultantes.
kid divergentes e incluso la súper suma no ayuda para la parte blanca de la.
izquierda. Así que el truco de la súper suma para eta simplemente no funciona para zeta.

El.
truco a utilizar está codificado en el final de la pseudo prueba de Numberphile. Esa es la.
parte marrón de ahí abajo. Recuerde que esta parte del argumento toma la suma S2.
de la serie 1 - 2 + 3 y escupe una suma para la serie 1 + 2 + 3. Formalmente,.
estas dos sumas boy justo lo que obtiene cuando hace que z sea igual a -1 en el.
collection infinitas de las funciones eta y zeta y, en realidad, el.
cálculo de Numberphile es solo un ejemplo especial de un cálculo que involucra eta y.
zeta. Seamos valientes. Haciendo caso omiso de las cuestiones de legalidad, hagamos exactamente el.
mismo cálculo sobre eta y zeta. Entonces, en lugar de restar S2 de S,.
restemos eta de zeta. ¿ Listo? ... Bien, saca el variable común de ahí abajo. Eso es zeta nuevamente entre paréntesis. Ahora resolvamos para zeta. Ahí mi magia nuevamente está bien, eso es exactamente lo.
mismo que la última parte del cálculo de Numberphile usando zetas y eta en lugar.
de la serie de Numberphile. Sólo como comprobación después de sustituir z = -1 esta identidad se convierte en esto, y siendo S2 1/4 obtenemos.
esto.

Bien, más magia y volvemos a -1/ 12. ¿ Pero no dijimos que el.
(Mathologer) Definitivamente lo hicimos. Y lo es, pero.
ocurre algo de magia con zetas y eta que evita que nuestro cálculo de zetas eta.
sea una tontería y esa es la magia de la continuación analítica. Tanto la serie.
de zetas como la de eta boy convergentes para cada z en esta región pardusca. Esto.
significa que para estos valores de z nuestro cálculo y la ecuación resultante.
anterior kid matemáticas puras, correctas y 100% aprobadas de buena fe.

Pero, además,.
eta está definida y es analítica para todo z y lo mismo ocurre con el denominador. Pero entonces el lado derecho, como cociente de dos funciones que kid analíticas.
en todas partes, está definido y analítico en todas partes excepto posiblemente en.
los ceros del denominador. De hecho, una mirada más cercana revela que todo el.
lado derecho es analítico en todas partes excepto en z= 1. Aquí viene el remate y este remate depende del negocio de las funciones analíticas de localización de fragmentos del que he estado hablando.

Realmente deberías intentar.
entender esto. Bien, entonces tanto el lado izquierdo como el lado derecho boy analíticos en.
esta parte del plano complejo. Pero dado que el lado derecho es analítico.
en todas partes, debido a nuestra propiedad de funciones analíticas de localización de fragmentos, el.
lado derecho tiene que ser igual a la elusiva continuación analítica de la.
función zeta de la izquierda que a todo el mundo le interesa realmente, la función analítica.
continuación de la función zetas.

Entonces, esta identidad es una verdadera joya, ya que brinda.
una forma explícita de calcular cualquier valiance de la función zeta de Riemann,.
continuación analítica y todo a través de la función eta que, recuerde, definimos mediante.
supersuma. En otras palabras, en realidad tiene sentido utilizar esta identidad como.
definición de la función zeta que funciona para todo z. Por ejemplo, al configurar.
z= 0 obtenemos este aquí y eta de cero age solo la supersuma de.
1 menos 1 más 1, etc, que es igual a 1/2, por lo que zeta de 0 es igual a.
-1/ 2. Aquí sólo un par de valores más interesantes para zeta.
particularmente interesantes. De hecho, resulta que zetas tiene ceros en todos los.
números enteros pares negativos, -2, -4, -6, and so on. Estos son los.
llamados ceros triviales de la función zeta. Estoy seguro de que si has llegado hasta aquí también habrás oído hablar de la hipótesis de Riemann,.
que trata sobre otros ceros de la función zeta.

Dice que todos los demás.
ceros están situados en esta línea azul aquí y lo que también es realmente interesante.
es que en el lado derecho en realidad no tenemos que realizar una supersuma para.
calcular los valores de zetas en la línea azul porque solo disadvantage la.
suma ordinaria eta se puede evaluar en todas partes de esta parte del.
plano complejo, esta parte aquí que incluye esta línea crítica. Se.
podrían decir muchas otras cosas interesantes aquí, pero bueno, estamos aquí para resumir.
todo este asunto de 1 más 2 más 3 es igual a -1/ 12. Muy bien, está bien, hagámoslo. En primera instancia, es realmente nuestra identidad allá arriba la que el.
video de Numberphile intenta capturar y definitivamente es tentador expresar su.
identidad como una nueva suma generalizada, tal vez así. He decorado el.
signo igual con una R en honor a Ramanujan, quien parece haber sido el primero en pensar de.
esta manera (NO Euler como mucha gente piensa). De hecho, en el cuaderno de Ramanujan podemos.
encontrar un cálculo muy similar al que aparece en el vídeo de Numberphile.

Por.
supuesto, hay una grandmother diferencia entre un.
genio monumental que abrevia rápidamente todas sus cosas complicadas en una nota individual y.
un vídeo de YouTube dirigido a una audiencia general, ¿ verdad? Lo que ves allí es.
parte de un método general llamado suma de Ramanujan que asigna valores.
a todo tipo de collection divergentes, incluidas las tres collection de Numberphile. Un aspecto importante de las collection infinitas que a menudo se pasa por alto es el orden.
en que se suman los términos. No estamos simplemente sumando un conjunto infinito, sino que.
lo hacemos en un orden determinado y esto tiene todo tipo de implicaciones importantes. Entonces, por.
ejemplo, no importa cómo organicemos los números naturales en una serie infinita,.
esta serie infinita siempre divergerá hacia más infinito usando la.
suma estándar. Wrong stoppage, cómo exactamente, qué tan rápido, lento, normal y errático diverge hasta el.
infinito depende en grandma medida del orden de los términos de la serie. La.
suma de Ramanujan carece de prácticamente todas las agradables propiedades sumisas que encontramos.
hoy.

Sin embargo, logra capturar aspectos de series ordenadas naturalmente y.
aparece en muchas otras ramas de la teoría de series divergentes.
además de la que hablamos hoy. Consulte algunos de los enlaces en.
la descripción, especialmente si sabe muchas matemáticas, el artículo de Terry Tao. También estoy planeando otro vídeo sobre la llamada fórmula de suma de Euler-Maclaurin,.
que establece una poderosa conexión entre sumas e integrales.
y que es el punto de partida de la suma de Ramanujan. Sólo para abrir el.
apetito, aquí hay un hecho -1/ 12 estrechamente relacionado. La enésima suma parcial de.
nuestra serie infinita es N( N +1)/ 2 Entonces, si reemplazamos 1, 2, 3, 4, etc para N,.
la fórmula arrojará esas sumas parciales 1, 3, 6, 10. Ahora reemplacemos N por x.
y grafiquemos la función resultante. Esa es una cuadrática disadvantage ceros en 0 y - 1. Ahora bien, lo noteworthy de esta gráfica es que el área con signo aquí es.
igual a -1/ 12. Y esto definitivamente no es una coincidencia.

Cosas realmente asombrosas.
, ¿ no estás de acuerdo? Y eso es todo, finalmente, por hoy (y ahora voy y me mato:-RRB- y prometo que el próximo vídeo será MUCHO más corto.

Aquí hay una parte de una función continua misteriosa que está
Ok, para x = - 1 obtenemos 1 menos 2 más 3 y los habituales de Mathologer saben que para z = 1 y 2 las collection son convergentes. Haciendo caso omiso de las cuestiones de legalidad, hagamos exactamente el.
1 menos 1 más 1, and so on, que es igual a 1/2, por lo que zeta de 0 es igual a.
-1/ 2. Ahora bien, lo noteworthy de esta gráfica es que el área disadvantage signo aquí es.

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