Calculus 1 - Full College Course

Este vídeo trata sobre cómo trabajar disadvantage expresiones
racionales. Una expresión racional es una fracción, generalmente con variables, algo como x más
dos sobre x al cuadrado menos tres es una expresión racional. En este video, practicaremos
sumar, restar y multiplicar. y dividir expresiones racionales y simplificarlas a sus
Empezaremos simplificando. Recuerde, si tiene una fracción
con solo números, algo así como 21 más de 45, podemos reducirlo a los términos más
bajos factorizando el numerador y factorizando el denominador y luego cancelar factores comunes. Entonces,
en este ejemplo, el tres es cancelar y nuestra fracción se reduce a siete sobre 15. Si
queremos reducir la expresión racional con variables y sumamos a los términos más bajos, procedemos
de la misma manera.Primero, factorizaremos el numerador, eso es tres por x más dos, y luego factoriza el denominador. En este caso de factores 2x más dos por x más dos, también podríamos escribirlo como x más dos al cuadrado. ahora cancelamos los factores comunes. Y nos queda tres sobre x más dos. Definitivamente una forma más sencilla. de escribir esa expresión racional.Ahora, a continuación, practiquemos la multiplicación y la división. Recordar que si multiplicamos dos fracciones que solo contienen números, simplemente multiplicamos los numeradores y multiplica los denominadores. Entonces, en este caso, obtendríamos cuatro por dos sobre tres. multiplicado por cinco o 8/15. Si queremos dividir dos fracciones, como en el segundo ejemplo, entonces podemos reescribirlo multiplicando por el recíproco de la fracción en el denominador. Así que aquí, obtenemos cuatro quintos por tres mitades, y eso nos da 12 décimos. Pero en realidad, nosotros podríamos reducir esa fracción a seis quintos, usamos las mismas reglas cuando calculamos la Producto o cociente de dos expresiones racionales con variables. Aquí estamos intentando dividir en expresiones racionales. Entonces, en lugar de eso, podemos multiplicar por el recíproco, lo llamo esto de voltear y multiplicar. Y ahora simplemente multiplicamos los numeradores. y multiplicar los denominadores. Podría resultar tentador en este punto multiplicar para distribuir el numerador y el denominador.Pero en realidad,

es mejor dejarlo en esta forma factorizada. y factorizado aún más completamente. De esa manera, podremos reducir la expresión racional. cancelar los factores comunes. Así que factoricemos aún más x al cuadrado más x factores
como x por x más uno, y x al cuadrado menos 16. Y. esa es una diferencia de
dos cuadrados, eso es x más cuatro por x menos cuatro, el denominador ya está completamente. factorizado, así que simplemente copiaremos terminó. Y ahora podemos cancelar factores comunes. aquí y aquí, y nos queda x veces x menos cuatro. Esta es nuestra respuesta last. Sumar y restar fracciones es un poco más complicado porque primero tenemos que encontrar. un denominador común. Un denominador común es una expresión en la que se dividen ambos denominadores,. normalmente lo mejor a largo plazo es Utilice el mínimo común denominador, que es la. expresión más pequeña que ambos denominadores dividido en.En este ejemplo, si solo queremos un denominador.

común, podríamos usar seis por 15, lo que es 90 porque tanto seis como 15 se dividen exactamente. entre 90. Pero si queremos el mínimo común denominador, la mejor manera de hacerlo es factorizar los dos denominadores. Entonces seis es dos por 315 es tres multiplicado por cinco y luego juntar solo los. factores que necesitamos para dividir seis y 15 nuestros números, así que si usamos dos por tres. por cinco, que es 30. Sabemos que dos por tres lo dividiremos y tres por cinco. también lo dividiremos y no podremos para obtener un denominador más pequeño porque necesitamos. el factor de dos, tres y cinco, en Para asegurar que
ambos números se dividan, una vez. que tengamos nuestro mínimo común denominador, Podemos reescribir cada una de nuestras fracciones en términos. de ese denominador. Entonces siete, seis
, necesito para obtener 30 en el denominador, entonces voy a multiplicar. eso por cinco partido por cinco y multiplicar por los factores que faltan en el denominador. actual para obtener mi mínimo común denominador de 30. Para la segunda fracción,. 1515 por dos es 30. Así que voy a multiplicado por dos partido por dos, puedo reescribir. esto como 3530 s menos 830 s.Y ahora que tengo un denominador común, puedo simplemente restar. mis dos numeradores. Y obtengo 27/30. Si factorizo, Puedo reducir
esto a tres al cuadrado entre dos. por cinco, que es nueve décimos. El proceso para encontrar la suma de dos expresiones racionales. con variables sigue exactamente el mismo proceso.
Primero, tenemos que encontrar el mínimo. Ahora para el mínimo común denominador, voy a tomar todos. Y entonces obtendré.
Y entonces me di cuenta que comparado con el mínimo común denominador, me. falta el element de x menos uno.
Entonces Multiplico el numerador y el denominador por. Entonces solo estoy multiplicando por
uno y una forma elegante y sin cambiar el valorValiance Lo que falta en este denominador, comparado Para mi mínimo común denominador es sólo el.
Ahora puedo reescribirlo. todo. Entonces la primera expresión racional se convierte en tres por x menos uno entre dos por. x más 1x menos uno, y el segundo se convierte en cinco por dos sobre dos por x más 1x menos uno,. observa que ahora tengo un denominador común. Entonces puedo simplemente sumar mis
numeradores. Entonces obtengo tres por x menos uno más 10 encima dos por x más 1x menos uno. Me gustaría simplificar. esto. Y la mejor manera de hacerlo es dejar el denominador en forma factorizada. Pero tengo que multiplicar el numerador. para poder sumar cosas. Entonces obtengo 3x menos. tres más 10 dividido por dos por x más 1x menos uno, o 3x más siete sobre dos por x. más 1x menos uno.Ahora 3x más siete no element. Y por lo tanto no hay factores que pueda. cancelar. Entonces esto ya está reducido. Tanto como pueda ser.
Esta es mi respuesta final. En este video, vimos cómo simplificar expresiones racionales.
También vimos cómo.
Este video clip trata. sobre el cociente de diferencias y el promedio. tasa de cambio.
Estos child temas que están relacionados. con el concepto de derivada y cálculo.
Para la función y es igual a f de x, como la función.
voy a etiquetar este valor de x tiene a, y este valiance de x es B. Entonces,.
este punto aquí en el gráfico va a ser tiene un valor x de a, y un valor y dado por. f de a, el segundo punto tendrá valor x Valor B e Y, f de b.Ahora la tasa de cambio.
promedio para una función en el intervalo de a a b se puede definir como la pendiente que
tiene. la línea secreta entre los dos puntos A, F de A y B, F de B. En símbolos, esa pendiente m es el.
aumento a lo largo del recorrido, o el cambio en y sobre el cambio en x, que es la diferencia en las. coordenadas Y f de b menos F de A sobre la diferencia en x coordenadas b menos a.Entonces. esta es la tasa promedio de cambio.

A ponga esto en contexto, si por ejemplo, f de. x representa la altura de un árbol, y x representa tiempo en años, entonces f de b menos f de a representa. una diferencia de altura, o la cantidad que el árbol crece. Y B menos A representa una diferencia en años,. es decir, un período de tiempo.
Entonces este promedio La tasa de cambio es la cantidad que crece el árbol en. un período de tiempo determinado.
Por ejemplo, si crece 10 pulgadas en dos años, eso sería 10. pulgadas cada dos años, o cinco pulgadas por año sería su tasa promedio de cambio su. tasa promedio de crecimiento, calculemos la tasa de cambio promedio para la función f de x. es igual a la raíz cuadrada de
x en el intervalo de uno a cuatro.Entonces la tasa de cambio promedio es f de cuatro menos f de. uno sobre cuatro menos uno, bueno, f de cuatro es la raíz cuadrada de cuatro de uno la raíz. cuadrada de uno.
Entonces serán dos menos. uno sobre tres o 1/3. En lugar de llamar a. estas dos ubicaciones en el
eje x, a y b, esta vez, voy a llamar a la primera ubicación, solo.
x y a la segunda ubicación, x más h. La idea es que h representa la distancia horizontal.
entre estas dos ubicaciones en el eje x. En esta notación, si quiero etiquetar este.
punto en la gráfica de y es igual a f de x, tendrá una coordenada x de x y una coordenada y de.
f de x.El segundo punto tendrá una x. coordenada de x más h y coordenada y de f.
de x más h. un cociente de diferencias es simplemente la tasa de cambio promedio usando esta notación.
x x más h. Entonces una versión diferente representa la tasa de cambio promedio de una.
función, f de x en el intervalo de x a x más h. De manera equivalente, el cociente de diferencias.
representa la pendiente de la recta secante para la gráfica de y es igual a f de x entre los puntos.
con coordenadas x, f de x y x más h, f de x más h. Calculemos una fórmula para el
. cociente de diferencias. Recuerde que el La fórmula para la tasa de cambio promedio podría.
escribirse como f de b menos F de A sobre B menos A, donde a y b child las dos ubicaciones en el.
eje x. Pero ahora estoy llamando en lugar de a Estoy usando x en lugar de B, estoy usando x más h. Entonces puedo reescribir esta tasa de cambio promedio como f de x más h menos f de x sobre x.
más h menos x.Eso simplifica un poco el denominador. Como x más h menos x, puedo.
cancelar el acceso y obtengo la diferencia. fórmula del cociente f de x más h menos f de.
x sobre h. La cantidad h en el denominador It Parece una entidad única, pero aún representa una diferencia.
en los valores de x. Encontremos y simplifiquemos el cociente de diferencias para esta función.
dado primero o escriba la fórmula basic para el cociente de diferencias. Esa es una.
F de x más h menos f de x sobre h. voy a Primero calcule f de x más h, lo hago empujando.
x más h, en todas partes veo una x en la fórmula de la función. Entonces eso.
me dará dos por x más h al cuadrado menos x más h más tres. Observe cómo uso paréntesis.
aquí. Eso es importante, porque Necesito asegurarme de introducir todo x más.
Similarmente, los paréntesis aquí indican que todo x más h. se eleva al cuadrado como debe ser, estoy Voy a seguir adelante y simplificar un poco ahora,. Entonces, si multiplico, obtendré x al cuadrado más XH más h x más h al cuadrado. Ahora.
más 2x H más dos h x más dos h al cuadrado.
menos x menos h más tres, estos dos términos son en realidad iguales, puedo sumarlos para obtener.
4x H. Y creo que es tan basic como Puedo conseguir esa parte. Ahora voy a escribir F.
de x más h menos f de x. Así que eso es Va a ser esto aquí, menos f de x.Nuevamente.

necesito poner la fórmula F de X. entre paréntesis para asegurarme de restar.
todo. Distribuiré lo negativo. Y ahora me di cuenta de que muchas cosas se cancelan. Entonces el 2x al cuadrado y el menos 2x al cuadrado sumar cero, menos x y x sumar cero,.
y el tres y el menos tres, suman cero. Entonces.
me queda 4x H más dos h al cuadrado menos h. Finalmente, escribiré el cociente.
de diferencias overall dividiendo todo por H. Puedo simplificar esto aún más, porque.
observe que hay una H en cada término del numerador. Si factorizo esta H, H multiplicada.
por 4x, más dos h menos uno dividido por h, estas dos H se cancelan y me queda un cociente.
de diferencia de 4x más dos h menos uno. Este cociente de diferencias se volverá.
importante en cálculo, cuando calculemos el cociente de diferencias para valores cada vez más pequeños.
de h, eventualmente dejando que h llegue a cero, y terminando con una expresión que.
no tiene H y representa la derivada o pendiente de la función misma.En este video,

usamos.
la fórmula f de b menos F de A sobre B menos A para calcular una tasa de cambio promedio.
y la fórmula relacionada f de x más h menos f de x sobre h para calcular y simplificar un.
cociente de diferencias. Este vídeo presentará la concept de límites a través de algunos gráficos.
y ejemplos. Cuando trabajaba en San Francisco, Solían arrival en el bar de ensaladas y sushi Julia.
que tenía una estructura de precios interesante, el la comida allí cuesta 10 dólares la libra. Pero si.
llenas tu plato exactamente disadvantage una libra, Tienes un almuerzo gratis. Entonces, hagamos que y sea igual.
a f de x y represente el precio de su almuerzo en dólares en función de su peso x en libras. Y quiero.
escribir una ecuación para describir f de x como una función definida por partes.Tiene.

sentido utilizar una función definida por partes. Debido a que hay dos situaciones, el peso x podría.
ser exactamente una libra o podría ser diferente de una libra. Si el peso es exactamente.
una libra, entonces f de x El precio es cero. Pero si x es diferente de una libra, entonces.
el precio es 10 veces x como gráfico, mi La función va a seguir la línea y es igual a 10x. Pero cuando x es exactamente uno, mi función va a tener un valor de cero y no de 10. El círculo.
abierto aquí representa un agujero o un lugar donde falta un punto en la gráfica. Ahora,.
cuando x es cercano a uno, pero no igual a uno, entonces los valores F de X, es decir, los valores de.
y, están muy cerca de 10. En el lenguaje de los límites, decimos que el límite cuando x se acerca a uno.
de F tiene x es igual a Ted. Más informalmente, podemos escribir, cuando x se acerca a uno, f de.
x se acerca a 10. Observe que el valiance de f en uno es en realidad igual a cero, no a 10.

Y entonces.
el límite de f de x cuando x llega a uno, y el valor de f en uno, no boy iguales. Esto.
ilustra el hecho importante de que el límite aquí cuando x llega a uno no le importa.
el valiance de f, en uno, solo le importa el valiance de f, cuando x está cerca de uno, en basic, para.
cualquier función f de x, y para números reales, a y L, el límite cuando x llega a a de f de x es igual.
a L significa que f de x se vuelve arbitrariamente cerca de L, cuando x se acerca arbitrariamente a a,.
en otras palabras, cuando x se dirige hacia a, f de x se dirige hacia L. Déjame hacer un.
dibujo. En esta foto puedo decir que el límite cuando x llega a a de f de x es L. Porque al tomar.
un intervalo suficientemente pequeño alrededor a de valores de x, puedo garantizar que mis valores de y, mis valores.
de f de x se encuentran en un valor arbitrariamente pequeño intervalo alrededor de L.Ahora al

límite no le importa.
el valor de s exactamente en a. Entonces si cambio la función, si cambio el valiance de las funciones en.
a, o incluso dejo la función wrong definir en a, el límite sigue siendo L. Pero al límite sí.
le importa lo que sucede con los valores de x a ambos lados de a. Si, por ejemplo, la función ni siquiera existía.
para valores de x mayores que a, entonces Ya no se podía decir que el límite, cuando x se acercara a.
a estuviera fuera, el límite no existiría. En otra En palabras, el límite de f de x es L, sólo si los valores.
Porque los valores de. Aunque el límite no existe, podemos.
decir que el límite del lado izquierdo existe. Y escribimos esto como límite cuando x llega.
a dos desde la izquierda de g de x es igual a uno.El signo menos en superíndice aquí significa.
que x va a dos desde el lado izquierdo. En otras palabras, los valores de x son menores que.
dos y se acercan a dos. Del mismo modo, podemos hablar de límites del lado derecho. En este ejemplo,.
el límite cuando x va a dos por la derecha El lado de g de x es tres. Y aquí, el lado positivo en superíndice.
significa que nos acercamos a dos desde el lado derecho. En otras palabras, nuestros.
valores de x child mayores que y se acercan a a. En general, el límite cuando x llega a menos de f.
de x es igual a L significa que f de x se aproxima L, cuando x se aproxima a a por la izquierda, y el límite.
cuando x se acerca a un más de f de x es igual nuestro significa que f de x se acerca a nuestro cuando.
x se acerca a a desde los límites correctos desde el desde la izquierda o desde la derecha también se llaman.
límites unilaterales.En este último ejemplo, vamos observe el comportamiento de y es igual a h del gráfico de x a continuación.
cuando x está cerca de menos dos. A medida que x se acerca menos dos desde la derecha, nuestros valores de Y se están.
volviendo arbitrariamente grandes, más grandes que cualquier número real que podamos elegir. Podemos escribir.
esto en términos de límites diciendo el límite cuando x llega a menos dos desde la derecha de h,.
x es igual a infinito.A medida que

x se acerca menos dos desde la izquierda, los valores de y se hacen más.
pequeños. De hecho, están por debajo de cualquier número actual negativo que podríamos elegir. En términos.
de límites, podemos decir que el límite como x va a menos dos desde la izquierda de h de.
x es menos infinito. En este ejemplo, el límite de h de x cuando x llega a menos dos, transgression.
especificar desde la izquierda o la derecha significa que tenemos que acercarnos a menos dos desde.
ambos lados. Y entonces este límite no existe, porque los límites de la izquierda y el límite.
de la derecha van en direcciones opuestas. Quiero mencionar que algunas personalities dicen que.
los límites de la derecha y los límites de la La izquierda tampoco existe. Porque las funciones no se aproximan.
a ningún número finito. yo prefiero decir que estos límites no existen como un.
número finito. Pero existen como infinito. e infinito negativo. Este video introdujo la.
concept de límites y límites unilaterales y límites infinitos.

A ponga esto en contexto, si por ejemplo, f de. En lugar de llamar a. estas dos ubicaciones en el
eje x, a y b, esta vez, voy a llamar a la primera ubicación, solo.
Pero cuando x es exactamente uno, mi función va a tener un valor de cero y no de 10. Porque los valores de. De hecho, están por debajo de cualquier número actual negativo que podríamos elegir.Este vídeo ofrece algunos ejemplos
de cuando los límites no existen.Para esta función

, f de x en el siguiente gráfico, veamos el comportamiento de
f de x en términos de límites, a medida que x se acerca negativo uno, uno y dos. Comencemos con x acercándose
a menos uno. Cuando x se acerca uno negativo del último, el valor de y se acercará
aproximadamente a la mitad. Cuando x se acerca a menos uno desde la derecha, los valores
de y boy sandvi, acercándose a uno. Así que cuando x se acerca a menos uno, y no especificamos ni por
la izquierda ni por la derecha, podemos Sólo digo que el límite no existe, porque estos
dos límites de izquierda y derecha son no es igual.Ahora miremos el límite cuando x se acerca a uno. Esta vez nos acercamos por la izquierda, Obtenemos un valor límite de y de dos, nos acercamos desde la derecha, los valores de y van hacia dos. Entonces ambos límites izquierdo y derecho boy iguales a y por lo tanto el límite cuando x llega a uno de f de x es igual a dos. Eso es cierto, aunque f de uno f de uno mismo no existe. Al límite no le importa lo que suceda exactamente x es igual a uno, exactamente lo que sucede cuando x está cerca de uno. Finalmente, veamos el
límite cuando x llega a dos. Entonces aquí en el lado izquierdo, el límite va al infinito negativo. Y en el lado derecho, es infinito negativo. Así que nosotros Se puede decir que el límite cuando x llega a dos es infinito negativo. O también podemos decir que el límite cuando x llega a dos no existe. Esta es la respuesta correcta. Esta es una mejor respuesta porque lleva más información.
Entonces hemos visto ejemplos donde el límite por la izquierda no es igual al. límite por la derecha. Aquí está nuestro número a donde estamos calculando el
límite. Hay una asíntota vertical aquí en a, que El límite no existe debido al comportamiento ilimitado.
hasta el infinito. Hay otra forma en la que los límites. pueden dejar de existir y que rise a veces.No con tanta frecuencia. Y ese es un comportamiento salvaje.

No. es un término técnico, sólo al término descriptivo. Veamos un ejemplo que tiene este comportamiento salvaje,. lo que obliga a que un límite no exista. Y uno de los ejemplos más clásicos es el límite. cuando x llega a cero del seno pi sobre x o a veces verás seno uno sobre x. Si graficas. esto en tu calculadora gráfica y acercar cerca de x es igual a cero, verás. algo que se parece más o menos a esto. Sigue oscilando hacia arriba y hacia abajo y hacia arriba y hacia. abajo, a medida que x se acerca
a cero. A medida que x se acerca hacia cero, pi sobre x se hace cada. vez más grande. Y vas a pasar estas oscilaciones entre uno y negativo para. cada vez más rápido. Por otro lado, cuando x es negativo, verás un tipo. de comportamiento similar simplemente oscilando más y más rápido. Cuando x tiende a cero, aquí, estos valores superiores aquí arriba child uno,. y el valor inferior de estos se supone que todos para
golpearlo negativo.Ahora, cuando intentas. decidir cuál es el límite, cuando x llega a cero, bueno, los valores de y pasan por todos. los números reales posibles y entre negativos uno y uno infinitamente
veces cuando x llega a. cero, por lo que no hay un solo número que el el límite puede establecerse. Y entonces, el límite. cuando x llega a cero, del seno pi sobre x no existe. En este video, vimos tres tipos de ejemplos en los que. los límites no existen, pueden no existir. existen porque los límites unilaterales a la izquierda. y a la derecha no boy iguales. O ellos puede dejar de existir debido
a asíntotas verticales. Además,. los límites pueden dejar de existir cuando hay comportamiento salvaje. Y la función no logra establecerse. en ningún valor único. Este vídeo trata sobre leyes de límites, reglas para encontrar los límites. de sumas, diferencias, productos y cocientes y funciones.Comencemos con un ejemplo.
Supongamos. que el límite cuando x llega a siete de f de x es 30. Y el límite cuando x llega a siete. de g de x es dos. ¿ Cuál es el límite como x va a siete de f de x dividido por menos. tres por g de X. La f de x de Wilson se dirige hacia 30. Y. g de x se dirige hacia dos, tiene sentido que el cociente debería apuntar hacia 30 dividido. por menos tres por dos, o menos cinco.
Supongamos que c es una constante, solo un número, y que los límites cuando x llega a a de f de x.
y g de x existen como números finitos que No es como límites que sean infinito o infinito negativo. Entonces el límite de la suma f de x más g de x es igual al límite de f de x más.
el límite de g de x.En otras palabras, el límite de la suma es la suma de los límites. De manera.
comparable, el límite de la diferencia es la diferencia de los límites. El límite de C multiplicado.
por f de x es exactamente c multiplicado por el límite de f de x. Y el límite del producto es el producto.
de los límites. El límite del cociente. es el cociente de los límites, siempre que el.
límite de g de x no sea igual a cero. Ya que no podemos dividir por cero. Usemos estas leyes.
límite en un ejemplo, para encontrar el límite cuando x va a dos de x al cuadrado más 3x más seis.
dividido por x más nueve. Bueno, el limite La regla sobre los cocientes nos permite reescribir.
este límite de un cociente como un cociente de límites, siempre que existan los límites del numerador.
y del denominador, y que el límite del denominador no es cero.Pero veremos en

un. momento que estas condiciones sí lo hacen en retención de hecho. A continuación, podemos usar la regla del. límite sobre sumas para reescribir
el numerador como una suma. de límites. Y podemos reescribir el límite en el denominador. también como una suma de límites.
Próximo, podemos usar la regla del límite sobre productos para reescribir. el límite de x al cuadrado como el cuadrado del límite. Eso es porque x al cuadrado es en realidad. x multiplicado por x. Y entonces
el límite de x al cuadrado es realmente el límite de x multiplicado por x, que según la. regla del producto es un límite de x multiplicado por el límite de x, que es el límite de la cantidad de.
x al cuadrado.Volviendo al problema initial, Ahora podemos usar la regla del límite sobre multiplicar por. una constante para reescribir el límite de tres. multiplicado por x como tres veces el límite de x. Y. simplemente llevaré el resto adelante. Ahora eso Si tenemos las cosas divididas en trozos pequeños,. podemos empezar a evaluar algunos límites.
Observe que el límite cuando x va hacia dos de. x es solo dos, porque cuando x se dirige hacia 2x
, se dirige hacia dos, por lo que podemos reemplazar todos. estos límites de acceso solo por el número dos. Entonces obtenemos dos al cuadrado más tres por. dos. Ahora observe que el límite cuando x llega a dos de seis, bueno, seis no tiene ninguna x. Entonces,. cuando x dos se dirigen hacia seis días a las seis, y
el límite aquí es sólo seis.Entonces,. en mi problema initial, puedo reemplazar el establezca un límite

de seis con seis. Y en el denominador. aquí, llego a más nueve. Y después de un poco aritmética, esto se simplifica
a 16/11. Observe que podríamos. haber obtenido esta respuesta muchas veces. más rápido, simplemente sustituyendo el valiance. de dos en nuestra expresión initial. Y en De hecho, esa es la belleza de las leyes del limón
,. nos permiten evaluar los límites de la racionalidad. funciones, simplemente ingresando el número.
hacia el que se dirige x, siempre que ingrese en ese número no hace que el denominador. sea cero. No es tan simple.
Al enchufar en el valiance hace que el hecho sea cero. Es importante tener en cuenta que estas leyes de límites solo. Si el límite de una o ambas funciones componentes.
no existe, entonces hay reglas de límite. simplemente no se aplica. Y en cambio, tenemos que utilizar. otras técnicas para intentar evaluar el límite de una suma, producto de diferencias. o cociente.Este video clip es sobre el apretón. teorema, que es otro método para encontrar límites. Comencemos con un ejemplo. Suponer tenemos una función g de x. No sabemos mucho al respecto. Pero sí sabemos que para el valiance de x está cerca de uno, g de x es mayor o igual a cuatro. veces la raíz cuadrada de x dibujada aquí en rojo, y menor o igual a 3x al cuadrado menos 4x. más cinco, dibujado aquí en azul.Entonces en la imagen, G tiene que estar entre las curvas roja. y azul para valores de x cercanos a uno, podría knowledgeable algo como esto.
¿ a uno? Bueno, si te fijas, la curva roja y la. Y dado que la curva.
verde se encuentra entre la roja y la curva azul, su límite también debe serlo para este.
ejemplo como un caso especial del teorema de compresión. Ahora, digamos el teorema de compresión en general,. supongamos que tenemos tres funciones, f de x g de x y h de x. Y supongamos que f de. x es menor o igual que g de x, lo cual es menor o igual a h de x, al menos para valores.
de x cercanos a algún número A. esta desigualdad no necesariamente tiene que ser válido para x. igual a a, porque vamos a estar hablando de límites.
Y a los límites no les importa lo que suceda cuando. De nuevo, no importa exactamente lo que sucede en x es igual a,
por ejemplo, g de. Y ese es el teorema.
De hecho, el límite cuando x tiende a cero del seno uno. De hecho, es tentador intentar utilizar la regla del producto
y decir que el límite del. Pero resulta que podemos usar el teorema de compresión.
Ahora este ejemplo es un poco más complicado. Pero si nosotros Si observamos una gráfica de x al cuadrado seno.
Ahora sabemos que el seno de uno sobre x siempre está entre uno y menos uno, solo. Y si notamos que el límite cuando x va a cero de x al cuadrado es cero, y
el. El teorema.
que te interesa, atrapada en el medio otras dos funciones disadvantage el mismo límite.
El ejemplo. de este vídeo es un ejemplo clásico, donde tenemos una función trigonométrica oscilante loca,. multiplicada por una potencia de x, que x es uno de nuestras funciones delimitadoras.En este
video, calcularemos. una serie de límites usando métodos algebraicos. trucos.
Todos estos límites son del tipo cero sobre. cero de forma indeterminada. Recordar que esto significa que los
límites son de la forma. el límite de f de x sobre g de x donde el El límite de f de x es igual a cero y el límite de. g de x también es igual a cero. Para un guide ejemplo, veamos el límite cuando x llega a uno de x al. cubo menos uno sobre x al cuadrado menos uno. Observe que el numerador y el denominador. van a cero cuando x llega a uno. A Para calcular este límite, queremos simplificar.
esta expresión. Y una forma de simplificarlo. es factorizarlo. Así que reescribamos esto como.
También podemos factorizar el denominador como una diferencia. Ahora, siempre que x no sea igual a uno,
podemos. Y entonces el límite de esta expresión.
A continuación, veamos el límite. de cinco menos z cantidad al cuadrado menos 25.
Todo. dividido por z. Una vez más, cuando conectamos en x es igual a cero en el numerador, obtenemos cero.
Esta vez, en lugar de factorizar, el truco. Así que reescribamos este límite como el límite cuando t tiende a cero de 25 menos
10 z más z al cuadrado menos 25. Así que mi El límite initial es el mismo que este límite.
Y ahora, en lugar de dividir por r, que es r. de r uno, puedo multiplicar por el recíproco, uno sobre R. R dividido por R es uno. R es igual a cero, tengo un límite de negativo uno partido por cero más tres por tres, o menos uno,. Así que voy a tomar la expresión que nos dan, y multiplicamos por.
de x más tres al cuadrado. yo obtengo más dos por la raíz cuadrada de

x más tres
menos. dos por la raíz cuadrada de x más tres menos cuatro. En el denominador obtengo x multiplicado. por la raíz cuadrada de x más tres más 2x menos la raíz cuadrada de x más tres menos dos. Veamos qué simplifica aquí. Entonces el La raíz cuadrada de x más tres al cuadrado es exactamente. x más tres.Y veo que esta expresión y esta expresión boy opuestos, por lo que aquí. se restan a cero. Entonces en el numerador, Solo tengo x más tres, y luego todavía tengo. menos cuatro en el denominador, nominador Parece un poco desordenado. Lo copiaré por ahora. Bien, entonces en mi numerador, estoy obteniendo x menos uno. Observe que cuando x llega a uno,. el numerador todavía llega a cero. Y de hecho, cuando dejo que x vaya a uno, ese denominador,.
si lo conecto aquí, todo también cancelar a cero. Así que todavía tengo una forma. indeterminada de cero sobre cero. pero tal vez yo Puedes utilizar uno de los trucos anteriores de factorización. Porque mira aquí, si factorizo una X de estas dos expresiones como raíz cuadrada.
de x más tres de estas dos expresiones, Y tal vez podría factorizar un dos de estos dos,.
A. partir de estas dos expresiones, esto se ve prometedor. Ahora tengo una x menos uno en la parte. Y si factorizo la x menos uno de cada una de estas dos expresiones, voy a.
tener una x menos uno en la parte inferior substandard por la raíz cuadrada de x más tres,
más dos.

Supongamos que c es una constante, solo un número, y que los límites cuando x llega a a de f de x.
y g de x existen como números finitos que No es como límites que sean infinito o infinito negativo. Entonces el límite de la suma f de x más g de x es igual al límite de f de x más.
Pero sí sabemos que para el valor de x está cerca de uno, g de x es mayor o igual a cuatro. Y ahora, en lugar de dividir por r, que es r. de r uno, puedo multiplicar por el recíproco, uno sobre R. R dividido por R es uno. Y si factorizo la x menos uno de cada una de estas dos expresiones, voy a.
tener una x menos uno en la parte inferior substandard por la raíz cuadrada de x más tres,
más dos.Ahora, para valores de x cercanos a uno, pero no iguales a uno, puedo cancelarlos. Y mi límite se simplifica a.
uno sobre la raíz cuadrada de x más tres más dos, al conectar uno, obtengo un uno en el.
numerador y una raíz cuadrada de cuatro, que es dos más dos, cuatro en el denominador,.
y hemos calculado este límite. Último ejemplo aquí, otra forma indeterminada de cero sobre cero. Cada vez que veo un valiance absoluto, estoy querremos tomar casos, porque el valiance absoluto.
de X más cinco sigue naturalmente en los casos, si X más cinco es mayor que cero,.
en otras palabras, x es mayor que negativo cinco, entonces el valiance absoluto de este número positivo.
es solo sí mismo.Por otro lado, si X más cinco es menor que. cero, en otras palabras, x es menor que menos cinco, que el valiance absoluto de un número. negativo es su opuesto.
Y nosotros Haz la expresión x más cinco, conviértela en. su opuesto poniendo un signo negativo. frente. Ahora veamos los límites unilaterales. Cuando. x va a menos cinco desde la izquierda, tenemos una situación donde x es menor que menos cinco,. esta situación aquí mismo. Y entonces nosotros Puedes reescribir el valiance absoluto tomando el negativo. de la expresión.Todavía tenemos un cero sobre cero y forma determinante.
Pero si utilizamos. el viejo truco del factoring, factorizando una cancelación de dos, obtuvimos el límite. de dos sobre menos uno, que es simplemente negativo dos. Hacemos el mismo ejercicio en el lado derecho. Cuando. estamos a la derecha, entonces x es mayor. que menos cinco. Entonces estamos en esta situación aquí,. donde simplemente podemos reemplazar el absoluto valiance disadvantage las cosas dentro y nuevamente factorizando. el numerador y cancelando la X más cinco Solo tenemos un límite de dos. Entonces tenemos un límite izquierdo y un límite derecho. que kid diferentes.
Y así, en este ejemplo, el límite no existe. Así que hemos visto cinco tipos.
diferentes de límites en todos los casos. cero o forma cero indeterminada. Y hemos utilizado.
cinco métodos diferentes para evaluarlos. Para el guide ejemplo, usamos factorización. Para.
el segundo ejemplo, haga lo contrario de factorizar, nos multiplicamos. Para el tercer ejemplo,.
sumamos nuestras expresiones racionales para simplificar las cosas.El siguiente ejemplo utiliza. el antiguo truco de multiplicar por el conjugado. Y En el último ejemplo, utilizamos casos y analizamos los. límites unilaterales.
La ley del límite sobre los cocientes nos dice. que el límite del cociente es la cuestión del límite, siempre que los límites de las. funciones componentes realmente existan, y que el límite de la función en el denominador no. es igual a cero.
Pero ¿ qué pasa si ¿ El límite de la función en el denominador.
es igual a cero? Este vídeo comenzará a responde esa pregunta.De hecho, hay

dos situaciones.
diferentes que querremos considerar. Podría ser que aunque el límite del denominador.
sea igual a cero, el límite del numerador existe y no es igual.
a cero. O podría suceder que ambos los límites boy cero. Nos centraremos en la primera.
situación, comenzando primero disadvantage un ejemplo. Y veremos la segunda situación más adelante. En este ejemplo, el límite del numerador,.
menos 4x, es solo menos 12, que Se puede ver conectando tres para x.Pero el.
límite cuando x va a tres del denominador es cero. Entonces estamos exactamente en una de estas.
situaciones donde el numerador llega a un número finito número distinto de cero, pero el denominador llega a.
cero. Veamos qué pasa a medida que nos acercamos. tres por la izquierda primero. Cuando nos acercamos.
a tres por la izquierda, x pasa por números que boy un poco menos que tres números como 2,9 2,99.
2,999, y así sucesivamente. si nos enchufamos en esos números en la expresión, aquí en nuestra.
calculadora, no obtuvimos respuestas de 116 1196 y 11.996. Si incluso sin una calculadora pudiéramos.
aproximarnos bastante a estas respuestas de cerca disadvantage sólo pensar en el hecho de que.
como x está muy cerca de tres, el numerador es aproximadamente menos cuatro por tres, por lo que aproximadamente.
menos 12. El denominador 2,9 menos tres es negativo 0,1. Ese cociente de dos números negativos.
nos da un valiance positivo de 120. De manera similar, podríamos aproximar el valor.
cuando x es 2,9 veces casi negativo 12 dividido por 0,01, que es 1200.

Y aproxima el tercer valor.
a 12.000. De cualquier manera, nosotros hacerlo respuestas exactas en nuestra calculadora o aproximaciones.
en nuestra cabeza al notar que estos valores son números positivos que se hacen cada vez más grandes.
a medida que x se acerca a tres desde el izquierda. Esto tiene sentido. Porque si miramos.
nuestra expresión, cuando x va hacia tres Desde la izquierda, el numerador se acerca.
a menos 12, que es un número negativo.Y el denominador

, como x es menor que tres,. siempre será un número pequeño negativo, negativo sobre negativo es positivo. Y como x se acerca mucho a tres, esos los denominadores kid cada vez más pequeños y por lo.
tanto las fracciones boy cada vez más grandes en magnitud. Entonces podemos concluir que nuestro.
límite es infinito positivo. Podemos hacer un argumento similar Al observar el límite, cuando.
x llega a tres desde el lado positivo, Se supone que aquí hay una X menos tres. Entonces.
ahora x está pasando por un valor ligeramente mayor que tres 3,1 3,01 3,01. Y nuevamente, podemos.
conectarnos directamente a nuestra calculadora y averigua que las respuestas boy 124 negativas. 1204 negativas,.
12 004 negativas. O podemos hacer uno similar Argumento aproximado. Esta respuesta es aproximadamente.
12 negativo sobre un punto positivo, lo que es negativo 120, y así sucesivamente.Como stakes, si.

consideramos los
signos de nuestro numerador y denominador, podemos ver que cuando x llega a tres,.
nuestro numerador es un número negativo. Pero nuestro denominador es un número positivo,.
ya que nos acercamos a tres por la derecha. donde x es mayor que tres y, por lo tanto, nuestro.
cociente es un número negativo, sigue siendo aumentando cada vez más en magnitud a medida.
que x se acerca a tres, porque el denominador sigue siendo cada vez más pequeño, mientras que.
el numerador se mantiene bastante cerca de negativo 12. Entonces, en este caso, obtenemos un número.
negativo que es cada vez de mayor magnitud, entonces eso hace un límite de infinito negativo. Ahora,.
como nuestro límite por la izquierda es el infinito, y nuestro límite por la derecha es infinito negativo,.
lo único que podemos decir sobre el límite cuando x llega a tres es que no existe. Ahora veamos otro ejemplo. El límite cuando x llega a menos cuatro de 5x, sobre el valiance absoluto de.
x más cuatro, observe que el límite de la numerador es sólo menos 20 reemplazando.
menos cuatro para x, y el límite de la el denominador es cero.Debido a que tenemos un. valor absoluto en nuestra
expresión, aquí es gritándonos que miremos los casos. Recuerda que. el valor absoluto de x más cuatro es
va a ser igual a x más cuatro, si x más cuatro. es positivo, en otras palabras, si x es mayor que menos cuatro, transgression embargo, si x es.
menor que menos cuatro, entonces la expresión x más cuatro será negativo. Entonces, tomar el valiance.
absoluto tiene que cambiar de signo en orden. hacer positiva una expresión negativa. Muy.
bien, eso será útil cuando miremos en el límite cuando x va a menos cuatro, desde la izquierda.
y desde la derecha. Entonces cuando nos acercamos menos cuatro desde la izquierda, x será.
menor que menos cuatro. entonces vamos estar en esta situación aquí, donde el valiance absoluto.
nos da el signo opuesto. Eso significa que el límite cuando x va a menos cuatro menos.
de esta expresión, lo mismo que el límite de 5x sobre x negativo más cuatro.Ahora.

razonando como stakes, ya que x va a ser negativo. cuatro desde la izquierda, el numerador aquí es.
un número negativo. Bastante cercano a negativo 20. El denominador, como x es menor que 4x.
negativo más cuatro es negativo, el negativo de ello es positivo. Entonces nuestro cociente es negativo. Y como el denominador se está volviendo muy pequeño, mientras que los numeradores se nivelarán.
bastante en menos 20. Este límite será Una magnitud cada vez mayor es un límite del infinito.
negativo. Ahora veamos el límite como x va a menos cuatro desde la derecha, en este caso,.
x es sólo un poco más grande que menos cuatro. Entonces estamos en este caso donde el valor absoluto.
no cambia la expresión. Así que nosotros puedo reescribir esto como 5x sobre x más cuatro, ahora el numerador seguirá siendo un número negativo,.
el denominador, ya que x es ligeramente mayor que menos cuatro, ligeramente hacia.
la derecha, esta expresión será positiva número.Negativo o sobre

positivo es negativo. Y nuevamente,. dado que el denominador se está volviendo diminutas, las fracciones se vuelven enormes en magnitud. Y entonces este límite es infinito negativo. Ahora, En este caso, mira lo que está pasando, tenemos un.
límite infinito negativo a la izquierda. y un límite infinito negativo a la derecha. Entonces.
podemos concluir que el límite cuando x va a menos cuatro de 5x, sobre el valiance absoluto.
de x más cuatro es igual a menos infinidad.De hecho, podemos confirmarlo. mirando un gráfico.
Si miramos, mira la gráfica cerca de x es igual a menos.
cuatro, se verá así, con una upright la asíntota en x es igual a menos cuatro, como se.
esperaba. Entonces hemos visto que si el límite de f de x es igual a algo que no es cero,.
y el límite de g de x es igual a cero, entonces el límite del cociente podría ser.
infinito negativo como lo fue en el pasado ejemplo. También podría ser el infinito o simplemente.
podría no existir.Se supone que dice no existe, si los límites unilaterales kid infinito. en un lado e infinito negativo en el otro. otro. Ahora, ¿ qué pasa con esta segunda situación. que mencioné al principio cuando el
límite de f de x es cero y el límite de f de g de x. es cero? ¿ Qué podemos decir sobre el límite? del cociente en esta situación? Bueno, de hecho,. en esta situación, el límite
de la cociente, podría existir y ser cualquier número. finito, o infinito, o menos infinito, o no podría existir en absoluto.De hecho, en este.

tipo de situación, que se llama cero, o cero forma indeterminada, cualquier cosa podría.
pasar. Lo que lo hace en cierto modo el más difícil, pero en cierto modo, la situación más divertida de.
todas. Entonces, en otro video clip, hablaremos de técnicas para tratar con 00 formas indeterminadas.
y cómo utilizar el álgebra y otras simplificaciones técnicas para evaluar estos misteriosos límites. Entonces, en este video, hemos visto los límites de los cocientes, cuando el límite.
del denominador es cero. Hemos hecho algunos ejemplos. cuando el límite del numerador no age cero, pero.
el límite del denominador period cero. Y vimos que estas situaciones correspondían a asíntotas.
verticales, y nos dio una respuesta para el límite del cociente del infinito,.
o infinito negativo, o a veces infinito por un lado y el infinito negativo por el otro.También.

insinuamos cosas divertidas que vendrán cuando Observamos los límites en esta situación cuando.
el numerador y el denominador child ambos. dirigiéndose hacia cero. Y cuando puede pasar cualquier.
Este vídeo trata sobre gráficas y ecuaciones. Aquí se nos da la gráfica de una.
anus, queremos encontrar la ecuación, un estándar El formato para la ecuación de una recta es y es igual.
a mx más b. aquí, m representa la pendiente, y B representa la intersección y, el valor y,.
donde la línea cruza el eje y, la pendiente es igual al aumento durante la carrera.O a veces esto.

se escribe como el cambio en los valores de y sobre el cambio en los valores de x. O en otras palabras,. y dos menos y uno sobre x dos menos x uno, donde x uno y uno y x dos y dos son puntos de.
la recta. Si bien podríamos usar dos puntos cualesquiera en la recta,.
para encontrar la pendiente es conveniente usar puntos donde las coordenadas xey child números enteros. Son los puntos por donde pasa la recta. puntos de la grilla. Así que este sería un punto conveniente.
Y aquí hay otro conveniente. Las coordenadas del primer.
punto child uno, dos y el siguiente punto este es digamos, cinco menos uno. Ahora puedo encontrar.
esta pendiente mirando la elevación sobre la carrera.Entonces, cuando hago una carrera de. esta distancia, hago una subida de esa distancia, Especialmente habrá una subida o una caída negativa porque. mi línea apunta hacia abajo.
Entonces vamos vea contar cuadrados, esta es una serie de 1234 cuadrados. y un aumento de 123.
Entonces, negativo tres, entonces mi pendiente será menos tres,.
sobre cuatro. Obtuve esa respuesta contando cuadrícula. Pero también podría haberlo obtenido.
observando la diferencia en mis valores de y durante la diferencia de mis valores de x.Es decir,.
podría haber hecho menos uno menos dos, eso es de mi diferencia en los valores de Y, y dividir eso.
por mi diferencia en los valores de x, que es cinco menos uno, eso me da menos tres sobre cuatro,.
como stakes, entonces mi M es negativa tres cuartos. Ahora necesito calcular el valor.
de b, mi intercepción y, bueno, podría simplemente léelo en el gráfico, parece aproximadamente.
2,75. Pero si quiero ser más preciso, puedo volver a usar un punto que tenga.
coordenadas enteras y sé que es exacto coordenadas. Entonces, ya sea este punto o aquel.
punto, probemos este punto. y puedo empezar Fuera de mi ecuación y es igual a mx más b, es decir.
y es igual a menos tres cuartos de x más b.Y puedo conectar el punto uno, dos, para mi.
x e y. Entonces eso me da dos iguales negativos. tres cuartos por uno más b, resolviendo para.
B. Veamos que dos es igual a menos tres cuartos más b. Entonces sumamos tres cuartos a ambos.
lados, eso es dos más tres cuartos es igual b. Entonces b es ocho cuartos más tres cuartos,.
que es 11 cuartos, que en realidad es solo lo que miré hoy.Ahora puedo escribir mi ecuación. final para mi recta y es igual menos tres cuartos x más 11 cuartos reemplazando. m y b. A continuación, busquemos la ecuación para esta línea horizontal. una recta horizontal tiene.
pendiente cero. Así que si pensamos en ello como y es igual a mx más b, m será cero. En.
otras palabras, y es igual a b, y es alguna constante. Entonces, si podemos averiguar.
cuál es ese valor constante de y, parece es para ver, estos tres, tres y medio, podemos.
simplemente escribir la ecuación directamente, y es igual a 3,5.

Para una línea vertical,.
como ésta, en realidad no tiene pendiente. Quiero decir, si intentaste hacer la subida sobre la carrera,.
no hay carrera. Así que supongo que lo harías dividirse por cero y obtener una pendiente infinita. Pero.
en cambio, simplemente pensamos en ello como una ecuación de la forma x es igual a algo. Y en.
este caso, x es igual a menos dos, fíjate que todos los puntos en nuestra línea tienen.
la misma coordenada x de menos dos y la La coordenada y puede ser cualquier cosa. Así es como.
escribimos la ecuación de una línea upright. En este ejemplo, no se nos muestra una gráfica.
Primero, podemos encontrar la pendiente.
tomando la diferencia en los valores de Y sobre la diferencia en los valores de x. Entonces eso es menos.
tres menos dos sobre cuatro menos uno, lo cual es negativo cinco tercios. Entonces podemos usar la.
ecuación estándar para la línea, esto se llama la forma pendiente intersección. Y podemos conectar cinco tercios negativos. Y podemos.
usar un punto, cualquiera de los dos servirá. Todavía obtengo la misma respuesta last. Así que usemos.
uno, dos y conectémoslo para obtener dos iguales. menos cinco tercios por uno más b. Y entonces.
Este es el método uno. El.
método dos U.S.A. una forma ligeramente diferente. de la ecuación. Se llama forma de pendiente.
puntual y es y menos y nada es igual a m multiplicado por x menos x cero donde x cero ¿ Por.
qué no es un punto en la recta, y otra vez? es la pendiente. Entonces calculamos la pendiente de la misma.
manera, tomando una diferencia en los valores de Y sobre una diferencia en los valores de x.Pero entonces podemos.
simplemente conectar cualquier punto. Por ejemplo, el punto uno, dos funcionarán, podemos conectar.
uno para x cero y dos para Y no en esta forma de pendiente puntual, que nos da y menos.
dos es igual a menos cinco tercios x menos uno. Observe que estas dos ecuaciones, si bien pueden.
parecer diferentes, en realidad boy equivalentes. Porque si distribuyo los cinco tercios negativos.
En este video,. Y sabes un punto,.
para la recta si conoces dos puntos, porque puedes. usar los dos puntos para obtener la pendiente y luego conecte uno de esos puntos. Para descubrir. el resto de la ecuación. Vimos dos estándares formas para la ecuación de una recta la pendiente. intercepta forma y es igual a mx más b, donde m es la
pendiente y B es la intersección con el eje y. Y la pendiente del punto de y menos y cero es igual m multiplicado por x menos x cero, donde m nuevamente. es la pendiente y x cero y cero es un punto en la línea.Este video clip trata sobre funciones. racionales y sus gráficas.

Recuerde que un Una función racional es una función que se puede. escribir como una razón o cociente de dos polinomios. He aquí un ejemplo. También se considera la función. más simple, f de x es igual a uno sobre x. una función racional, puedes pensar en uno. y x como polinomios muy simples. La gráfica de esta
función racional se muestra aquí. Esta gráfica. se ve diferente de la gráfica de un polinomio. Por un lado, su comportamiento last es diferente. El comportamiento final de una función. es la forma en que se ve el gráfico, cuando x pasa por. un positivo muy grande o un negativo muy grande números, hemos visto que el comportamiento last.
Pero esta función
racional. Observe que a medida que x se hace muy grande, los valores.
de y se estabilizan en aproximadamente un valor de y de tres. Y de manera similar, a medida que los valores de x se vuelven realmente. negativos, nuestra gráfica se nivela cerca de la línea y es igual a tres, dibujaré esa línea, y es igual. a tres en mi gráfica, esa línea se llama straight asíntota. Una asíntota horizontal es una línea horizontal. a la que nuestra gráfica se acerca cada vez más.A cuando x va al infinito, o cuando X va. al infinito negativo o ambos
. Hay algo otra cosa que es diferente acerca de esta gráfica de.

una gráfica polinómica, mira lo que sucede como x se acerca a menos cinco. A medida que nos acercamos. a menos cinco con valores
de x a la derecha, nuestros valores de Y están bajando hacia el infinito negativo. Y a medida que nos acercamos al valor x de Menos cinco desde la izquierda, nuestros valores. de Y suben hacia el infinito positivo. Nosotros Digamos que esta gráfica tiene una asíntota vertical. en x es igual a menos cinco.Asíntota vertical es una línea vertical a la que la gráfica se acerca. cada vez más. Finalmente, hay algo Realmente extraño que suceda en x es igual a

dos, hay un. pequeño círculo abierto allí, como el valor en x es igual a dos. Eso se llama agujero. Un. agujero es un lugar a lo largo de la curva.
Ahora que.
Necesitamos ver qué hace nuestra función cuando x. pasa por un grandma valor positivo o negativo.
Mirando nuestra.
con este 12 negativo. Si x es un grandmother número positivo o negativo en el denominador,. el denominador estará dominado por la x término al cuadrado.

Y entonces nosotros Puedes reescribir el valiance absoluto tomando el negativo. Y En el último ejemplo, utilizamos casos y analizamos los. Y como x se acerca mucho a tres, esos los denominadores kid cada vez más pequeños y por lo.
Y como el denominador se está volviendo muy pequeño, mientras que los numeradores se nivelarán.
Así que supongo que lo harías dividirse por cero y obtener una pendiente infinita.Nuevamente, si x es un número
positivo o negativo realmente grande, como un millón, un millón al cuadrado será mucho, mucho más grande
que tres veces un millón o menos 10.

Por esa razón, para encontrar el comportamiento final,
o la asíntota straight, de nuestra función, sólo necesitamos mirar los términos en el numerador
y el término en el denominador que tienen el exponente más alto, esos boy los que dominan la
expresión en tamaño. Entonces cuando x llega realmente grande, nuestros valores de funciones y serán
aproximadamente 3x al cuadrado sobre x al cuadrado, que son tres. Por eso tenemos una asíntota horizontal
en y igual tres. Ahora nuestras asíntotas verticales, esas tienden
a ocurrir donde nuestro denominador de nuestra la función es cero. Eso es porque la función no
existe cuando nuestro denominador es cero. Y cuando nos acerquemos a ese lugar donde
nuestro denominador es cero, estaremos dividiendo por números muy, muy pequeños, lo que hará que
nuestros valores de Y sean realmente grandes en magnitud. Entonces, para verificar dónde nuestros denominadores boy cero,
factoricemos nuestra función. De hecho, voy a sigue adelante y factoriza el numerador y el denominador. Entonces el numerador se factoriza, vamos mira, saca el tres, obtengo x al cuadrado menos cuatro,
factoriza el denominador, eso factoriza en X más cinco por x menos dos, puedo
factorizar un poco más el numerador, eso es tres por x menos dos por x más dos sobre
Eso es porque cuando x es igual a dos, la función simplificada existe, pero la función original no es cero sobre cero, no está definido.Pero para cualquier otro valor de x, incluidos los valores de x

cercanos x es igual a dos, nuestra función initial es igual a esta función. Y es por eso nuestra función solo tiene una asíntota vertical en x es igual a menos cinco, no una en x es igual dos, porque el variable x menos dos ya no está en la función después
de simplificar, tiene un agujero en x es igual a dos, porque la función original no está definida allí, aunque la versión simplificada es si queremos encontrar el valor y de nuestro agujero, podemos simplemente ingrese x es igual a dos en nuestra versión simplificada de nuestra función, eso da un valor de y de tres por dos más dos sobre dos más siete, o 12 novenos, que se simplifica a cuatro tercios.Así que nuestro complete es de cuatro tercios. Ahora que hemos visto un ejemplo en detalle, resumamos nuestros hallazgos. Encontramos las asíntotas verticales y los huecos mirando donde el denominador es cero. Los agujeros ocurren donde están el denominador y el numerador. cero y esos factores se cancelan. Las asíntotas verticales kid todos los demás valores de x donde la denominador es cero, encontramos las asíntotas horizontales considerando la potencia más alta término en el numerador y el denominador, explicaré este proceso con más detalle en tres ejemplos. En el guide ejemplo, si rodeamos los términos de potencia más altos, eso simplifica a 5x sobre 3x al cuadrado, que es cinco sobre 3x. Cuando x se hace muy grande, el denominador va a ser enorme. Entonces voy a dividir cinco por un número enorme, enorme, eso va se acerca mucho a cero y, por lo tanto, tenemos una asíntota horizontal en y igual cero. En el segundo ejemplo, los términos de potencia más altos, 2x al cubo sobre 3x al cubo, se simplifican a dos tercios.Entonces, a medida

que x se hace muy grande, nos acercaremos a dos tercios y tenemos una asíntota straight en y es igual a. dos tercios. En el tercer ejemplo, el más alto términos de potencia x al cuadrado sobre 2x se simplifica a. x sobre dos.
A medida que x se hace muy grande, x sobre dos se está volviendo muy grande. Y por lo tanto, no tenemos.
ninguna asíntota horizontal. Esto es yendo al infinito, cuando x pasa pasa.
por grandes números positivos y va al infinito negativo cuando x pasa por números.
negativos grandes. Entonces en este caso, el El comportamiento final es algo así como el de un polinomio.
y no hay asíntota horizontal. En general, cuando el grado del numerador.
es menor que el grado del denominador, Estamos en este primer caso donde el denominador se vuelve.
muy grande en comparación con el numerador.Y llegamos a cero.

En el segundo caso, donde. el grado del numerador y el grado del denominador es igual, las cosas se cancelan, por. lo que obtenemos una asíntota horizontal en el Valiance de y, que es igual a la relación de los coeficientes. principales. Finalmente, en el tercero caso, cuando el grado del numerador es. mayor que el grado del denominador, entonces el numerador se vuelve muy grande en comparación. con el denominador, por lo que terminamos sin horizontal asíntota. Finalmente, apliquemos todas estas. observaciones a un ejemplo más.Por support pausa Mira el vídeo y tómate un

momento para encontrar las asíntotas. verticales, las asíntotas horizontales y los huecos.
para esta función racional. Para encontrar las asíntotas. y huecos verticales, debemos mirar dónde el denominador es cero.
De hecho, será útil. factorizar tanto el numerador como el denominador.
Dado que si hay factores comunes,. es posible que tengamos un agujero en su lugar.
de una asíntota vertical. El numerador es bastante. fácil de factorizar. A ver, eso es 3x.
2x menos uno por x más tres, eso me devuelve mi 2x al cuadrado más 5x menos tres, así. Ahora me di cuenta que tengo un variable común de x tanto en el numerador. De.
cancelando ese aspect común, y eso es equivalente,. siempre y cuando x no sea igual a cero. Entonces el valor y de mi entero es lo que obtengo cuando introduzco cero en mi versión. simplificada, eso sería tres veces cero más uno partido por dos por cero menos uno por cero. más tres, que es tres partido por menos tres o menos uno. Entonces mi total está en cero menos. uno.Ahora todos los lugares restantes en mi denominador. que hacen que mi denominador sea cero me darán asíntotas. verticales. Entonces tendré una upright asíntota, cuando 2x menos uno por x más tres. es igual a cero, es decir, cuando 2x menos uno es cero, o x más tres es cero. En otras palabras,. cuando x es la mitad,
o x es igual a negativo tres.Finalmente, para encontrar mis asíntotas horizontales,. sólo necesito considerar la potencia más alta término en el numerador y el denominador. Eso se simplifica a tres sobre 2x, que es Fondo pesado, ¿ verdad? Cuando x se hace muy grande,. esta expresión llega a cero. Y eso significa que tenemos una asíntota straight en y es igual. a cero. Entonces encontramos las características principales. de nuestra gráfica, el todo, las asíntotas verticales. y las asíntotas horizontales. Juntos, esto nos daría un marco de cómo se ve la gráfica. de nuestra función. asíntota horizontal en y es igual a cero, las asíntotas verticales en x. son iguales a la mitad y x es igual a menos tres en un
agujero en el punto cero menos uno. trazar algunos. puntos más o usar una calculadora gráfica del programa de gráficos, podemos ver que nuestra. función real se verá así.Aviso que la intercepción de x cuando x es negativo corresponde.

a donde está el numerador de nuestro función racional o función racional reducida. es igual a cero. Eso es porque un cero en el numerador que no hace que el denominador sea cero. hace que toda la función sea cero.
Y un La intersección X es donde el valor y de toda la. Mirando el poder más alto términos, aprendimos a encontrar las asíntotas y huecos. Mirando la versión factorizada de las funciones, los huecos corresponden a los.
Este vídeo se centra en. Puede que hayas tocado sobre estas ideas stakes en el pasado cuando estudiaste. Bueno, se supone que la flecha aquí al last.
Así como x se hace cada vez más grande, los valores de y,. Ahora, ¿ qué le sucede a esta.
Bueno, asumiendo esta tendencia. Entonces decimos que el límite cuando.
La frase límites al infinito debe contrastarse disadvantage. la frase límites infinitos. Un infinito límite significa que los valores de y, o los valores. F de X van al infinito, o al infinito negativo.
Entonces el límite cuando x llega al. infinito de g de x es igual a cero.Pero como nosotros dirígete hacia la izquierda, y x pasa por valores negativos. Y entonces decimos que el límite cuando x llega a menos infinito
de. El límite cuando x va al infinito de h de x es infinito negativo.
que el límite cuando x llega a menos infinito de h de x no existe. Finalmente, veamos algunos.
límites de infinidad de funciones wrong mirando primero sus gráficas, para encontrar el límite.
cuando x llega al infinito de uno sobre x.Pensemos en lo que le sucede a uno sobre x. A medida que.
x se hace cada vez más grande a través de valores positivos números. A medida que x se hace cada vez más grande, uno.
sobre x se hace cada vez más pequeño. entonces el limite cuando x llega al infinito de uno sobre x es igual a.
cero. Encontrar el límite de uno sobre x como x va al infinito negativo, veamos lo que sucede.
Entonces el límite cuando x se vuelve negativo el infinito de uno sobre x también es cero. Podemos usar.
un razonamiento comparable para encontrar el límite como x va al infinito de uno sobre x al cubo. Cuando x tiende.
al infinito, x al cubo también tiende al infinito. Entonces uno de nuestros x al cubo tiene que llegar a cero. Encontrar el límite cuando x tiende a infinito de uno sobre la raíz cuadrada de x, observe que cuando.
x tiende al infinito, la raíz cuadrada de x sigue va al infinito.Entonces uno sobre la raíz cuadrada de. x también tiende a cero.
En otras palabras, ambos de estos límites kid iguales a cero. En el. Siempre que R.
es mayor que cero, incluso podemos decir que Lo mismo ocurre con disadvantage límite cuando x va al infinito negativo.
de uno sobre x elevado a R. Siempre que evitamos exponentes, como la mitad, que no tienen.
sentido para números negativos. pero para otros valores de r, a medida que x va hacia el infinito negativo,.
x hacia R se hace cada vez más grande y magnitud. Y entonces uno sobre x hacia R se hace cada.
vez más pequeño y la magnitud y el rumbo hacia cero.Observe que esto ya

no es cierto. Si r es menor que cero, por ejemplo, algo así como r es igual a menos dos, porque uno sobre.
x elevado a menos dos es en realidad x al cuadrado. Y el límite cuando x llega al infinito de x al cuadrado.
será infinito, no cero. En este video clip, vimos ejemplos de límites cuando.
Y vimos que esos límites podían ser cero. Encontremos el límite. El numerador y el denominador de.
esta función racional obtienen cada uno arbitrariamente grande cuando x tiende al infinito. Una forma de ver esto es estimando las gráficas, la gráfica del numerador parece una parábola que.
apunta hacia arriba.Y la gráfica del denominador. Parece una especie de cúbica. Entonces, algo. como esto, para ambas gráficas, como x va al infinito, y también va al infinito. Entonces. este es un infinito sobre infinito indeterminado. forma. Y al igual que el cero tiene formas indeterminadas.
sobre cero que vimos antes, y el infinito sobre el infinito y la forma determinante podría llegar.
a ser absolutamente cualquier cosa. entonces vamos usar álgebra para reescribir esta expresión.
en una forma diferente que haga más fácil evaluar. Específicamente, vamos a factorizar la potencia.
más alta de x que podemos encontrar del numerador y luego del denominador. En.
el numerador voy a factorizar la potencia más alta que veo en el numerador, que es.
x al cuadrado.Cuando factorizo

x al cuadrado de 5x al cuadrado, obtengo cinco, cuando factorizo x.
al cuadrado de 4x negativo, eso es como dividiendo menos 4x por x al cuadrado, obtengo menos.
cuatro dividido por x. Puedes comprobar esto funciona distribuyendo x al cuadrado y asegurándonos.
de volver a la expresión initial. Ahora la potencia más alta de x SC y el denominador es x.
al cubo. Entonces factorizaré una x al cubo para cada uno de esos términos, obtengo dos menos.
11 sobre x más 12 sobre x al cuadrado. Porque factorizar una x al cubo es lo mismo que dividir.
cada término por x al cubo y luego escribiendo la x al cubo en el lado.Ahora podemos reescribir. nuevamente cancelando una x al cuadrado de la parte premium e substandard para obtener el límite de uno. sobre x multiplicado por cinco menos cuatro sobre x sobre dos menos 11 partido por x más 12 partido por x al cuadrado. Ahora, cuando x va al infinito, cuatro sobre x van a cero, porque estoy dividiendo por números cada vez. más grandes.
De manera comparable, 11 sobre x va a cero, y 12 sobre x al cuadrado va a cero. Entonces.
termino disadvantage uno sobre x, que es en sí mismo yendo a cero por algo que va a cinco mitades. Entonces mi límite va a ser cero multiplicado por cinco mitades, que es simplemente cero. De hecho, he estado aplicando leyes límite para Realice estos últimos pasos, lo cual está bien, porque los.
límites de mis componentes existen como números finitos.Algo que no era

cierto en mi expresión original. cuando tenía infinito sobre infinito. En este ejemplo, se nos pide encontrar el límite.
cuando x llega al infinito negativo de un expresión racional. Te animo a que detengas el.
vídeo y lo pruebes tú mismo primero. En En este ejemplo, la potencia más alta de x en el.
numerador es x al cubo, y la potencia más alta en el denominador también es x al cubo. Factorizando.
x al cubo del numerador, obtenemos x al cubo por tres más seis partido por x más 10 partido.
por x al cuadrado, más dos partido por x al cubo.Y factorizando x al cubo del denominador, obtenemos.
x al cubo por dos, más uno sobre X más cinco sobre x al cubo. Ahora los cubos x se cancelan y.
todas estas partes llegan a cero. Así que cuando el El polvo se aclara aquí, nuestro límite es solo tres.
mitades. En el siguiente ejemplo, el más alto la potencia en el numerador es x elevado a la cuarta,.
y la potencia más alta en el denominador es x al cuadrado. Entonces factorizamos la x al cuarto.
del numerador y la x al cuadrado de el denominador y cancelar todo lo que podamos. Muchas de estas piezas se irán a cero.Entonces nuestro límite es el mismo que el límite de.
x al cuadrado por uno partido por menos cinco. como x va al infinito negativo, x al cuadrado es positivo.
y va hacia el infinito positivo. multiplicando por quinta negativa lo vuelve negativo, pero no cambia.
el hecho de que las magnitudes se están volviendo arbitrariamente grande. Por tanto, nuestro límite.
final es infinito negativo. Ahora veamos el Los mismos tres ejemplos nuevamente, de manera más casual,.
usando una heurística para obtener las mismas conclusiones. En el primer ejemplo, el término 5x al cuadrado.
domina el numerador, porque x al cuadrado es mucho mayor que x cuando x es grande. En el.
denominador, la potencia más alta de x a x al cubo domina, porque x al cubo es mucho mayor.
que x al cuadrado, o x cuando x es grande.Si ignoramos todos los demás términos del numerador y. denominador y nos centramos sólo en lo importante términos, que tienen las potencias más altas, entonces.
podemos reescribir nuestro límite como el límite de 5x al cuadrado sobre 2x al cubo, que es lo mismo que el.
límite cuando x llega al infinito de cinco sobre 2x, simplemente cancelando Xs, que es cero cuando x tiende.
al infinito. De manera similar, si simplemente Si nos centramos en los términos de potencia más altos en el.
numerador y denominador en el segundo ejemplo, obtener el límite de 3x al cubo sobre 2x al cubo, lo.
que se simplifica al límite de tres mitades, lo que Son solo tres mitades.En el tercer

ejemplo, los términos.
de potencia más altos son x elevado al cuarto y negativo 5x al cuadrado.

De hecho, voy a sigue adelante y factoriza el numerador y el denominador. Entonces el numerador se factoriza, vamos mira, saca el tres, obtengo x al cuadrado menos cuatro,
En el tercer ejemplo, el más alto términos de potencia x al cuadrado sobre 2x se simplifica a. x sobre dos.
Eso es porque un cero en el numerador que no hace que el denominador sea cero. Así que cuando el El polvo se aclara aquí, nuestro límite es solo tres.Y reescribimos el límite usando
solo estos términos de potencia más altos y simplificamos, y obtenemos el límite cuando x llega
a infinito negativo de x al cuadrado sobre negativo cinco, que es infinito negativo como antes, para
funciones racionales, en general, buscando en los términos de potencia más altos, le permite predecir
de manera confiable los límites que infinito y negativo infinito cuando el grado del numerador
es menor que el grado del denominador, entonces el límite cuando x llega al infinito, o infinito
negativo, es cero. Como ejemplo, uno de arriba, Cuando el grado del numerador es igual
al grado del denominador, entonces el El límite es solo el cociente de los términos de potencia
Como fue en el tercer ejemplo.
Dado que esta técnica se puede utilizar de forma más general. Y eso equivaldría a tapar el agujero y hacerlo continuo. Aunque la función cambia una esquina, la función sigue siendo continua.
Es decir

, f de menos dos es igual al. límite cuando x llega a menos dos desde la izquierda de f de x. Observe que no podemos decir lo mismo sobre el límite. En esta situación, decimos que f es continua por la izquierda, pero.
Por el mismo razonamiento en x es igual a uno, la función no es continua,. pero sí lo es por la derecha, porque el límite por la derecha es igual al valiance de. la función.Observe que f no es continua desde la izquierda aquí, porque el límite desde la izquierda. es aproximadamente uno y medio, mientras que el El valor de la función es uno. En general,. decimos que una función f es continua desde la izquierda en x es igual a j. Si el límite cuando. x va a a desde la izquierda de f de x es igual a f de a, y una función es continua desde la derecha.
en x es igual a a.Si el límite es x va a a desde la derecha de f de x es igual a f. de a, en términos prácticos

de función es continuo desde la izquierda si el punto final está.
incluido en la pieza izquierda, y una función es continua desde la derecha, si el punto last está.
incluido en la pieza derecha. Este video dio una definición precisa de continuidad en un punto.
en términos de límites. Es decir, una función es continua en el punto x es igual a a.Si el.
límite cuando x llega a a de la función es igual al valiance de las funciones en a.

En un video anterior, dimos una definición. de continuidad en un punto. En este video, Discutiremos la continuidad en un intervalo y. funciones continuas. Decimos que una función f de x es continua en el intervalo abierto BC,. si f de x es continua en todos los puntos en ese intervalo. Para que x sea continua en un. intervalo cerrado BC, requerimos que sea continuo en cada punto en el interior de. BC, pero solo requerimos que sea continuo desde la derecha en B. Y desde la izquierda en el. mar. También podemos hablar de que f es continua.
en intervalos medio abiertos. Por ejemplo, en el intervalo. medio abierto, BC, que está abierto en B y cerrado en el mar, o al revés, o el feliz.
de abrirlo todo desde B hasta el infinito etcétera.En todos estos

casos, requerimos.
que F sea continua en el interior de la intervalo, y continuo hacia la izquierda o hacia la derecha.
en los puntos endings cerrados del intervalo según sea apropiado. Entonces, ¿ en qué intervalos es continua esta función.
geovax? Bueno, es continuo. En este parte, las flechas indican que continúa. Entonces.
yo diría que es continuo desde el infinito negativo. al negativo, sin incluir el punto last negativo. También es continuo aquí, y esta vez podemos incluir el punto last. Entonces.
esto es de menos uno a uno y luego Nuevamente, en esta última sección, no podemos incluir.
uno. Allí no es continuo. ni siquiera es definido allí. Entonces, ¿ qué tipos de funciones.
child continuas? ¿ Qué tipos de funciones son? continuo en todas partes? Y por todas partes, quiero.
decir, en toda la línea actual infinito negativo ¿ infinidad? Bueno, los polinomios kid un gran ejemplo. Además, seno x y coseno x, el valiance absoluto de x es otro ejemplo común. Ciertamente.
Ahora, si hacemos la segunda pregunta, ¿ qué tipos. Además, todas las funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, log y las funciones. Por ejemplo, para el logaritmo natural.
en sus dominios, así, por ejemplo, y es igual al seno de x más el logaritmo natural.
de x es continuo donde está definido, las composiciones de funciones continuas kid continuas en sus.
dominios.Así, por ejemplo, la función y es igual a ln del seno de x es continuo, donde definido.
resulta ser un conjunto de elementos disjuntos intervalos donde el seno es positivo. Dado que la continuidad.
se specify en términos de límites, a veces es Es posible utilizar nuestro conocimiento de qué funciones.
son continuas para calcular límites. Por ejemplo, si queremos encontrar el límite cuando x tiende.
a cero del coseno de x, porque el coseno es continuo, Podemos evaluar este límite simplemente reemplazando.
cero por x. Y el coseno de cero es uno. Estamos usando la definición de continuidad aquí.
para decir que el límite de la función es igual al valor de la función.El segundo ejemplo es un. poco más complicado, porque la función el inside no es continuo en x es igual a dos. De.
hecho, no está definido en x es igual a dos. Pero cuando X se acerca a 2x al cuadrado menos cuatro.
sobre 2x menos cuatro por pi, se puede reescribir como x más dos por x menos dos sobre dos.
por x menos dos por pi, que es lo mismo como x más dos sobre dos pi. Para x distinto de dos. Entonces, cuando X tiende a dos, esta expresión aquí, se aproxima a dos más dos sobre dos veces.
pi, que es solo dos pi.En otras palabras, el límite cuando x llega a dos de x al cuadrado menos.
cuatro sobre 2x menos cuatro pi es solo dos pi. Y por lo tanto, el límite cuando x llega a dos del.
coseno de esta expresión es simplemente coseno de dos pi, que nuevamente es igual a uno. Estamos usando.
aquí el hecho de que el coseno es continuo, y una propiedad de funciones continuas, que dice.
que el límite cuando x va a a de f de g de x es igual a f del límite cuando x llega.
a a de g de x.Si f es una función continua. En otras palabras, para funciones continuas, puedes.
pasar el límite dentro de la función. Eso es todo por la continuidad en intervalos.
y funciones continuas. El valiance intermedio El teorema dice que si f es una función continua, en.
el intervalo cerrado a b y si n es cualquiera número, entre F de A y F de Bay, n f tiene.
que alcanzar ese valor y en algún lugar.En otras palabras, si n es un número entre F de. A y F de b, entonces tiene que haber un número c en el intervalo a, b, tal que f de c es igual.
a n. En nuestro ejemplo, hay tres posibles valores para C, podría estar justo aquí, ya que.
f de ese número es igual a n, o podría ser aquí, o aquí, simplemente marcaré el del medio. El.
teorema del valiance intermedio sólo puede ser aplicado a funciones continuas.Si la función

.
no es continua, entonces podría saltar y, y nunca alcanzar ese valiance. Cuando la aplicación del.
teorema del valiance intermedio debe demostrar la existencia de raíces o ceros de ecuaciones,.
decimos que una raíz genuine de p de x es genuine número c, tal que P de C es cero, vamos a querer aplicar.
el teorema del valor intermedio con n igual a cero. Nuestro polinomio está definido.
en toda la recta real, no solo en un intervalo. Pero el truco aquí consiste en elegir un intervalo.
a b, de modo que P de A sea negativo y P de B es positivo o viceversa. De modo que el.
teorema del valiance intermedio nos dirá que P tiene que pasar por cero en el medio. Sólo.
voy a usar prueba y mistake aquí y calcular algunos valores de p. Entonces P de cero.
es fácil de calcular, P de cero es solo siete.P de uno será

cinco menos tres menos 12 más.
siete, lo que es igual a menos tres. Entonces, en este ejemplo tan afortunado, los dos primeros.
números que elijamos funcionarán para nuestra A y B, entonces podemos dejar que A sea igual a 01. Debido.
a que P de cero es un número positivo y P de uno es un número negativo. En realidad, el gráfico debería.
verse un poco diferente. La gráfica se parece más a esto. Pero en cualquier caso,.
según el teorema del valiance intermedio, tiene ser un número c, entre, en este caso, cero.
y uno, donde nuestro polinomio p logra este valiance intermedio de cero. Y ese número.
Mira, no sabemos qué es, pero lo sabemos en algún lugar del intervalo cero.
a uno, ese valiance c nos da una raíz actual para nuestro polinomio. Puede que haya otras raíces.
reales, pero hemos demostrado que al menos existen uno.El teorema del valiance intermedio tiene muchas.
otras aplicaciones además de encontrar raíces. Por ejemplo, supongamos que tienes un muro que.
corre en círculo alrededor del castillo, y el La altura de la pared varía continuamente en.
función del ángulo. Sorprendentemente, el El teorema del valiance intermedio se puede utilizar para demostrar.
que debe haber en algún lugar dos valores diametralmente lugares opuestos de la pared con exactamente la misma.
altura. Así que si puedes encontrar una manera Para mostrar esto en este video clip, establecimos el.
teorema del valiance intermedio, que es válido para funciones continuas y hablé de un the same level de aplicaciones. Este vídeo presenta el Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, secante,.
Para un triángulo rectángulo disadvantage lados de longitud. A, B y C ángulo theta como se
dibuja, definimos seno de theta como la longitud del lado opuesto.
El lado que es opuesto a nuestro ángulo theta tiene medida. a y tengo compañeros es este lado aquí disadvantage medida C. Entonces esa sería una supervisión para. este triángulo.
El coseno de theta está definido como la longitud del lado adyacente sobre la longitud. de los socios altos.Este lado aquí es
el lado adyacente a theta. Por supuesto, los socios. altos también están adyacentes a theta, pero Es especial como socio premium, por lo que no lo consideramos. como el lado adyacente. De modo que Sería B en el extranjero. la tangente de theta es la. longitud del lado opuesto sobre el lado adyacente longitud.
Entonces eso sería a sobre b. El neumónico. Y la tangente es opuesta adyacente.
De hecho, existe una relación entre. la tangente y el seno y el coseno. A saber, la tangente de theta es igual al seno de theta sobre. el coseno de theta. Si quieres ver por qué eso es, eso se debe a que el seno de theta sobre el. coseno de theta está dado por el seno, que es opuesto sobre la hipotenusa, dividido por el coseno,. que es adyacente sobre la hipotenusa.Si calculamos estas fracciones volteándolas y

multiplicándolas, los socios altos, la longitud se cancela, y simplemente. nos volvemos opuestos sobre adyacentes, lo cual es por definición, tangente de theta. Hay tres funciones. trigonométricas más que están definidas en términos de seno, coseno y tangente. En primer. lugar, su secuencia de theta, por definición, eso es uno sobre el coseno de theta. Entonces será. uno sobre la adyacente sobre la hipotenusa, cuál es el socio remarkable sobre el adyacente, que. en este triángulo es C sobre B. cosecante de theta se specify como uno sobre el seno theta. Entonces ese es uno sobre el opuesto sobre la hipotenusa, que child los socios altos sobre el contrario. Y para este triángulo, eso va a ser C sobre a.Finalmente, la cotangente de theta se define.

como uno sobre tan theta, eso será uno sobre opuesto sobre adyacente, volteo y multiplico,. obtengo nacimiento adyacente sobre opuesto, que en este caso es b sobre a. Entonces observe. que los valores de cotangente cosecante y secante son los recíprocos de los valores de tangente,.
seno y coseno, respectivamente. vamos use estas definiciones para encontrar los valores exactos de.
Empezaré con el seno de theta. Bueno, para este ángulo theta, el lado opuesto está.
aquí abajo, y medido hasta el punto más alto socios ha medido cinco. Entonces el seno theta es dos.
partido por cinco. El coseno theta es adyacente sobre la hipotenusa, pero no sé el valiance de la longitud.
de este lado. Pero afortunadamente puedo encuéntrelo usando el teorema de Fagor dice que.
tengo un triángulo rectángulo aquí, sé que al cuadrado, llamaré a esta longitud del lado A más.
B al cuadrado, donde b es este otro cateto del El triángulo es igual a c al cuadrado, donde c es la.
hipótesis.Entonces aquí tengo un más al cuadrado. dos al cuadrado es igual a cinco al cuadrado, lo que significa. que un cuadrado más cuatro es igual
a 25. Un cuadrado es 21. Entonces A es más o menos la raíz cuadrada. de 21.
Pero como estoy hablando de la longitud de un lado de un triángulo, puedo usar la respuesta.
positiva. Volviendo a mi cálculo del coseno theta, puedo escribirlo como adyacente,.
que es la raíz cuadrada de 21.

Sobre hipotonían Information, que es cinco, la tangente theta es la.
opuesta a la adyacente, así que eso va ser dos sobre la raíz cuadrada de 21. Para calcular la.
secante de theta, eso es uno sobre el coseno theta, entonces será uno partido por la raíz cuadrada de 21.
partido por cinco, que es cinco partido por el cuadrado raíz de 21. El recíproco de mi valor coseno. theta.
cosecante es uno sobre theta sinusoidal, eso es va a ser el recíproco de mi seno, por lo que.
cinco mitades, y theta cotangente es uno sobre un tan theta, por lo que será el recíproco de mi raíz.
cuadrada de 10 valores de 21 partido por dos.Finalmente, haremos

una aplicación.

Es decir

, f de menos dos es igual al. límite cuando x llega a menos dos desde la izquierda de f de x. Observe que no podemos decir lo mismo sobre el límite. Decimos que una función f de x es continua en el intervalo abierto BC,. Además, seno x y coseno x, el valor absoluto de x es otro ejemplo común. Si quieres ver por qué eso es, eso se debe a que el seno de theta sobre el. Entonces ese es uno sobre el opuesto sobre la hipotenusa, que child los socios altos sobre el contrario.Entonces, si
tenemos una cometa que vuela en un ángulo de elevación como el ángulo desde la barra straight de 75 grados
con una cuerda de cometa de 100 metros de longitud, queremos saber qué tan alto es. Llamaré a la altura
¿ Por qué? Bueno, queremos relacionar el cantidades conocidas este ángulo y esta hipótesis a.
La cantidad desconocida, la cantidad desconocida es el lado opuesto de nuestro triángulo.Entonces, si.

usamos el seno de theta igual a lo opuesto de nuestro hipótesis, entonces podemos relacionar estas cantidades.
conocidas seno de 75 grados con nuestra incógnita cantidad y, que es lo contrario y se conoce la cantidad.
de 100 metros. resolviendo para y, esto dado que y es 100 metros por el seno de 75 grados,.
podemos usar una calculadora para calcular seno de 75 grados, asegúrese de utilizar el modo de.
grados y no el modo de radianes cuando escriba el 75. Cuando hago el cálculo, obtengo una respuesta.
final de 96,59 cities con dos decimales. lugares. Observe que estamos ignorando la altura.
de la character en este problema.Para recordar las definiciones de las funciones trigonométricas,.
puede utilizar la neumónica, por lo que tau, y la hecho de que la secante es el recíproco del coseno.
cosecante el recíproco del seno y la cotangente el recíproco de la tangente. En este video clip,.
usaré geometría para calcular el seno y coseno de un ángulo de 30 grados, un ángulo de 45 grados.
y un ángulo de 60 grados. Una forma de calcular el seno de un ángulo de 45 grados es usar un triángulo.
rectángulo disadvantage un ángulo de 45 grados. Este En particular, un triángulo rectángulo tiene compañeros.
de longitud uno.Dado que todos

los ángulos de la triángulo tenemos que sumar 180 grados,.
y ya tenemos 90 grados y 45 grados, el ángulo restante también debe ser de 45 grados. Entonces.
tenemos un triángulo isósceles con dos lados tienen la misma longitud, llamaré a ese lado.
longitud a. Si queremos seno de 45 grados, hagamos Utilize este ángulo de 45 grados aquí, entonces el seno es.
opuesto a la hipotenusa. Así que si puedo entender Para saber cuánto mide este lado, podré.
calcular el seno de 45 grados. Ahora el El teorema de Pitágoras dice que la longitud de este lado.
al cuadrado más el lado tierra al cuadrado es igual Tengo picor al cuadrado. Entonces tenemos que un cuadrado.
más un cuadrado es igual a uno al cuadrado. Muy bien, eso es dos A al cuadrado igual a uno. Entonces.
un cuadrado es la mitad y a es más o menos la raíz cuadrada de la mitad.Como estamos hablando. de la longitud de los lados de los triángulos, Puedo usar la raíz cuadrada positiva. Es costumbre.
reescribir esto como raíz cuadrada. de uno sobre la raíz cuadrada de dos, que es.
uno sobre la raíz cuadrada de dos, y luego racionalizar el denominador multiplicando la parte.
exceptional e inferior por la raíz cuadrada de dos.Eso me da

una raíz cuadrada de dos.
en el numerador y la raíz cuadrada de dos al cuadrado en el denominador, que es la raíz cuadrada de dos.
partido por dos. Entonces las longitudes de los lados son la raíz cuadrada de dos partido por dos. Ahora.
puedo calcular el seno de 45 grados, por Calcular el opuesto sobre la hipotenusa. Es decir,.
El coseno de 45 grados.
es adyacente a la hipotenusa. Ese es este lado longitud sobre esta hipótesis. Entonces esa es la raíz.
cuadrada de dos sobre dos sobre uno nuevamente, ¿ Qué pasaría si en lugar de usar este triángulo.
con hipotonía es uno, usamos este? triángulo, también un triángulo 4545 90 disadvantage hipotonía es.
Esta vez, Llamaré B a la longitud del lado. El teorema de Pitágoras me dice.
Entonces dos, b al cuadrado es igual a.
25. Y b al cuadrado es igual a 25 sobre dos, B va a sea el más o menos la raíz cuadrada de 25 partido.
por dos nuevamente, puedo usar el positivo versión. Y entonces B es la raíz cuadrada de 25.
sobre la raíz cuadrada de dos, que es cinco sobre la raíz cuadrada de dos, racionalizando el.
denominador, obtengo cinco raíz de dos sobre dos.Ahora, el seno de mi ángulo de 45 grados es opuesto.
al picor exagerado, cual es cinco raíz cuadrada de dos partido por dos dividido.
por cinco. Eso se simplifica a la raíz cuadrada de dos sobre dos como stakes, y un cálculo comparable muestra.
que el coseno de 45 grados también es cuadrado raíz de dos sobre dos como antes. Esto tiene sentido.
porque el seno y el coseno se basan en proporciones de lados. Y como estos dos triángulos.
son triángulos semejantes, tendrán el mismo proporciones de lados. Para encontrar el seno y el coseno.
de 30 grados, usemos este 30 6090 derecho El triángulo con hipotonía es uno. Si duplicamos el.
triángulo, obtenemos un ángulo de 30 aquí, entonces un ángulo total de 60 grados aquí, y este ángulo.
también es de 60 grados. Entonces tenemos un 60 Triángulo 6060, es un triángulo equilátero, todas las.
longitudes de los lados child iguales. Desde esto La longitud del lado tiene una longitud uno, esta longitud del.
lado también es uno. La longitud complete de este lado es uno, lo que significa que este lado corto de nuestro triángulo.
original tiene una longitud de la mitad.Volviendo a mi

triángulo initial, usemos el teorema de Pitágoras.
para encontrar la longitud de su lado más largo X. Pero el teorema de Agrin dice que x al cuadrado más la mitad.
Y entonces x es más o menos la raíz cuadrada.
la raíz cuadrada de tres sobre la raíz cuadrada de cuatro, que es la raíz cuadrada de tres.
partido por dos.Ahora usando nuestro original triángulo, nuevamente, calculemos aquí el seno.
de este ángulo de 30 grados. Sabemos que el seno de 30 grados es opuesto a nuestra hipótesis,.
el opuesto de este ángulo es la mitad y la hipótesis es una. Entonces obtenemos un seno de.
un medio partido por uno, que es un medio coseno. de 30 grados es adyacente a la hipótesis. Entonces.
esa es la raíz cuadrada de tres partido por dos. dividido por uno. Para encontrar el seno de 60 grados.
y el coseno de 60 grados, en realidad podemos utilize este mismo triángulo verde y enfóquese en.
este ángulo de la esquina remarkable de 60 grados. Entonces seno de 60 grados. Lo opuesto al picor exagerado,.
pero esta vez lo opuesto a este ángulo es la raíz cuadrada de tres partido por dos.El coseno.
de 60 grados adyacente sobre la hipotenusa da nosotros la mitad. Resumiré los resultados en esta tabla.
a continuación. Observe que un ángulo de 30 grados El ángulo corresponde a pi sobre seis radianes, ya que 30.
grados multiplicado por pi sobre 180 es pi sobre seis. De manera similar, 45 grados corresponden a pi sobre.
cuatro radianes y 60 grados corresponden a pi sobre tres radianes. Te recomiendo que memorices.
los tres números la mitad, raíz dos sobre dos y raíz de tres sobre dos. Y el hecho.
de que la mitad y la raíz de tres encima dos van juntos. Y la raíz de dos sobre dos va.
consigo misma. De esa información, no es Es difícil reconstruir los triángulos, ya sabes que.
un triángulo 4545 90 es mi triángulo más atrevido. Entonces debe tener las longitudes de los lados donde.
el mismo número va consigo mismo. Y un 30 6090 Un triángulo tiene un lado de longitud menor que.
Al realizar una verificación visual, puede fácilmente Full los ángulos, el ángulo más pequeño debe. En este video, calculamos.
el seno y el coseno de tres especiales Ángulos de 30 grados, 45 grados y 60 grados.Este video clip.

definió el seno y el coseno en términos de puntos en el círculo unitario. un círculo unitario.
es un círculo con radio uno. Hasta ahora definimos el seno, el coseno y la tangente en términos.
de triángulos rectángulos. Por ejemplo, Para encontrar el seno de 14 grados en teoría, puedes.
dibujar un triángulo rectángulo disadvantage un ángulo de 14 grados y luego calcular el signo como.
la longitud del lado opuesto sobre el longitud de los socios pi. Pero si usamos este método.
para intentar calcular el seno de 120 grados, las cosas van terriblemente mal. Cuando dibujamos.
este ángulo de 120 grados y este ángulo recto, hay No hay forma de completar esta imagen para obtener un triángulo.
Entonces, en lugar de eso, vamos a usar un círculo unitario, es decir un círculo de radio uno. La.
siguiente figura ilustra cómo los triángulos rectángulos y un círculo unitario están relacionados.
triángulos rectángulos, con mayor hipotenusa uno con ángulos cada vez mayores, entonces el vértice.
En esta figura,.
del triángulo es el radio del círculo, que es uno, un vértice del triángulo rectángulo está en el origen,.
otro vértice del triángulo rectángulo está en el origen El triángulo está en el borde del círculo, voy.
a llamar a las coordenadas de ese vértice. A, B. Ahora la base de este triángulo rectángulo.
tiene longitud a, la coordenada x y la altura del triángulo rectángulo es B, la coordenada y.Si uso.
la definición del triángulo rectángulo de seno y coseno de theta, este de aquí es el.
ángulo theta, luego el coseno de theta es adyacente sobre hipotenusa, entonces eso es sobre.
uno, o a. Observe que a también representa el Coordenada x de este punto en el círculo unitario. En.
el ángulo theta desde el eje x. Escribiré eso abajo. Para el seno de theta, si uso la definición.
de triángulo rectángulo, eso es lo opuesto socios aéreos, entonces B sobre uno, que es solo.
B. Pero B también representa la coordenada y de este punto en el círculo unitario en el ángulo.
theta. Para theta tangente, si usamos la definición del triángulo del lado derecho, su opuesto sobre.
el adyacente. Entonces eso es B sobre A, puedo pensar de eso como la coordenada y del punto sobre la coordenada.
x del punto. Ahora para los ángulos theta, eso no puede ser parte de un triángulo rectángulo,.
porque kid demasiado grandes, kid más grandes que 90 grados, como ahora llamaré a este ángulo.
theta, todavía puedo usar esta idea de x y coordenadas y para calcular el seno y el coseno.
de theta.Entonces, si solo marco este punto, al final de esta línea en el ángulo theta,. si marco que tiene coordenadas x e y, entonces coseno theta, todavía voy a definir como la. coordenada x de este punto, seno theta como la coordenada y, y tangente theta como la.
relación de la coordenada y sobre la coordenada x. Cuando usamos esta definición de círculo unitario, siempre.
dibujamos theta comenzando desde el lado positivo. eje x y en sentido antihorario. Usemos esta definición.
de círculo unitario para calcular el seno, coseno y tangente de este ángulo. En nuestra figura,.
tenemos un círculo unitario.Y estos números

se supone que representan las coordenadas x & y de este. punto en el círculo unitario en el punto final de este segmento de línea, que se encuentra en el ángulo charge.
para el eje x positivo. La tarifa de firma es igual a la coordenada y la cuota coseno es igual a la.
coordenada x. Y se da la tangente de la tarifa. por la relación de los dos, que resulta.
en menos 0,3639 disadvantage cuatro decimales. Este video brinda un método para calcular el seno.
coseno y la tangente en términos de la unidad.Círculo.

Comenzando desde el eje x positivo,.
dibujas el ángulo theta en sentido antihorario. Miras las coordenadas del punto del círculo.
donde termina ese ángulo. Y el el coseno de ese ángulo theta es la coordenada x, el.
seno de theta es la coordenada y y la tangente de theta es la relación. Este vídeo ofrece tres propiedades.
de la función trigonométrica seno y coseno. que se puede deducir de la definición del círculo unitario. Recuerde.
que la definición del círculo unitario de El seno y el coseno del ángulo theta es que el coseno.
theta es la coordenada x.Y seno de theta es la coordenada y del punto del círculo unitario.
en el ángulo theta. la primera propiedad es lo que yo llamo la propiedad periódica. Esto.
dice que los valores del coseno y el seno boy periódico con período dos pi. Y lo que eso significa.
es que si tomas el coseno de un ángulo más dos pi, obtienes lo mismo que si tomaras el.
coseno del ángulo. Entonces cuando nosotros Anota esto, asumimos que theta se mide.
en radianes. Si queremos medir theta en grados, la afirmación similar es que.
el coseno de theta más 360 grados es igual al coseno de theta, podemos hacer las mismas afirmaciones para.
el seno, el seno de un ángulo más dos pi es igual al seno del ángulo original; aquí el.
ángulo se mide en radianes. Si nosotros Si desea medir el ángulo en grados, la afirmación.
es que el seno de theta más 360 es igual al seno de theta, podemos ver por qué esto es cierto.
a partir de la definición del círculo unitario de seno y coseno. Este es nuestro ángulo theta,.
luego theta más dos pi, el más dos pi suma una vuelta completa alrededor del círculo unitario hasta nuestro.
ángulo, por lo que terminamos en el mismo lugar, theta y theta más dos pi kid sólo dos nombres diferentes.
para la misma ubicación en el círculo unitario.Y dado que el

seno y el coseno te dan las coordenadas.
y y x de ese punto en el círculo unitario, tienen que tener el mismo valiance. De manera similar,.
si consideramos un ángulo theta y un ángulo theta menos dos pi, menos dos pi significa que vamos.
en la otra dirección alrededor de la unidad círculo en el sentido de las agujas del reloj, todavía terminamos.
en el mismo lugar. Y por tanto, coseno de theta menos dos pi, la coordenada x de esa posición es.
lo mismo que el coseno de theta, seno de theta menos dos pi es lo mismo que el seno de.
theta, las mismas afirmaciones child válidas si sumamos o restamos múltiplos de dos pi.Por ejemplo,.
el coseno de theta más cuatro pi sigue siendo lo mismo que el coseno de theta. Esta vez, simplemente.
hemos dado vueltas alrededor del círculo unitario. y aún así volví al mismo lugar. Entonces, si queremos.
encontrar el coseno de cinco Pi, eso es lo mismo que el coseno de pi más cuatro pi,.
que es lo mismo que el coseno de pi. Pensamiento Respecto al círculo unitario, pi está a la mitad del círculo.
unitario. Entonces el coseno de pi significa el Coordenada x de este punto justo aquí. Bueno,.
ese punto tiene coordenadas menos uno, cero, entonces el coseno de pi debe ser negativo uno.Si.

quiero tomar el seno de 420 grados negativos, Bueno, eso es seno de 360 grados negativos,.
menos 60 grados, que es lo mismo. como seno de menos 60 grados. Pensar en el círculo.
unitario, menos 60 grados, significa que Comience en el eje x positivo y avance 60 grados en el sentido.
de las agujas del reloj, lo que me lleva justo aquí. Y ese es uno de los ángulos especiales que tiene.
una coordenada x de la mitad de una coordenada y de raíz negativa de tres partido por dos. Y por lo tanto.
el seno de menos 60 es menos raíz de tres.Sobre dos la

coordenada y. La siguiente propiedad.
que llamo propiedad the same level impar dice que El coseno es una función par, lo que significa que.
el coseno de theta negativo es lo mismo. como coseno de theta, mientras que el seno es una función impar,.
lo que significa que el seno de theta negativo es el negativo del seno de theta. Para ver por qué.
esto es cierto, veamos un ángulo theta. Y el ángulo theta negativo. Un ángulo negativo significa que vas en el sentido.
de las agujas del reloj en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj. dirección desde el eje x positivo. Las coordenadas de este punto por definición, r.
coseno theta seno theta, mientras que las coordenadas de este punto son coseno theta negativo, seno de.
theta negativo. Pero por simetría, estos dos puntos tienen exactamente la misma coordenada x y, por.
lo tanto, el coseno de theta debe ser igual al coseno de theta negativo, mientras que sus coordenadas y.
tienen la misma magnitud, pero signos opuestos. Éste es positivo y éste es negativo. Tener,.
Bueno, sabemos que la tangente de theta negativa,. Bueno, sabemos que el seno de theta negativo es. Por lo.
tanto, estamos obteniendo theta de signo negativo. sobre el coseno theta, que es tan negativo de theta. Dado que tan de theta negativo es el negativo de tan de theta, tan theta es una función.
impar. La última propiedad en este video clip. es la propiedad pitagórica, que dice que el coseno.
de theta al cuadrado más el seno de theta al cuadrado es igual a uno. Muchas veces esta propiedad.
se escribe con esta notación abreviada, coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado es.
igual a uno.Pero esta

notación, coseno al cuadrado theta simplemente significa que tomas el coseno de theta.
y lo elevas al cuadrado. Esta propiedad se llama Propiedad de Pitágoras, porque proviene del Teorema.
de Pitágoras. Déjame trazar una derecha triángulo en el círculo unitario. Llamaré a este ángulo.
theta. Entonces las coordenadas de este punto final. Aquí están el coseno theta y el seno theta. Como.
se supone que es un círculo unitario, la hipotenusa de mi triángulo rectángulo tiene longitud uno, la base de.
mi triángulo rectángulo es simplemente coseno theta, lo mismo que la coordenada x de este punto.Y.

la altura de mi triángulo es la coordenada y. del punto seno theta. Ahora el teorema de Pitágoras.
dice que la longitud de este lado al cuadrado más eso para que al cuadrado sea igual a uno al cuadrado,.
ya que uno al cuadrado es lo mismo que uno, eso me da la propiedad pitagórica. Pero la propiedad.
tigrayan es útil para calcular valores. de coseno dados valores de seno y viceversa. Y.
este problema, nos dicen que el seno de t es menos dos séptimos. Y T es un ángulo que se encuentra.
en el cuadrante tres. Cuando decimos el El ángulo se encuentra en el cuadrante tres, eso significa que.
el lado incurable del ángulo se encuentra aquí en el cuadrante tres. Una forma de encontrar el coseno de t es utilizar el.
hecho de que coseno al cuadrado de t más seno al cuadrado t es igual a uno.Es decir, el coseno de t al cuadrado.
más menos 2/7 al cuadrado es igual a uno, Puedo escribir esto como coseno de t al cuadrado más.
4/49 es igual a uno y entonces coseno de t al cuadrado es igual a uno menos 4/49, que boy 4540 noches. sacando la raíz cuadrada de ambos lados, eso va para el coseno t es más o menos la raíz.
cuadrada de 45 partido por 49, eso es más o menos la raíz cuadrada de 45 partido por siete. Ahora que estamos en el tercer cuadrante, Debes saber que el coseno de t, que representa la.
coordenada x de este punto, también debe ser negativo.Por lo tanto, el coseno de t será negativo cuadrado elevado. a 45 partido por siete.
También es posible para resolver este problema usando directamente el teorema. de Pitágoras para triángulos rectángulos. Si nosotros observe el hecho de que el seno de t es menos. dos séptimos e disregard el signo negativo Por
ahora, podemos pensar que esta información. nos dice que tenemos un triángulo rectángulo.
ángulo theta, cuyo lado opuesto es dos, y cuyo. compañero superior es siete.Aquí llamamos a este lado ellos, pero en el teorema. de Tiger nos dice un cuadrado más dos al cuadrado.
es siete al cuadrado. Entonces un cuadrado más cuatro. es 49. Entonces un cuadrado es 45. Y a es más o menos la raíz cuadrada de 45. Como me preocupa.
un triángulo, voy a usar el positivo valor. Ahora, el coseno de t será adyacente sobre.
la hipotenusa. Así que ese será el raíz cuadrada de 45 partido por siete. Ahora vuelvo.
a pensar en signos positivos y negativos. Y noté que como estoy en el tercer cuadrante,.
mi signo co es negativo, así que simplemente coloque un signo negativo al frente.Esta.

solución alternativa, estas boy muchas de las mismas ideas que la solución anterior y, en última instancia,.
nos da la misma respuesta.

Entonces las longitudes de los lados kid la raíz cuadrada de dos partido por dos. Entonces el coseno de pi significa el Coordenada x de este punto justo aquí. Las coordenadas de este punto por definición, r.
coseno theta seno theta, mientras que las coordenadas de este punto son boy theta negativo, seno de.
Dado que tan de theta negativo es el negativo de tan de theta, tan theta es una función.
Si nosotros observe el hecho de que el seno de t es menos.Este vídeo da tres propiedades de las funciones trigonométricas: la propiedad
periódica, la propiedad par impar y la propiedad pitagórica. propiedad. Este video clip trata sobre las gráficas del
seno y el coseno. quiero graficar las funciones y es igual al coseno t e y es igual al seno t, donde
t está en radianes, voy a pensar que esto es el eje t, siendo este el eje y. Una forma de hacerlo
es trazar puntos. entonces lo haré Completa esta tabla, usando mi conocimiento de ángulos
especiales en el círculo unitario.Estos puntos Será más fácil de graficar si los convierto todos a decimales. Ahora traza los puntos
para el coseno. y conecta los puntos para obtener una gráfica de y es igual al. coseno t desde t es igual a cero hasta t es igual a dos Pi. Para continuar con el gráfico para valores de t. menores que cero o mayores que dos pi, podría trazar más puntos. O simplemente podría usar el hecho de. que los valores del coseno se repiten. Si agrego o Resta dos pi a mi ángulo T, estaré en el mismo. lugar en el círculo unitario. Así que mi el coseno será exactamente el mismo. Por lo tanto,. mis valores de coseno, que están representados Según mis valores de y en este gráfico, se repiten. Por ejemplo, cuando mi valor T es dos pi más pi sobre seis como aquí, su coseno es el.
mismo que el coseno de pi sobre seis. Así que tomaré este punto aquí y lo repetiré aquí. De manera similar, cuando t es como dos pi más pi sobre cuatro, obtengo el mismo valor de coseno.
cuando es solo pi sobre cuatro.Entonces Esto se va a repetir. Y puedo seguir repitiendo. todos mis puntos.
También podemos trazar puntos para obtener una gráfica para el seno y extiéndala mediante repetición. De ahora en adelante, normalmente escribiré la función seno y coseno cuando y es igual al coseno de x e y es. Eso es un significado diferente de x e y, en comparación.
con cuando hablamos del círculo unitario, donde x se refiere al valiance del coseno e y.
se refiere al valiance del seno. Ahora veamos Algunas propiedades de las gráficas del seno.
y el coseno.Lo primero

que podrías notar es que la gráfica del coseno y la gráfica del.
seno child muy similares entre sí. De hecho, Puedes pensar en la gráfica del coseno como si fuera simplemente.
la gráfica del seno desplazada hacia la izquierda. por pi sobre dos. Entonces podemos escribir el coseno.
de x como la función seno de x más pi sobre dos, desde que sumamos pi sobre dos en el interior, mueva el.
gráfico horizontalmente hacia la izquierda pi sobre dos. O podemos pensar que la gráfica del seno.
se construye a partir de la gráfica del coseno. Al desplazar la gráfica del coseno a la derecha en pi sobre dos,.
eso significa que podemos escribir el seno de x como igual al coseno de x menos pi sobre dos, ya que al.
restar pi sobre dos en el inside, se desplaza la gráfica del coseno a la derecha por pi sobre dos. A continuación, veamos el dominio y el rango. El dominio.
del seno y el coseno kid todos los números reales.Muy bien, eso es infinito negativo a infinito, pero. el rango es sólo de uno
negativo a uno. Esto tiene sentido, porque el seno y el coseno provienen.
del círculo unitario. Los valores de entrada para el dominio provienen de los ángulos. Y puedes usar.
cualquier número y ángulo positivo o negativo. tan grande como quieras, simplemente envolviendo muchas.
veces alrededor del círculo. Los valores de salida para el rango, es decir, los valores reales de.
seno y coseno provienen de las coordenadas en el círculo unitario. Y esas coordenadas.
no pueden ser mayores que uno ni menores que uno negativo. Entonces eso nos da un rango.Incluso en lo.

que respecta a un comportamiento extraño, se puede decir del gráfico. Aquí está el coseno, que es simétrico.
con respecto al eje y y por lo tanto debe se justo. Mientras que la gráfica del seno es simétrica.
con respecto al origen y debe ser impar. El valiance máximo absoluto que tienen estas dos.
funciones es uno y el mínimo absoluto el valiance es negativo. También podemos usar las palabras.
amplitud y período de la línea media para describir estas dos funciones. La línea media es la línea horizontal,.
a medio camino entre el máximo y el mínimo. puntos. Aquí, la línea media es y es igual a.
cero, la amplitud es la distancia vertical entre un punto máximo y la línea media. También puedes.
pensar en la amplitud como la distancia vertical. entre un punto mínimo y la línea media, o como la.
mitad de la distancia vertical entre un punto medio y un punto máximo. Para la función coseno y.
la función seno, la amplitud es uno.A La función periódica es una función que se repite.
a intervalos horizontales regulares. la horizontal La longitud de la unidad repetitiva más pequeña se llama.
período, ya que Y es igual al coseno de x, el período es dos pi. Observe que el período es la distancia.
straight entre picos sucesivos, o máximo puntos, o entre valles sucesivos, o puntos.
mínimos. algebraicamente podemos escribir coseno de x más dos pi es igual al coseno de x.
y seno de x más dos pi es igual al seno de x para indicar que las funciones se repiten en un.
intervalo de dos pi y tienen un período de dos pi. En este video clip, graficamos y es igual al.
coseno de x e y es igual al seno de x. y observar que ambos tienen una línea media en y es igual.
a cero, una amplitud de uno y un período de dos pi. El tipo de funciones seno u son funciones que están.
Este video. Comencemos graficando la función y es igual a tres. Esta función está relacionada a la función y es igual al seno x. Entonces graficaré.
Ahora los tres de afuera estira este gráfico verticalmente por un factor de.
tres, mientras que los dos en el interior se comprimen que horizontalmente por un factor de la mitad. Si.
en cambio quiero graficar y es igual a tres seno 2x más uno, este más uno en el outside desplaza.
todo hacia arriba en una unidad. Comparemos la amplitud y el período de la línea media de nuestro initial.
y es igual al seno x se transforman y es igual a tres seno 2x. Y nuestra y transformada aún más es igual.
a tres senos 2x más uno, el seno original tiene una línea media en y es igual a cero, una amplitud.
de uno y un período de dos pi.Para los

transformados función, y es igual a tres veces el seno de.
Los dos del interior encogen todo horizontalmente. Entonces cambia el período.
de dos pi en un período de la mitad multiplicado por dos pi, que es pi. Dado que los dos en el indoor solo afectan los valores.
de x y las distancias horizontales, no afecta afectan la línea media, que es un valiance y, o.
la amplitud, que es una distancia upright. Pero los tres de afuera sí afectan estas cosas. Bueno, en specific, afecta a la amplitud, dado que todo se extiende verticalmente.
por un aspect de tres, la amplitud de uno se estira hasta una amplitud de tres. En.
este caso, la línea media en realidad no cambiar, porque multiplicar un valor de y de cero por.
tres sigue siendo un valor de y de cero.Ahora en la tercera función, tomamos la segunda función. y agregamos una en el exterior,
por lo que eso cambia todo hacia arriba en uno. Por lo tanto, en. lugar de tener una línea media en y
igual a cero, ahora tenemos una línea media en y es igual a uno. La amplitud no cambia aunque sigue siendo tres porque subir todo en uno no afecta. la distancia entre el medio mente y el final el punto máximo. Además, el.
período sigue siendo pi ya que el período es una medida horizontal, y agregar una en el outside.
solo afecta las cosas verticales.Ahora A continuación,

grafiquemos la función y es igual a tres. por el seno de dos por la cantidad x menos pi. más de cuatro. Esta función está muy relacionada disadvantage la.
primera función que graficamos en el punto anterior. página, eso period y es igual a tres senos de 2x. De hecho, si le damos el nombre f de x a ese función, y tal vez podamos llamar g de x, esta otra función,.
entonces podemos obtener g de x mediante tomando f de x y reemplazando x menos pi sobre cuatro.
para x.En otras palabras, g de x es f de x menos pi sobre cuatro. Esta relación.
me da una idea para graficar g de x, el función que queremos graficar, primero podemos graficar.
f de x, ya lo hicimos en el punto former página. Y luego podemos desplazar su gráfica hacia la.
derecha en pi sobre cuatro, porque eso es lo que lo que haces cuando restas un número en el indoor de una.
función. Así que aquí está la gráfica de y es igual tres senos 2x. Recuerde que es solo la gráfica del.
seno estirada verticalmente por un aspect de tres, y reducido horizontalmente por un factor de.
la mitad. Ahora, para graficar la función que Quiero, voy a desplazar este gráfico en pi.
cuatro hacia la derecha. Darse cuenta de como tenía mi función escrita en forma factorizada,.
Tomémonos un momento para mirar amplitud de la línea media y período para la función principal. El negativo en el exterior lo cambia todo. Entonces trae la línea media, y es igual.
Entonces el período se convierte la mitad por dos pi, que es pi. Finalmente, se está produciendo.
un cambio straight en nuestra sociedad transformada. La función se desplaza hacia la derecha, en pi sobre cuatro,.
este desplazamiento straight a veces se denomina el cambio de fase. La función que acabamos de analizar fue.
y es igual a tres seno 2x menos pi partido por cuatro menos uno, que también podría escribirse como.
Si tenemos una función de esta forma, o una función. Si a es negativo, entonces. Y sabemos que este aspect de B equivale a una contracción.
straight por un aspect de uno sobre B o supongo que podría ser un estiramiento horizontal.
por un element de uno sobre b Si b es menos que uno, entonces como comenzamos con un período.
de dos pi y estamos multiplicando por uno sobre B, nuestro nuevo período será.
dos Pi sobre B.Lo más complicado es desplazamiento straight. Y para hacerlo bien,.
me gusta factorizar esta B en mi ecuación. Entonces, en lugar de escribir y es igual a un coseno.
bx menos c más d, voy a escribir y es igual A coseno B multiplicado por la cantidad x menos c sobre.
b más d. De manera comparable, si es una función seno, Escribo y es igual a un seno B multiplicado por x menos la.
cantidad c sobre b más d, luego puedo leer en la straight desplazarse como C sobre B.Y eso será un desplazamiento.
hacia la derecha, si C sobre B es positivo y un desplazamiento hacia la izquierda, si C sobre b es negativo,.
esto podría parecer al revés de lo que estás solía hacerlo, pero es porque tenemos ese signo menos.
allí. Entonces, si C sobre B es positivo, estamos en realidad restando en el interior. Entonces eso se desplaza.
hacia la derecha, si C de b sobre b es negativo menos un negativo en realidad está agregando algo y es por.
eso que lo desplaza hacia la izquierda. Entonces Como ejemplo last, digamos que quiero graficar y.
es igual a 1/3, coseno de la mitad de x más tres menos cinco, eso tendría una línea media en y es.
igual a menos cinco, una amplitud de 1/3, una período de dos pi dividido por la mitad, que es cuatro.
pi, y un desplazamiento horizontal.Mejor reescribe este desplazamiento straight de seis unidades. hacia la izquierda, el desplazamiento horizontal a veces es llamado cambio de fase. Y eso es todo en cuanto a. gráficas de funciones sinusoidales.
Este video Se trata de graficar las funciones trigonométricas tangente,. secante, cotangente y cosecante.
para ganar un intuición para la gráfica de y es igual a la tangente. de x, creo que es útil observar la pendiente de una línea en el ángulo theta en el círculo unitario. La pendiente de esta recta es la elevación sobre el correr. Pero el aumento viene dado por el seno de theta y el.
recorrido está dado por el coseno de theta. Entonces la pendiente viene dada por el seno theta sobre el coseno.
theta, que es simplemente tan de theta. Así que si Quiero graficar y es igual a tan de x, puedo.
pensar en x como el ángulo y y como el pendiente de la línea en ese ángulo. Observa que si.
el ángulo es cero, la pendiente es cero. Pero a medida que el ángulo aumenta hacia pi sobre dos, la.
Y entonces la pendiente no. Usando esta información, grafiquemos un bosquejo aproximado. Entonces dijimos que la.
En el gráfico, puedes ver.
por dos veces k, donde k es un entero impar.De nuevo, Esto tiene sentido a partir de la definición de tangentes,. ya que las asíntotas verticales ocurrirán donde el denominador es cero y el coseno x es cero, en.
números, como pi negativo sobre dos pi sobre dos, tres pi sobre dos, y así sucesivamente, el dominio.
de la tangente es el eje x para el que está definida. Entonces eso será todo excepto las asíntotas.
verticales, podemos escribir eso como x tal que x no es igual a pi partido por dos. veces k, para K, un entero impar.
El rango o los valores de y van desde infinito negativo hasta. infinito.
Y el período, como nosotros mencionado anteriormente, es pi. Dado que la unidad repetitiva.
más pequeña tiene un ancho straight de pi, Para graficar y es igual a la secante x, voy a recordar que. la secante es uno sobre coseno.Entonces si empiezo disadvantage una gráfica de coseno, puedo tomar el recíproco de los valores.
de y para obtener la gráfica de la secante, el recíproco de uno es uno, el recíproco de cero. no está definido, así que no voy a tener un valiance en pi sobre dos, pi negativo sobre. dos, tres pi sobre dos o menos tres pi sobre dos.
Cuando tomo el recíproco de. números, un poco menores que uno, voy a obtener números un poco mayores que uno, pero tomaría. el recíproco de números positivos obteniendo cerca de cero, obtendré números positivos realmente. grandes que se acercarán al infinito. De manera comparable, del otro lado, aquí, tengo. números cercanos a cero, pero negativos, entonces sus recíprocos serán números negativos que. se dirigen hacia el infinito negativo.El recíproco de negativo uno es negativo uno. Y lo mismo ocurre aquí,. así que me estoy volviendo algo
positivo y cubos negativos y cubos invertidos como gráfico. de mi secuencia. Observe que la secante tiene un período de dos pi
, lo. cual tiene sentido, ya que el coseno tiene un período de dos pi, tiene un rango que va desde menos infinito. hasta menos uno comprehensive, y desde uno al infinito.
Eso tiene sentido porque el. rango del coseno está entre uno y negativo. uno, y estamos tomando el recíproco de esos.
valores. El dominio es todo excepto las asíntotas verticales.
Ahora las asíntotas verticales. boy donde el coseno es cero. De modo que está en valores de la forma pi sobre dos, tres pi. sobre dos, etc. Esos boy valores de la forma pi sobre 2k, donde k es un número entero impar. Entonces el dominio será x valores tales que x no es igual a pi sobre 2k. Para K y entero impar. Las intersecciones x de la secante Bueno, no tiene ninguno, porque no se puede tomar uno. sobre algo y obtener los números cero por

su valiance y. Hemos visto la gráfica de y es. igual a Tana x e y es igual a la secante x. Este es la gráfica de
y es igual a la cotangente x. Se parece. a la gráfica de la tangente x, solo que una función decreciente en lugar de creciente,. y tiene sus asíntotas verticales. Y es x intercepta en diferentes lugares. Finalmente, esta. gráfica verde es la gráfica de y es igual cosecante x. Está relacionado disadvantage la gráfica del seno. x, ya que la cosecante es uno
sobre el seno x, y de hecho, si dibujo la gráfica del seno. x en el medio, puedes ver cómo rebota apagado.Porque es el recíproco. Te animo a. que memorices la forma general de estos.

De ahora en adelante, normalmente escribiré la función seno y coseno cuando y es igual al coseno de x e y es. Aquí, la línea media es y es igual a.
cero, la amplitud es la distancia vertical entre un punto máximo y la línea media. De hecho, si le damos el nombre f de x a ese función, y tal vez podamos llamar g de x, esta otra función,.
Tomémonos un momento para mirar amplitud de la línea media y período para la función principal. Pero el aumento viene dado por el seno de theta y el.gráficos, siempre puedes descubrir los detalles
pensando en cómo se relacionan a las gráficas del coseno de x y del seno x. Este vídeo
es una introducción a la resolución de trigonometría. ecuaciones. Empecemos con la ecuación dos coseno
x más uno es igual a cero, quiero encontrar todas las soluciones en el intervalo de cero a dos
pi, y luego obtener una fórmula basic para todas las soluciones, no sólo aquellas en ese
intervalo. Déjame comenzar reescribiendo esta ecuación. para aislar la parte complicada, que es el coseno
de x. Así que voy a escribir coseno x igual menos uno, y luego divide ambos lados por dos. Ahora estoy buscando los ángulos x entre cero y dos pi, cuyo coseno es menos un medio. Como la mitad negativa es una de los valores especiales en el círculo unitario, puedo usar
mi conocimiento del círculo unitario, para ver que el ángulo entre cero y dos pi debe ser
dos pi sobre tres o cuatro pi sobre tres, mi respuesta debe incluir ambos
valores.No hay otros

lugares en el círculo unitario cuyo coseno es menos la mitad. Pero hay más ángulos, porque nosotros Siempre se puede tomar uno de estos ángulos y sumarle
múltiplos de dos pi. Así que si quiero Para encontrar todas las soluciones, puedo tomar estas dos soluciones
de principios, dos pi sobre tres y cuatro pi. sobre tres, y simplemente súmales múltiplos
de dos pi. Por ejemplo, dos pi sobre tres más dos pi, o dos pi sobre tres menos dos pi,
dos pi sobre tres más cuatro pi, y así en. Una forma mucho más eficiente de escribir esto
es escribir dos pi sobre tres más dos pi. multiplicado por k, cualquier número entero que sea cualquier
número entero positivo o negativo o cero. Similarmente, Puedo escribir cuatro pi sobre tres más dos pi k,
para capturar todas las soluciones, según la solución major para pi sobre tres sumando
y restando múltiplos de dos pi.Esta es mi solución final. A continuación, veamos una ecuación complicada que
involucra tangente. Como Como es regular, empezaré limpiando las cosas y aislando la parte complicada, que en este caso es tangente Entonces déjame agregar tangente. a ambos lados.
Eso me dará tres, bronceado. x es igual a la raíz cuadrada de tres. Y entonces tan x es la raíz cuadrada de tres partido por tres. La raíz cuadrada de tres partido por tres parece sospechosamente comparable para valorar el valor de cuadrado a tres partido por dos, que es un valor especial en mi círculo unitario. Entonces mi sospecha es Que mi círculo unitario me ayudará nuevamente a encontrar este valiance de x wrong calculadora. Recordar que tan x es seno x sobre coseno x.Entonces estoy buscando ángulos en el
círculo unitario entre cero y dos pi disadvantage una relación de seno sobre coseno me darán raíz cuadrada de tres sobre tres, en realidad sólo necesito mirar en el primer cuadrante y en el tercer cuadrante, porque esos boy los cuadrantes donde una tangente es positiva.
Y realmente sólo necesito mirar ángulos cuyo seno o coseno tiene un cuadrado de tres. Del mismo modo, puedo Calcule algunos de los valores en el tercer cuadrante.
y vea que siete pi sobre seis funcionan. Pero cuatro pi sobre tres no. Entonces mi respuesta.
a la parte A incluye solo los dos valores, pi sobre seis y siete pi sobre seis. Ahora bien, si quiero.
encontrar todas las soluciones, no sólo aquellas en el intervalo de cero a dos pi, noté que puedo.
tomar una de estas soluciones principales, y agregarle múltiplos de dos pi, porque eso me.
dará el mismo ángulo. Entonces entiendo pi sobre seis más dos pi k, y pi sobre seis, lo siento, siete.
pi sobre seis más dos pi, K, cualquier número entero. Esta es una respuesta correcta. Pero no es tan.
basic como podría ser. Observe que siete pi más de seis aquí en el círculo unitario es exactamente.
pi más que pi sobre seis. Así que en lugar de tomar Con ambos y sumándoles múltiplos de dos pi,.
podría obtener todas las mismas respuestas simplemente tomando uno de ellos y sumándole múltiplos.
de pi.Entonces una

respuesta más eficiente es decir que x es igual a pi partido por seis, más pi multiplicado.
por k, para K cualquier número entero. esto todavía capturar todas las mismas soluciones. Porque cuando k.
sea par, obtendré estas soluciones familiares. Y cuando k sea impar, me quedaré con esta familia. Por.
ejemplo, cuando k es uno, pi sobre seis más uno multiplicado por pi es solo el siete pi initial sobre.
seis. Si piensas en el hecho de que la tangente tiene un período de pi, en lugar de dos.
pi, tiene mucho sentido que puedas para escribir las soluciones en esta forma.En este video,

.
resolvimos ecuaciones trigonométricas básicas primero aislar el seno, o la tangente, o lo mismo funcionaría.
Y luego usando el círculo unitario, para encontrar soluciones principales. Y luego sumando múltiplos de dos.
pi a estas soluciones principales para obtener todas las soluciones. Para la tangente,.
notamos que period equivalente a usar solo un major solución y sumar múltiplos de pi en lugar de.
dos pi.En este vídeo, presentaremos el Idea de la derivada mediante gráficas, rectas secantes.
y rectas tangentes. Entonces tengo una función aquí, dibujada en negro,.
la función es y es igual a f de x. Pero en realidad aquí f de x es igual a x al cuadrado. También tengo.
una línea tangente a mi función dibujada en rojo. Esta anus tangente es la recta tangente en el punto.
1,5 2,25. Por anus tangente quiero decir una línea que toca la gráfica de mi función.
en este punto y se dirige en el mismo dirección como función. Bueno, normalmente para.
calcular la pendiente necesitamos dos puntos. Pero para la recta tangente, en realidad sólo tenemos.
las coordenadas exactas de este punto, Podría aproximar la pendiente adivinando las coordenadas.
Pero a largo plazo, terminaremos trick una
. Una anus secante es una recta que pasa por dos.
Entonces, en este caso, mi La recta secante pasa por mi punto original y este.
otro punto en x es igual a tres. Entonces ese es el punto tres, tres al cuadrado o tres nueve. Bien, aquí está mi recta secante. Calcular Para calcular la pendiente de mi recta secante, utilizo el hecho de.
O en otras palabras, es el cambio en y sobre el cambio en x. Y eso va a estar escrito en función. F de tres menos f de 1,5 me da.
el cambio en y y tres menos un punto me da el cambio en x.La f de x de Wilson.
es x al cuadrado, esto es lo mismo que tres al cuadrado menos 1,5 al cuadrado sobre tres menos.
1,5. Así que son sólo nueve menos 2,25, más 1,5, que termina en 4,5. Entonces 4,5 es la pendiente.
de esta segunda recta. Bueno, la concept aquí es que la pendiente de mi recta secante es una aproximación de.
la pendiente de mi recta tangente. Pero en esto Por ejemplo, en realidad la recta secante que he usado,.
su pendiente es sólo una aproximación muy aproximada. aproximación de la recta tangente, no muy precisa, todas. Entonces, ¿ cómo podría conseguir una mejor aproximación de la pendiente de mi recta tangente? Bueno, una cosa que podría hacer es usar Como segundo punto, en lugar de usar este punto.
aquí, podría usar un punto más cercano. a mi guide punto. Entonces, por ejemplo, podría.
usar el punto dos, f de dos. En otras palabras, el punto dos, cuatro, como mi segundo punto para mi.
Y debería terminar disadvantage aproximaciones cada. Y después de. Si tomamos mi segundo punto como 1,51, eso me dará.
una pendiente de 3,01, y así sucesivamente. Para escribir esto de manera más general, si tomo mi.
segundo punto como x, entonces la pendiente de mi secante La línea estará dada nuevamente por el aumento.
Cambio en. Ahora bien, no hay ninguna razón por la que necesariamente.
tenga que tomar mi segundo punto para estar a la derecha. lado de mi primer punto, podría estar usando puntos.
fijos en el lado izquierdo aquí. Continua con mi gráfico, dejando que mi segundo punto sea uno, puedo.
hacer los mismos cálculos para obtener una pendiente de una recta secante de 2,5. Aquí, podría acercarme.
aún más a la izquierda, decir algo como 1,4 y obtener una pendiente de 2,9, y así sucesivamente. En general, si tengo un punto x f de x, y yo usamos una recta secante que pasa por ese punto en nuestro.
punto original, calculo la pendiente como cambio en y sobre el cambio en x, que será f de.
1,5 menos f de x dividido por 1,5 menos X.De hecho, puedo reescribir esto un poco para.
que se parezca más a la expresión arriba aquí. Si multiplico el numerador y el denominador por.
menos uno, entonces puedo reescribir esto como f de x menos f de 1,5 dividido por x menos 1,5. Para.
que estas dos expresiones se vean exactamente lo mismo. Así que la única diferencia que tengo.
en mente es que aquí estaba pensando en x es un poco más grande que 1,5. Y aquí estoy.
pensando en x como un poco más pequeño. que 1,5. Pero obtengo exactamente la misma expresión para.
la pendiente de la recta secante en cualquier sentido. Ahora, este proceso de escoger puntos cada vez más.
cerca de nuestro punto original desde el izquierda y derecha deberían recordarle los límites. Y efectivamente, la pendiente de la tangente La recta es el límite cuando x llega a 1,5 de la.
pendiente de mis rectas secantes, que se dan por esta expresión. Esta cantidad es tan importante.
que recibe su propio nombre, se llama derivada de f de x en x es igual a 1,5. En otras.
palabras, la derivada que se escribe como f prima en 1,5, es el límite cuando x llega.
a 1,5 de f de x menos f de 1,5 sobre x menos 1.5.

Ahora, basándonos en nuestras tablas numéricas,.
por ejemplo, aquí, podemos ver que ese límite parece dirigirse hacia tres, ya sea que X se.
Entonces escribiré la respuesta de tres. De hecho, necesitaríamos.
usar álgebra para calcular este límite. Usando exactamente la fórmula de la función en.
sí, f de x es igual a x al cuadrado. Y bueno Haga ejemplos como ese en un video clip futuro. Pero por ahora,.
el punto principal es simplemente que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente de.
las rectas secantes, que viene dado por este fórmula. Por ahora, veamos una animación que muestra.
cómo la pendiente de nuestras rectas secantes acercarse a la pendiente de nuestra recta tangente. Entonces.
esta curva negra aquí es la función y es igual x al cuadrado. La línea roja es la tangente que.
pasa por el punto donde x es igual a 1,5. Y la recta azul es una recta secante que pasa por.
el punto con coordenada x 1,5.

Y un segundo punto disadvantage coordenada x 2.5. Los puntos se muestran.
aquí a la derecha. Entonces voy a usar este control deslizante aquí y arrastre mi segundo punto más.
cerca de mi primer punto. Así que observe cómo como la coordenada x, mi segundo punto se acerca cada vez.
más a 1,5. Mi recta secante se está poniendo Cada vez más cerca de mi línea tangente.Entonces la pendiente. de mi recta tangente realmente es el límite. de la pendiente de mis rectas secantes, ya que mi coordenada x. de mi segundo punto llega a 1,5. Entonces esto es cierto, incluso si empiezo con mi segundo punto a la izquierda. en lugar de a la derecha, mientras arrastro ese segundo punto cada vez más cerca del primer. punto, la pendiente de mis rectas
secantes se acerca cada vez más a la pendiente de esa recta. tangente roja. Vimos en nuestro ejemplo que la pendiente de nuestra recta tangente, o la derivada en. 1,5, estuvo dada por el límite cuando x va a 1,5 de f de x menos f de 1,5 dividido por x. menos 1,5. Bueno, en general, la derivada.
de una función

y es igual a f de x en un valor de x. a está dado por f prima de A es igual al límite cuando x va a a de f de x menos F de A sobre. x menos a, se dice que la función es diferenciable en A. Si este límite existe. En particular, tanto el límite. por la izquierda como un límite por la izquierda el derecho tiene que existir y ser igual para que. la función sea diferenciable en
x es igual a a.Existe otra versión equivalente de la definición. de derivada que es muy común. y muy útil. Si estamos mirando la gráfica de una. función, estoy tratando de calcular la pendiente de la recta secante entre los puntos. A, F de A y x f de x, luego introduzcamos la letra H es la cantidad x menos a. Entonces h. representa la carrera, cuando estoy calculando la pendiente de
esta recta secante, puedo escribir H. es igual a x menos a, o equivalentemente x es igual a más H.Y entonces puedo reescribir la

definición. de derivada en términos de H como f prima de A es igual al límite cuando x va a a de f de.
a más h menos F de A dividido por h, solo por sustituyendo en esta expresión x. Y h para.
x menos a. Bueno, cuando x va a a, x menos a va a cero. En otras palabras, h va a cero. Entonces esto es equivalente al límite cuando h llega a cero de f de a más h menos f.
de a sobre h. Una forma de pensar en esto es que simplemente estamos reetiquetando este punto aquí mismo,.
como el punto A más h, f de a más H.Y la pendiente de la recta tangente sigue siendo el límite de.
la elevación sobre la carrera a medida que la carrera va a cero, esta es la definición de derivada que.
usaremos trick más frecuencia en el futuro cuando realmente calculemos derivadas basadas en.
la definición en video clips futuros. Pero para ahora, veamos algunos ejemplos para practicar el.
reconocimiento de la derivada en lugar de calcular él. Entonces, se supone que cada una de estas dos expresiones.
Ambos boy equivalentes, pero se ven diferentes. Uno de ellos parece derivado.

de f de a más h menos f de a sobre h. Ahora, Puedes notar que nuestra primera expresión se.
parece más a esta primera definición, porque x va a algún número que no es cero. Y tenemos.
tanto x como un número en el denominador. aquí. Mientras que nuestra segunda expresión se.
parece más a la segunda definición, tenemos la edad va a cero, y aquí tenemos la edad.
en el denominador.Bueno entonces veamos este primero aquí. Primero, averigüemos. qué es A aquí.
Parece como tiene que ser negativo. Dado que x. se acerca a menos uno.
Ese tipo de tiene sentido, porque ahora aquí en el denominador, x. más uno podría considerarse como x menos uno negativo. Entonces esa es nuestra x menos a con. a es negativo uno.
Bien, excelente. Entonces tenemos a, ahora necesitamos encontrar una F. Y necesitaremos. que el numerador aquí se vea como f de x menos f de a, bueno, probemos lo más straightforward que podamos,.
probemos f de x es igual a x más cinco al cuadrado, entonces X más cinco al cuadrado es nuestra.
f de x.Y f de a es nuestra f de negativo va a ser menos uno más cinco al cuadrado, que es.
16. Entonces eso correspond perfectamente, tenemos nuestra f de x aquí, nuestra f de a aquí y nuestra.
x menos a en la parte substandard. Eso es exactamente la definición de derivada fue hecha por la primera. Muy bien, ahora el segundo. Ahora de nuevo, Necesitamos descubrir qué es a. Y necesitamos.
descubrir qué es f. Esta parte de Se supone que la expresión aquí es f de a más.
h. Así que voy a adivinar, hacer una suposición. aquí, que f de x debería ser tres elevado a alguna.
potencia, probemos con tres elevado a X y veremos cómo funciona eso. Ahora necesitamos que este nueve sea.
f de a. Entonces nueve tiene que ser tres para la A. Y la única forma en que eso puede funcionar es si a es.
dos. Entonces, continuando arriba, necesitamos f de a más h, es decir f de dos más h, dos B tres a los dos más H y eso realmente funciona.
perfectamente.Si nuestra f de x es de tres a la x, todo está encajando. Entonces tenemos. nuestra f de dos más h, r f de dos y r h. Y todo funciona donde f de x es tres elevado.
a x y a es dos. En este vídeo, nosotros introdujo la idea de derivada como pendiente de.
una recta tangente. Y dimos dos equivalentes. definiciones de la derivada en términos de límites. Continuaremos con algunas interpretaciones. de derivados en el siguiente vídeo. Este vídeo.
es algebraicamente intensivo y se refiere disadvantage el cálculo de derivadas utilizando la definición.
límite de derivada.Bueno, hay en realidad, dos versiones de la definición límite.
de derivada. Y usaré principalmente este, el límite cuando h llega a cero de f de a más.
h menos f de a sobre h. Si estás interesado, puedes intentar reelaborar los problemas usando.
la definición alternativa de derivada. El límite cuando x llega a a de f de x menos F de.
A sobre x menos un primer ejemplo, encuentre la derivada de f de x, que es uno partido por la raíz cuadrada.
de tres menos x en x es igual a menos uno. Bueno, en otras palabras, queremos encontrar f prima de.
menos uno. Entonces ese es el límite como h va a cero de f de menos uno más h menos f de menos.
uno sobre h.Usando nuestra definición de f, ese es el límite de uno sobre la raíz cuadrada.
de tres menos menos uno más h menos uno sobre la raíz cuadrada de tres menos menos uno,.
todo sobre h. Déjame limpiar esto un poco. Entonces esto es uno sobre la raíz cuadrada de, veamos,.
es tres menos menos uno, así que eso es tres más uno, o cuatro menos h menos uno partido.
por la raíz cuadrada de cuatro sobre h. Y supongo que puedo reemplazar la raíz cuadrada.
de cuatro por dos. Ahora, desafortunadamente, no puedo simplemente evaluar.
esto reemplazando H es igual a cero, porque si intento eso, obtengo una de estas formas indeterminadas.
de cero sobre cero. Te cruzarás Estos son muchos al calcular derivadas por.
definición, tiene sentido porque Recuerde el contexto en el que se calculan las pendientes de.
las rectas secantes a medida que estos puntos se acercan.Y más juntos. Entonces, nuestro ascenso y nuestras carreras. llegarán a cero.
Entonces tiene sentido, obtendremos estas formas cero o cero indeterminadas,.
tenemos que usar nuestros trucos algebraicos que aprendimos antes, para reescribir nuestra.
expresión de manera que podamos calcular el límite. Y veo que suceden dos cosas aquí:.
hay raíces cuadradas al acecho y hay también fracciones. Así que nadie sabe qué truco.
podría querer aplicar. Primero, el truco. para raíces cuadradas, lo que sería multiplicar.
la parte remarkable e substandard por el conjugado. Y el truco para fracciones, que sería sumar mi.
fracción para obtener el denominador común. Supongo que primero probaré mi truco de fracciones. Entonces mi denominador común para mis dos fracciones aquí, es sólo el producto de estos dos denominadores. Entonces.
esa es la raíz cuadrada de cuatro menos h. veces dos. Déjame reescribir mis fracciones con.
este denominador común.

Calcular Para calcular la pendiente de mi recta secante, utilizo el hecho de.
F de tres menos f de 1,5 me da.
Entonces, ¿ cómo podría conseguir una mejor aproximación de la pendiente de mi recta tangente? 1,5, estuvo dada por el límite cuando x va a 1,5 de f de x menos f de 1,5 dividido por x. menos 1,5. Entonces esto es equivalente al límite cuando h llega a cero de f de a más h menos f.
de a sobre h. Una forma de pensar en esto es que simplemente estamos reetiquetando este punto aquí mismo,.Continuando aquí, Obtengo el límite de dos menos la raíz cuadrada de
cuatro menos h sobre el cuadrado, cuatro menos h multiplicado por dos, en todo h. en lugar de dividir
por H, déjame multiplicar por uno sobre h.Y vamos vea aquí, veamos si podemos evaluar reemplazando
H es igual a cero en esta etapa. Desafortunadamente, cuando intento conectarme, todavía obtengo el cero
de cero en forma indeterminada. Pero yo no Se me acabaron los trucos, todavía no he usado el truco del conjugado. Así que intentemos multiplicar la parte superior. y la parte inferior por el conjugado de la parte exceptional. Una vez que multiplique aquí, obtendré cuatro más dos cuadrados elevados a cuatro menos h menos dos cuadrados
elevados a cuatro menos h, menos la raíz cuadrada de cuatro menos h al cuadrado, eso se cancelará
muy bien. Y abajo tengo dos. h al cuadrado de cuatro menos h por dos más cuadrado elevado
a cuatro menos h, lo dejaré factorizado por ahora. Eso es bueno, tengo espacio ilimitado
remarkable, y también tenga cero en la parte substandard, una de mis formas indeterminadas clásicas de cero sobre cero. Entonces, en lugar de eso, necesito usar álgebra para simplificar las cosas. Y espero poder calcular el límite.
después de eso.Entonces un buen truco para simplificar aquí es multiplicar dos más h. al cubo multiplicar a dos al cubo, más tres por dos al cuadrado por h, más tres por. dos por h al cuadrado más h al cubo. Soy Obtuve esto de la fórmula para multiplicar.
por cúbico que he memorizado. Pero tu También puede obtenerlo más lentamente simplemente escribiendo.
dos más h multiplicado por sí mismo tres veces y, y distribuyendo. Ahora necesito restar tres.
por dos y tres por h. Y finalmente, Necesitaba restar mis dos al cubo y luego sumar.
mis tres a todo esto sobre h. Ahora Si tienes mis términos cancelados a cero aquí, dos.
al cubo menos dos al cubo. Y veamos que tengo obtuvo menos tres por dos y más tres por.
dos.Y noto todos los términos que quedan tienen H, por lo que voy a factorizar.
una H desde arriba de los términos restantes aquí. Y eso me da, digamos, tres por dos al cuadrado,.
entonces eso es 12, más seis H, más h al cuadrado menos tres sobre h. Ahora, h dividido.
por h es uno. Así que me quedo con el límite cuando h llega a cero de 12 más seis h más h al.
cuadrado menos tres, cuando h llega a cero, I Puedo simplemente conectar H cero y obtengo 12 menos tres,.
que es nueve. Entonces mi pendiente de mi tangente línea, mi derivada es nueve. Aún no he terminado,.
todavía necesito encontrar la ecuación de la recta tangente, solo sé que su pendiente es nueve. Entonces la ecuación de la recta tangente La ecuación de cualquier recta es algo así como y es igual.
a mx más b.Y aquí m es nueve. Así que tengo es igual a 9x más b, sólo necesito encontrar la intersección.
B. Ahora, normalmente, para encontrar la intersección, Necesito un enchufe en un punto. ¿ Qué punto tengo.
aquí para enchufarme? Bueno, recuerda, estamos Estamos hablando de una línea tangente aquí. Entonces.
tenemos el punto de tangencia, el punto donde x es igual a dos, y el valor de y correspondiente.
es y es igual a dos al cubo menos tres por dos, o dos. Entonces mi línea tangente tiene que pasar por.
el punto dos, lo que significa que si conecto este punto para x e y, obtengo que dos es igual a nueve.
por dos más b, lo que significa que B tiene que igual a menos 16. Entonces la ecuación de mi recta tangente.
se convierte en y igual a 9x menos 16. descubrí que calculando primero la derivada para obtener.
mi pendiente y luego usando el punto de tangencia, ingresando el valiance de x para obtener el.
valor de y, e ingresando a Matt para obtener b para rematar la ecuación.Entonces, en este video clip,.
usamos nuestros trucos para evaluar límites algebraicamente para calcular algunas derivadas, utilizando la definición.
de derivada. Esto requiere bastante mano de obra. Afortunadamente, muy pronto aprenderemos algunos.
métodos abreviados para calcular derivadas. transgression recurrir a la definición. Hemos visto.
que la derivada de una función y es igual f de x en un punto, x es igual a A representa la pendiente.
de una recta tangente que pasa por el punto Una f de a.Pero si la función f de x representa alguna.
cantidad práctica, como la distancia como en función del tiempo, o la eficiencia del flammable.
en función de la velocidad, entonces la derivada será También tiene una interpretación práctica. Este video clip.
trata sobre la interpretación de la derivada. en diferentes contextos. Uno de los contextos más famosos para interpretar derivadas.
kid los problemas que implican movimiento. Entonces digamos que estoy en un paseo en bicicleta, yendo directamente.
al norte desde el school. Y supongamos que y es igual a f de x representa mi distancia del school. Entonces x es el tiempo y las horas y y o f de x es mi distancia y millas, la distancia desde.
el university. Distancia al norte del university. Es divertido ver lo que significa este gráfico en
. términos de mi paseo en bicicleta.En particular

, qué está pasando aquí arriba, donde mis valores.
de y alcanzan su máximo. ¿ Y qué pasa aquí? donde mi función es constante. Pausa el vídeo.
por un momento y mira si puedes. Invente una historia que se ajuste al gráfico. Entonces.
aquí en la cima, mi distancia ya no aumenta, en realidad está empezando a disminuir. Así que.
debí haberme dado la vuelta y regresar hacia school de nuevo, por aquí, donde mi f de x es constante,.
probablemente me detuve en una cafetería para descansar o tal vez estoy arreglando una llanta.
pinchada.Ahora vayamos a las preguntas que nos ocupan. Considere estos dos puntos, tres, f de tres y. cuatro F de cuatro, queremos interpretar el pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos. La pendiente es el cambio en y sobre el cambio en X. Y y aquí está la distancia y x aquí está el tiempo. Entonces,.
Suena muy parecido a la velocidad, o más exactamente, a la velocidad. Si la distancia.
aumenta y negativa si disminuye. La velocidad es el valor absoluto de la velocidad y siempre.
hay positivo o cero. Entonces en nuestro En este caso, la velocidad aquí debe ser negativa, porque.
nuestra distancia está disminuyendo. Y nosotros Podría estimarlo de manera muy aproximada como, digamos, cuatro.
menos 12 sobre cuatro menos tres, por lo que aproximadamente ocho millas negativas por hora. Pero, ¿ a qué se refieren.
estas ocho millas negativas por hora? a. Dado que estamos observando el cambio en la distancia,.
durante todo este intervalo de una hora, la pendiente de mi recta secante da mi velocidad promedio.
en este intervalo.No da mi exacto

velocidad, y exactamente tres horas o exactamente cuatro.
horas, solo mi velocidad promedio. Si yo Si quiero saber mi velocidad exacta exactamente.
a las tres horas, necesito mirar en su lugar la la pendiente de la recta tangente en x es igual a tres. La velocidad en un instante exacto de tiempo es A veces se le llama velocidad instantánea para.
distinguirla de la velocidad promedio. durante un intervalo de tiempo. Pensemos por un minuto.
por qué la velocidad a exactamente tres horas viene dada por la pendiente de la recta tangente. Vimos en un vídeo former que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente de.
las rectas secantes. Más precisamente, el límite cuando x va a tres de f de x menos f de tres sobre.
x menos tres. Vaya, bueno, cada uno de estos ratios representa una velocidad promedio en el intervalo.
de tres a x. Y entonces el límite es el límite de velocidades promedio en intervalos.
de tiempo cada vez más pequeños, un minuto, un segundo centésima de segundo, en el límite, a medida.
que la longitud del intervalo de tiempo llega a cero, vamos a obtener la velocidad exacta exactamente.
a las tres horas.Entonces, para repetir, en este Por ejemplo, la pendiente de la recta secante representa la velocidad.
promedio a lo largo del intervalo de tiempo, y la derivada en x es igual a tres, escrita f prima.
de tres, que también es la pendiente de la recta tangente, esa derivada representa la.
velocidad instantánea en x es igual a tres. De manera más general, si f de x representa cualquier cantidad.
que está cambiando, entonces la pendiente de la secante La línea representa una tasa de cambio promedio. Mientras.
que la pendiente de la recta tangente, f prima de a representa una tasa de cambio instantánea.Veamos.

cómo funciona eso en un par de otros. ejemplos. Supongamos que f de x representa la temperatura.
de una taza de café y los grados Fahrenheit en función del tiempo y de los minutos desde.
Entonces vamos Interpreta la primera ecuación. Bueno, eso sólo significa que en el momento cero, la temperatura es de 140 grados.
la ecuación f de 10 menos f de cero es negativa? 20. Es decir que la temperatura baja 20.
grados a medida que pasa el tiempo cero a 10 minutos. Ahora bien, ¿ qué pasa si este.
cociente es igual a menos dos? Bien, esto El cociente se parece mucho a la pendiente de una secante. Por.
qué, cierto, entonces debe ser una tasa promedio. de cambio. Y en este contexto, tenemos que la temperatura.
está disminuyendo en un promedio de dos grados por minuto, cuando x cambia de.
cero a 10 minutos. Finalmente, la derivada de f a 15 es punto cinco negativo significa que exactamente.
a los 15 minutos, la temperatura es disminuyendo a un ritmo de punto cinco grados por minuto. Los números negativos aquí siempre significan decreciente, y f prima es una tasa de cambio.
Pausa el vídeo y prueba este por ti mismo. Aquí g de x representa el combustible eficiencia de un Toyota Prius y mpg en función. La segunda afirmación dice.
que a medida que la velocidad aumenta de 35 a 45 millas por hora, la eficiencia del combustible.
aumenta en 10. Eso es 10 millas por galón. El La tercera afirmación dice que la tasa promedio de.
cambio. de eficiencia de combustible es de dos millas por galón por.
milla por hora, a medida que la velocidad aumenta de 35 a 40 millas por hora. Entonces, subir de 35 a 40.
le brinda una mejor eficiencia de combustible. aquí. Por otro lado, cuando vas a 60 millas.
por hora, tu eficiencia de flammable es disminuyendo a razón de dos millas por galón por milla.
por hora.Entonces apuesto al

combustible óptimo. La eficiencia aquí ocurre entre 40 y 60. millas por hora.
En este vídeo, hemos interpretó la pendiente de la recta secante como. En este video, pensaremos en la derivada.
la gráfica de una función disadvantage la gráfica de su derivada, y hablaremos de dónde la.
derivada no existe. Hemos visto que para una función f de x y un número A, la.
derivada de f de x en x es igual a A es dado por esta fórmula.Pero ¿ qué pasa si dejamos. que a muy, si calculamos f prima de muchos diferentes valores de a, podemos pensar que la. derivada de f prima es en sí misma una función, Voy a reescribir esta definición de derivada con. x en lugar de a sólo para que parezca un poco
más parecido a la notación de función estándar. Entonces f prima en función de x es el límite cuando h llega a cero de f de x más h menos. f de x sobre h. Esto no
es nada sustancial. diferente de lo que hemos estado haciendo stakes, es. solo una diferencia de perspectiva.Entonces Hagamos un ejemplo más de cómo calcular la.

derivada a mano usando la definición, pero un número basic x en lugar de un valiance específico,. la función que vamos a usar es f de x es igual a uno partido por x. Y primero, escribamos. la definición de derivada en general. Entonces f prima de x viene dada por esta fórmula. Y usando el hecho de que f de x es uno sobre x, puedo reescribir esto como uno sobre x más h menos. uno sobre x sobre h.Entonces, como siempre,
esta es una forma indeterminada de cero sobre cero. Si conecto cero para H, simplemente voy a obtenga uno sobre x menos uno sobre x en el numerador,. que es cero. y conectando cero para H me da cero en el denominador
dos. Entonces necesitaré. usar algo de álgebra para reescribir cosas.
para obtener un formulario A que pueda evaluar. Sumemos. nuestras fracciones en el numerador. aquí.
El denominador común que necesito usar es. x más h por x. entonces multiplico esta fracción por x sobre x y la siguiente fracción por x más. h sobre x más h. Todo eso se acabó h. Y ahora
continuando, obtengo x menos x más h sobre. x más h por X y en lugar de dividir el todo por h aquí, multiplíquelo por uno sobre h para. obtener el límite, tenga x menos
x menos h sobre x más h por x por h. Ahora puedo restar mis.

x aquí. Y después de hacer eso, puedo divide mi menos h por mi H, para obtener aquí solo un.
menos uno en el numerador. Entonces eso es solo el límite de menos uno sobre x más h multiplicado por.
x.Y ahora estoy en una buena posición porque Puedo sustituir H es igual a cero y obtener algo.
que tenga sentido. Es decir, tengo un límite de menos uno sobre x más cero por x o menos.
uno sobre x al cuadrado como mi derivada. En este ejemplo, se nos da la gráfica de.
una función que se supone representa la altura de una nave espacial extraterrestre sobre la superficie.
de la Tierra, queremos graficar la tasa de cambio. La tasa de cambio significa la derivada de nuestra.
función, pero no tenemos una ecuación. trabajar disadvantage. Entonces solo tendremos que estimar.
la derivada según la forma de la gráfica. pensando en las pendientes de las rectas tangentes. Comenzaré dibujando un nuevo conjunto de ejes donde Puedo graficar mi derivada.Y consideraré mi. función initial, a la que llamaré g de x, pieza por pieza. Para valores de x entre cero y dos, mi función. initial g de x parece una línea, tiene
pendiente menos uno, ya que la subida es menos dos, mientras. que la carrera es dos, para cualquier punto del segmento de recta, la recta tangente también. será una recta con pendiente negativa uno, y por lo tanto, la derivada será negativa. uno. Para valores de x entre cero y dos, voy a ignorar por el momento lo que sucede. cuando x es exactamente cero o exactamente dos, y simplemente mire el intervalo de valores de. X entre dos y tres.Aquí, g de x es completamente departamento.
Entonces las rectas tangentes en cualquiera de. Y sacaré una derivada de cero.
Y sólo piensa en. la derivada cuando x está entre tres y cinco, donde g de x vuelve a ser plano, por lo que. sus rectas tangentes tendrán pendientes cero.Y Dibujaré de nuevo, una derivada es cero cuando x está. entre tres y cinco. Ahora las cosas se ponen un poco más interesante. A medida que x aumenta de. cinco a aproximadamente siete, g de x es un valor creciente función. La pendiente de las rectas tangentes aquí es positiva. y comienza aproximadamente en, digamos, una pendiente
de tres, y disminuyendo a una pendiente de cero,. cuando x es siete, puedo dibujarlo aquí. A medida que x aumenta de siete, las rectas tangentes ahora. tienen pendientes negativas, llegando a un máximo pendiente negativa de aproximadamente menos uno aquí,. y luego dirigiéndose hacia una pendiente de cero, cuando x está apenas por debajo de 10. Mis estimaciones. de tres y menos uno para las pendientes de mi Las líneas tangentes boy solo
estimaciones aproximadas basadas en. la aproximación del aumento a lo largo del período. Como x aumenta desde 10
, la pendiente de la recta tangente. es positiva y se vuelve cada vez más pronunciada, entonces mi derivada será positiva y creciente. Esa es la forma básica del derivado. Ahora veamos qué sucede en estos. puntos especiales como 235 y cero. A Calcula la derivada en x es igual a dos,. volvamos a la definición de derivada.
Si dibujo una anus secante, usando un punto en a la izquierda, obtendré esta línea que se alinea. Pero si calculo la pendiente de una recta secante,. Y. entonces mi límite no existe y mi derivada no existe.
A continuación, vamos mira la derivada cuando x es igual a tres. Recuerde que la derivada en tres es la límite cuando h llega a cero, de g de tres más. Bueno, si H es mayor que cero, entonces g de tres más H. será aproximadamente la mitad, porque tres más H está a la derecha de tres.

número menor que tres, g de tres en sí es igual a la mitad, según la burbuja rellena.
aquí. entonces si calculamos el límite, cuando h tiende a cero desde el lado positivo,.
obtenemos el límite de un medio menos un medio sobre la edad, que es solo el límite de ceros,.
entonces eso es cero.Por otra parte

, si calculamos el límite desde la izquierda, obtenemos el límite.
de dos menos la mitad sobre ocho, que es el límite de tres mitades sobre h. Y cuando h tiende.
a cero, ese límite es infinito negativo. Una vez más, el límite izquierdo y el límite de escritura.
no son iguales. Y así el límite de las pistas.De las rectas secantes no existe y no hay derivada.
Y voy a dibuja un círculo abierto allí para sumar x es igual a cinco, nuevamente tenemos una esquina. Y por el mismo tipo de argumento, podemos concluir que la derivada no existe.
igual a cero, sólo podemos tener un límite desde la derecha, no desde la izquierda. Y por ese.
tipo de razón técnica, no tenemos una derivada en ese extremo izquierdo tampoco. Así que hemos.
dibujado un gráfico aproximado de la tasa de cambio. de la altura de nuestra nave espacial alienígena, a.
medida que se acerca a la Tierra, baja para recoger Terrícolas y luego nos hace escapar hasta.
la nave nodriza.

Considere estos dos puntos, tres, f de tres y. cuatro F de cuatro, queremos interpretar el pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos. Entonces f prima en función de x es el límite cuando h llega a cero de f de x más h menos. Y usando el hecho de que f de x es uno sobre x, puedo reescribir esto como uno sobre x más h menos. Recuerde que la derivada en tres es la límite cuando h llega a cero, de g de tres más. Bueno, si H es mayor que cero, entonces g de tres más H. será aproximadamente la mitad, porque tres más H está a la derecha de tres.Es interesante observar que el dominio de la función original g de
x es de cero al infinito, pero el dominio de g primo es algo más pequeño, y sólo va.
de cero a dos, luego de dos a tres, luego de tres a cinco, y finalmente, de cinco.
a infinito, faltando algunos lugares donde la función existía originalmente.Vimos.

en el ejemplo former que la derivada no necesariamente existe en todos los valores de.
x donde existe la función original. Pausa el vídeo por un momento e intenta encontrar.
tantas formas diferentes como puedas. se puede, que una derivada puede dejar de existir en un valor de x x es igual a a. Bueno, una forma aburrida.
en la que una función puede fallar tener una derivada en x es igual a A si f.
de x no existe. en x es igual a, para Por ejemplo, si tiene un agujero, como en esta imagen, que.
vimos en el ejemplo former, con el extraterrestre nave espacial, que una derivada puede dejar de.
existir cuando la función da un giro. Cuando Intentamos evaluar la derivada en ese ejemplo,.
tomando el límite de la pendiente. de las rectas secantes, el límite por la izquierda.
Para la función de valiance absoluto, f prima de x es. Una función. En el ejemplo de la nave extraterrestre,.
también vimos que F puede no tener una derivada en una discontinuidad. Pero hay otra forma en la que.
una derivada puede dejar de existir, incluso cuando f no tiene costo por discontinuidad de esquina. Veamos la función f de x es igual a x al 1/3 graficado aquí, lo que sucede en x es.
igual a cero. En ese instante, la tangente La línea es una vertical disadvantage una pendiente infinita o indefinida. Entonces el límite de las pendientes de las rectas secantes dejarán de existir porque.
serán infinitas. Una función se llama diferenciable.En x es igual a a, si

la derivada existe en una. función es diferenciable en un intervalo abierto, si f es diferenciable en cada punto de ese intervalo. Entonces todos los ejemplos en el Las diapositivas anteriores kid ejemplos de lugares. donde una función no es diferenciable.
Todos estos Los ejemplos boy importantes. Pero me voy a centrar. en el ejemplo de discontinuidad. En En basic, si f de x no es continua en x es. igual a, entonces f no es diferenciable en x es igual a.Esto es lo que vimos en el ejemplo.

de la discontinuidad del salto.
un equivalente manera de decir lo mismo es que f es diferenciable. en x es igual a a, entonces f tiene que ser continuo en x Las diapositivas anteriores boy ejemplos de lugares. donde una función no es diferenciable. Todos estos Los ejemplos kid importantes. Pero me voy a centrar. en el ejemplo de discontinuidad. En En general, si f de x no es continua en x es.
igual a, entonces f no es diferenciable en x es igual a. Esto es lo que vimos en el ejemplo.
de la discontinuidad del salto. un equivalente manera de decir lo mismo es que f es diferenciable.
en x es igual a a, entonces f tiene que ser continuo en x es igual a.Es igual a. Transgression stoppage, si todo lo que sabemos es que f es continua.
en x es igual a a, entonces no podemos concluir nada. acerca de si es o no diferenciable allí, f.
puede o no ser diferenciable en x igual a. Recuerde el ejemplo de la raíz cuadrada, la raíz cuadrada.
de x es continua en x es igual a cero, pero allí no se puede diferenciar por.
la esquina. En este vídeo relatamos el gráfica de una función a la gráfica de su derivada. Al.
pensar en las pendientes de las rectas tangentes, También analizamos varias formas en que una derivada puede.
dejar de existir en un punto y observamos que Si una función es diferenciable, tiene que ser.
continua. Este vídeo da una prueba de que Las funciones diferenciables boy continuas. Lo que.
queremos mostrar aquí es que si una función es derivable en un número x es igual a a, entonces.
es continua en x es igual a a.Déjame llame a la función f de x. Y voy a empezar.
escribiendo lo que significa para f de x para ser diferenciable en x es igual a a. Eso.
significa que el límite cuando x llega a a de f de x menos F de A sobre x menos a existe y.
es igual a este número finito que llamamos f prima Transgression embargo, si todo lo que sabemos es que f es continua.
En este vídeo relatamos el gráfica de una función a la gráfica de su derivada. Al. pensar en las pendientes de las rectas tangentes, También analizamos varias formas en que una derivada puede. Este vídeo da una prueba de que Las funciones diferenciables kid continuas.
escribiendo lo que significa para f de x para ser diferenciable en x es igual a a. Eso.
significa que el límite cuando x llega a a de f de x menos F de A sobre x menos a existe y. es igual a este número finito que llamamos
f prima de un. Ahora voy a multiplicar ambos lados de. esta ecuación. de un. Ahora voy a multiplicar ambos lados de. esta ecuación. por el límite cuando x va a a de x menos a. Ahora espera un segundo, antes de continuar. Continúe para asegurarse de que esto sea legítimo. ¿ Existe. realmente este límite? Bueno, sí,

porque el límite cuando x va a a de x existe, eso es solo a, y. el límite cuando x va a a de a existe, eso también es.
Entonces el límite de la diferencia tiene. Y en realidad, ese límite de la diferencia es la diferencia de los límites,.
Así que en realidad simplemente multipliqué ambos lados. por cero y una forma elegante.
Bueno, sí, porque el límite cuando x va a a de x existe, eso es solo a, y. el límite cuando x va a a de a existe, eso también es.Entonces el límite de la diferencia tiene. Y en realidad, ese límite de la diferencia es la diferencia de los límites,. Porque tengo un producto de un límite de dos límites aquí, los cuales existen.
a este límite aquí. Bueno, dijimos esto El límite era simplemente cero. Entonces mi límite a la izquierda.
es igual a cero. de x menos a multiplicado por f de x menos F de A sobre.
x menos a. Y cancelando estas dos copias de x menos a, lo cual está bien cuando x está cerca.
de a, pero no cuando x es igual a a, lo entiendo el límite de f de x menos f de a es igual.
a este límite aquí. Bueno, dijimos esto El límite period simplemente cero. Entonces mi límite a la izquierda.
es igual a cero. Y ahora estoy tan cerca, me gustaría aplicar cinco la.
regla del límite a esta diferencia para romper hasta una diferencia de límites, pero no puedo hacerlo.
porque todavía no estoy seguro de que el límite, cuando x va a a de f de x existe,.
Y ese es el límite Y ahora estoy tan cerca, me gustaría aplicar cinco la.
regla del límite a esta diferencia para romper hasta una diferencia de límites, pero no puedo hacerlo.
porque todavía no estoy seguro de que el límite, cuando x va a a de f de x existe,.
eso es parte de lo que estoy tratando de probar en cuanto a continuidad. En lugar de eso,.
creo que voy a agregar a ambos lados un límite. que sí sé que existe. Y ese es el límite de f de a. de f de a. Ahora, sé que estos dos límites en el lado izquierdo.
existen, así que puedo usar el regla de límite sobre sumas para reescribir este límite. Ahora, sé que estos dos límites en el lado izquierdo.
existen, así que puedo usar el regla de límite sobre sumas para reescribir este límite.Ahora, en el lado izquierdo, puedo cancelar mis. copias de f de a, sea cual sea el número, y obtengo que el límite cuando x va a a de f. de x, que tiene que existir en el límite regla para los salmos que apliqué Ahora, en el lado izquierdo, puedo cancelar mis.
copias de f de a, sea cual sea el número, y obtengo que el límite cuando x va a a de f.
de x, que tiene que existir en el límite regla para los salmos que apliqué arriba. arriba. Eso limita su pasado para igualar el límite cuando.
x llega a a de f de a, bueno, f de a es solo algún número, no importa lo que esté haciendo.
X, f de a es solo f de a, sea lo que sea es. Entonces este límite a la derecha es simplemente.
f de a, y mira eso. Eso es exactamente lo que significa que para que una función sea continua en x.
es igual a a, el límite cuando x llega a a de f de x es igual a f de a.Entonces f es continua en x es igual.
a a, la prueba está completa. En este video, demostramos que si f es diferenciable en x.
igual a, entonces f es continua en x igual a. Este enunciado es equivalente a otro enunciado.
conocido en lógica como su contrapositivo, que dice que si f no es continua, en x es igual.
a a, entonces f no es diferenciable en x es igual a. En este video clip, aprenderemos algunas.
reglas para calcular derivadas, a saber, el papel del poder, y las derivadas de sumas, diferencias.
y múltiplos constantes.Estos Las reglas nos darán atajos para encontrar derivados rápidamente,. transgression necesidad de recurrir al antigua definición límite de derivada. En este. video, solo haremos declaraciones de las reglas. y algunos ejemplos, no habrá pruebas ni justificación. de por qué se aplican las reglas.
En cambio, Estas pruebas estarán en un video back separado. Comencemos. con algunos conceptos básicos. En primer lugar, si tenemos una constante C, tendremos la función. f de x igual a C. Entonces, si grafico eso, será simplemente una línea recta horizontal. Eso limita su pasado para igualar el límite cuando. x llega a a de f de a, bueno, f de a es solo algún número, no importa lo que esté haciendo. X, f de a es solo f de a, sea lo que sea es.Entonces este límite a la derecha es simplemente. f de a, y mira eso.
Eso es exactamente lo que significa que para que una función sea continua en x.
es igual a a, el límite cuando x llega a a de f de x es igual a f de a. Entonces f es continua en x es igual.
a a, la prueba está completa.En este video clip

, demostramos que si f es diferenciable en x.
igual a, entonces f es continua en x igual a. Este enunciado es equivalente a otro enunciado.
conocido en lógica como su contrapositivo, que dice que si f no es continua, en x es igual.
a a, entonces f no es diferenciable en x es igual a. En este video, aprenderemos algunas.
reglas para calcular derivadas, a saber, el papel del poder, y las derivadas de sumas, diferencias.
y múltiplos constantes. Estos Las reglas nos darán atajos para encontrar derivados rápidamente,.
wrong necesidad de recurrir al antigua definición límite de derivada. En este.
video, solo haremos declaraciones de las reglas. y algunos ejemplos, no habrá pruebas ni justificación.
de por qué se aplican las reglas. En cambio, Estas pruebas estarán en un video clip posterior separado. Comencemos.
con algunos conceptos básicos. En guide lugar, si tenemos una constante C, tendremos la función.
f de x igual a C. Entonces, si grafico eso, será simplemente una línea recta straight. Entonces la derivada Entonces la derivada df dx, debería ser cero, porque la pendiente.
de la recta tangente a esta recta es solo df dx, debería ser cero, porque la pendiente.
de la recta tangente a esta recta es solo cero.Cero.

Otro ejemplo sencillo es la derivada de la función.
f de x es igual a x. Entonces de nuevo, Si dibujo la gráfica, será simplemente una.
línea anus con pendiente uno. Y entonces la recta tangente a la recta también tendrá.
Y la derivada, f El primo de x tiene que ser siempre igual a uno. Estos dos ejemplos simples son realmente especiales.
reglas más útiles para calcular Otro ejemplo sencillo es la derivada de la función.
f de x es igual a x. Entonces de nuevo, Si dibujo la gráfica, será simplemente una.
línea recta con pendiente uno. Y entonces la recta tangente a la recta también tendrá.
Y la derivada, f El primo de x tiene que ser siempre igual a uno. Estos dos ejemplos simples boy realmente especiales.
reglas más útiles para calcular derivados.Derivados.

Entonces, la regla de la potencia dice que si tienes la.
función, y es igual a x elevado a n, donde n es cualquier número real, entonces puedes encontrar la derivada.
d y dx, simplemente sacando ese exponente y hacia abajo y multiplicarlo al frente y luego reducir.
el exponente por uno. Así por ejemplo, si quieres calcular la derivada de y es igual.
a x elevado al 15, D y dX aquí es solo va a ser 15 por x elevado a 15 menos uno, o 14. En el segundo ejemplo, f de x es igual a Es posible que la raíz cúbica de x no parezca inmediatamente.
un ejemplo en el que podamos aplicar la potencia. regla. Pero si lo reescribimos, poniendo la raíz cúbica.
en una relación exponencial como x elevada a la 1/3, ahora podemos aplicar la regla de la potencia, bajamos.
el 1/3, lo multiplicamos por delante y Entonces, la regla de la potencia dice que si tienes la.
función, y es igual a x elevado a n, donde n es cualquier número real, entonces puedes encontrar la derivada.
d y dx, simplemente sacando ese exponente y hacia abajo y multiplicarlo al frente y luego reducir.
el exponente por uno.Así por ejemplo, si quieres calcular la derivada de y es igual.
a x elevado al 15, D y dX aquí es solo va a ser 15 por x elevado a 15 menos uno, o 14. En el segundo ejemplo, f de x es igual a Es posible que la raíz cúbica de x no parezca inmediatamente.
un ejemplo en el que podamos aplicar la potencia. regla. Pero si lo reescribimos, poniendo la raíz cúbica.
en una relación exponencial como x elevada a la 1/3, ahora podemos aplicar la regla de la potencia, bajamos.
el 1/3, lo multiplicamos por delante y reducir el reducir el exponente de 1/3 por uno, o 1/3 menos uno es menos.
dos tercios. Entonces encontramos la derivada aquí usando la regla de la potencia, podríamos reescribirla.
si queremos usar reglas de exponentes, como uno sobre 3x a los dos tercios, cualquiera de los dos responde.
bien. exponente de 1/3 por uno, o 1/3 menos uno es menos.
dos tercios. Entonces encontramos la derivada aquí usando la regla de la potencia, podríamos reescribirla.
si queremos usar reglas de exponentes, como uno sobre 3x a los dos tercios, cualquiera de los dos responde.
bien. En el tercer ejemplo, g de x es uno partido por x elevado.
De nuevo, necesitamos hacer un poco reescribir stakes de que podamos aplicar la regla de la potencia. Así que voy a reescribir g de x como x a la menos 3,7.
puedo encontrar dg dx bajando el negativo 3,7 multiplicando al frente, y ahora tengo que reducir.
menos 3.7 por uno, así que resto uno que me da x elevado a 4.7. Nuevamente, puedo reescribir.
esto si lo deseo como negativo 3.7 sobre x al 4.7. Es importante notar que en.
todos estos ejemplos y de hecho, en En cualquier ejemplo donde se aplica la regla de la.
potencia, la variable x está en la base. y el exponente es solo una constante, solo un número real.La.

regla múltiple constante dice que si c es solo un número genuine constante, y f es una función diferenciable,.
entonces la derivada de C por f de x es simplemente c multiplicado por la derivada de.
f de x. En otras palabras, cuando tomamos la derivada, podemos simplemente sacar una constante fuera del.
signo de la derivada. Usemos esta regla en un ejemplo. Si queremos tomar la derivada.
de 5x al cubo, es lo mismo que cinco veces la derivada de x al cubo. Y ahora, usando la regla.
de la potencia, podemos reducir los tres. y obtenemos 15x al cuadrado. f y g son funciones diferenciables,.
entonces la derivada de f de x más g de x es la derivada de f más la derivada de g. De manera similar, por diferencia, si f y g kid funciones diferenciables, entonces la derivada.
Para encontrar y dx, podemos usar la. Ahora, usando la regla del múltiplo.
aquí, de manera similar, para el próximo término, cinco por dos por x a uno, cuatro por la.
derivada de x, que es solo uno, y la derivada de una constante dos es simplemente cero. Simplificando,.
obtenemos 21x al cuadrado menos 10x más cuatro, y observe que la derivada del.
polinomio initial es simplemente otro polinomio de un grado menos. En este video, usamos.
algunos atajos para calcular las derivadas. de diversas funciones, especialmente polinomios. Si estás interesado en ver dónde están provienen las reglas, cómo se derivan de la.
definición límite de derivada, luego mira Para otro video próximamente sobre pruebas.Este video trata. sobre identidades que involucran funciones trigonométricas. como seno y coseno. Pero quiero comenzar con algunos. ejemplos que simplemente involucran En el tercer ejemplo, g de x es uno partido por x elevado. a 3,7. De nuevo, necesitamos hacer un poco reescribir stakes de que podamos aplicar la regla de la potencia. Así que voy a reescribir g de x como x a la menos 3,7. Usando reglas de exponentes, ahora.
puedo encontrar dg dx bajando el negativo 3,7 multiplicando al frente, y ahora tengo que reducir.
menos 3.7 por uno, así que resto uno que me da x elevado a 4.7.

Nuevamente, puedo reescribir.
esto si lo deseo como negativo 3.7 sobre x al 4.7. Es importante notar que en.
todos estos ejemplos y de hecho, en En cualquier ejemplo donde se aplica la regla de la.
potencia, la variable x está en la base. y el exponente es solo una constante, solo un número actual. La.
regla múltiple constante dice que si c es solo un número actual constante, y f es una función diferenciable,.
entonces la derivada de C por f de x es simplemente c multiplicado por la derivada de.
f de x. En otras palabras, cuando tomamos la derivada, podemos simplemente sacar una constante fuera del.
signo de la derivada. Usemos esta regla en un ejemplo. Si queremos tomar la derivada.
de 5x al cubo, es lo mismo que cinco veces la derivada de x al cubo. Y ahora, usando la regla.
de la potencia, podemos reducir los tres.Y obtenemos 15x al cuadrado. f y g boy funciones diferenciables,.
entonces la derivada de f de x más g de x es la derivada de f más la derivada de g.

Entonces el límite de las pendientes de las rectas secantes dejarán de existir porque.
Bueno, sí, porque el límite cuando x va a a de x existe, eso es solo a, y. el límite cuando x va a a de a existe, eso también es.Entonces el límite de la diferencia tiene. Y ese es el límite de f de a. de f de a. Ahora, sé que estos dos límites en el lado izquierdo.
De nuevo, necesitamos hacer un poco reescribir stakes de que podamos aplicar la regla de la potencia. De nuevo, necesitamos hacer un poco reescribir antes de que podamos aplicar la regla de la potencia.De manera similar, por diferencia, si f y g son funciones diferenciables, entonces la derivada
de la diferencia es solo la diferencia de los derivados. Ahora usemos todas estas reglas
juntas para calcular la derivada de este polinomio. Para encontrar y dx, podemos usar la
A continuación, vamos Mira esta ecuación más complicada. Voy a. intentar resolver eso para x multiplicando por el lado derecho.
A continuación, nuestros términos. combinados en el lado derecho. entonces eso da me x al cuadrado menos 6x en ambos lados, bueno, x. al cuadrado menos 6x es igual a x al cuadrado menos 6x.
Eso es cierto sin importar lo que conecte para x y,. La segunda ecuación se llama identidad porque es válida para todos. La primera ecuación, por otro lado no es una identidad, porque sólo.
Pausa el vídeo por un momento. Dos por el seno de cero también es cero. Sin stoppage cuando x es decir pi sobre dos, luego seno de dos por.

pi sobre dos, eso es dos por uno, o dos, y cero no es igual a dos. Entonces la ecuación no.
es válida para x es igual a pi funciones cuadráticas. Si quiero encontrar las soluciones.
a esta ecuación, puedo reescribir si x al cuadrado menos 6x menos siete es igual a cero,.
factorízalo, x menos siete por x más uno es igual a cero, establezca los factores en 0x menos siete.
es igual a cero, o x más uno es igual a cero.Y eso me da las soluciones, x es igual a siete.
o x es igual a menos uno. A continuación, vamos Mira esta ecuación más complicada. Voy a.
intentar resolver eso para x multiplicando por el lado derecho. A continuación, nuestros términos.
combinados en el lado derecho. entonces eso da me x al cuadrado menos 6x en ambos lados, bueno, x.
al cuadrado menos 6x es igual a x al cuadrado menos 6x. Eso es cierto sin importar lo que conecte para x y,.
por lo tanto, todos los valores de x satisfacen esta ecuación, podemos decir que el conjunto solución.
boy todos números reales. La segunda ecuación se llama identidad porque es válida para todos.
los valores de la variable. La primera ecuación, por otro lado no es una identidad, porque sólo.
es válida para algunos valores de x y no todos los valores.Pausa el vídeo

por un momento. e intenta decidir cuál de los siguientes tres ecuaciones o identidades, es decir, ¿ cuál de estas.
ecuaciones es válida para todos los valores de la variable. Para comenzar, es posible que desees.
probarlos ingresando algunos valores del variable y ver si la ecuación se cumple. La primera.
ecuación no es una identidad. Lo hace se mantiene para algunos valores de x. Por ejemplo, si.
x es igual a cero, entonces seno de dos por cero es cero. Dos por el seno de cero también es cero. Entonces.
se cumple cuando x es cero. Sin stoppage cuando x es decir pi sobre dos, luego seno de dos por.
pi sobre dos, eso es lo mismo que seno de pi, que es cero, pero dos por el seno de.
pi sobre dos, eso es dos por uno, o dos, y cero no es igual a dos. Entonces la ecuación no.
es válida para x es igual a pi sobre dos. sobre dos. Como no es válido para todos los valores de la.
variable, no es una identidad.El segundo la ecuación es una identidad. Puede generar alguna. evidencia de esto ingresando números. Por ejemplo, el coseno de cero más pi, que. es negativo uno, es lo mismo que negativo del coseno de cero. También puedes comprobar, por ejemplo,.
que el coseno de pi partido por seis más pi es lo mismo que el coseno negativo de pi partido por.
seis. Pero incluso si comprobamos un millón de ejemplos, eso es solo evidencia, no es una prueba de que la.
identidad sea válida, podríamos haber obtenido suerte con los valores que elegimos, podemos construir.
evidencia un poco más sólida, mirando en los gráficos, voy a poner theta en el eje x en.
un gráfico circular, y es igual al coseno de theta más Como no es válido para todos los valores de la.
variable, no es una identidad. El segundo la ecuación es una identidad. Puede generar alguna.
evidencia de esto ingresando números.Por ejemplo, el coseno de cero más pi, que. es negativo uno, es lo mismo que negativo del coseno de cero. También puedes comprobar, por ejemplo,.
que el coseno de pi partido por seis más pi es lo mismo que el coseno negativo de pi partido por.
seis. Pero incluso si comprobamos un millón de ejemplos, eso es solo evidencia, no es una prueba de que la.
identidad sea válida, podríamos haber obtenido suerte con los valores que elegimos, podemos construir.
evidencia un poco más sólida, mirando en los gráficos, voy a poner theta en el eje x en.
un gráfico round, y es igual al coseno de theta más Pi, Pi, eso es como la gráfica del coseno desplazada.
hacia la izquierda por pi.Por otro lado, si grafico y es igual al coseno theta negativo,.
esa es la gráfica del coseno theta, reflejada a través del eje x, lo que nos da exactamente el mismo.
gráfico. Entonces graficar ambos lados nos da Una fuerte evidencia de que esta ecuación es una identidad es.
válida para todos los valores de theta. Ahora el La evidencia más fuerte de todas sería una prueba algebraica,.
que haremos más adelante en el curso, una vez que tenemos una fórmula para el coseno de la.
suma de dos ángulos. eso es como la gráfica del coseno desplazada.
hacia la izquierda por pi.Por otro lado, si grafico y es igual al coseno theta negativo,.
esa es la gráfica del coseno theta, reflejada a través del eje x, lo que nos da exactamente el mismo.
gráfico. Entonces graficar ambos lados nos da Una fuerte evidencia de que esta ecuación es una identidad es.
válida para todos los valores de theta. Ahora el La evidencia más fuerte de todas sería una prueba algebraica,.
que haremos más adelante en el curso, una vez que tenemos una fórmula para el coseno de la.
Y podríamos construir evidencia de ello nuevamente reemplazando.
los valores de x, o graficando el lado izquierdo y el lado derecho por separado, y comprobando.
que las gráficas coincidieran. Pero para En este ejemplo, voy a seguir adelante y hacer una.
verificación algebraica. Mientras tanto, veamos la ecuación C. Resulta.
que la ecuación C es una identidad. Y podríamos construir evidencia de ello nuevamente reemplazando.
los valores de x, o graficando el lado izquierdo y el lado derecho por separado, y comprobando.
que las gráficas coincidieran. Pero para En este ejemplo, voy a seguir adelante y hacer una.
verificación algebraica. En particular, comenzaré con el lado izquierdo.
de la ecuación y reescribiré las cosas y reescribir cosas hasta llegar al lado correcto.
de la ecuación. Lo primero que haré volver a escribir En certain, comenzaré con el lado izquierdo.
de la ecuación y reescribiré las cosas y reescribir cosas hasta llegar al lado correcto.
de la ecuación. Lo primero que haré volver a escribir es secante y tangente en términos de sus funciones constituyentes,.
seno y coseno.Desde secante

de x es uno sobre el coseno x, y la tangente de x es el.
seno x sobre el coseno x, puedo reescribir esta expresión como uno sobre el coseno x menos el seno x por el seno.
x sobre el coseno x. Puedo limpiar esas fracciones y escribe esto como uno sobre coseno x menos seno.
al cuadrado x sobre coseno x. Ahora me di cuenta que tengo dos fracciones disadvantage el mismo denominador. Entonces.
puedo juntarlos como uno menos el seno. x al cuadrado sobre coseno x. A continuación, voy a reescribir.
el numerador uno menos el seno al cuadrado.X usando la identidad pitagórica que dice que coseno.
al cuadrado x más seno al cuadrado x es igual a uno, y por lo tanto, uno menos el seno al cuadrado.
de x es igual al coseno al cuadrado de x justo restando el seno al cuadrado x de ambos lados. Entonces.
puedo reemplazar mi numerador, uno menos el seno. x al cuadrado disadvantage coseno al cuadrado x. Y cancelando.
un coseno desde arriba y desde abajo, eso es lo mismo que el coseno de x, que es.
el lado derecho que estaba tratando de llegar a. Entonces, una combinación de un montón de álgebra.
y la identidad pitagórica me permite demostrar que esta ecuación es cierta para todos los valores.
de x, es secante y tangente en términos de sus funciones constituyentes,.
seno y coseno.Desde secante

de x es uno sobre el coseno x, y la tangente de x es el.
seno x sobre el coseno x, puedo reescribir esta expresión como uno sobre el coseno x menos el seno x por el seno.
x sobre el coseno x. Puedo limpiar esas fracciones y escribe esto como uno sobre coseno x menos seno.
al cuadrado x sobre coseno x. Ahora me di cuenta que tengo dos fracciones disadvantage el mismo denominador. Entonces.
puedo juntarlos como uno menos el seno. x al cuadrado sobre coseno x. A continuación, voy a reescribir.
el numerador uno menos el seno al cuadrado. x usando la identidad pitagórica que dice que coseno.
al cuadrado x más seno al cuadrado x es igual a uno, y por lo tanto, uno menos el seno al cuadrado.
de x es igual al coseno al cuadrado de x justo restando el seno al cuadrado x de ambos lados.Entonces.

puedo reemplazar mi numerador, uno menos el seno. x al cuadrado disadvantage coseno al cuadrado x. Y cancelando.
un coseno desde arriba y desde abajo, eso es lo mismo que el coseno de x, que es.
el lado derecho que estaba tratando de llegar a. Entonces, una combinación de un montón de álgebra.
y la identidad pitagórica me permite demostrar que esta ecuación es cierta para todos los valores.
de x, es una identidad.La mejor manera de demostrar que una. ecuación es una identidad. es una identidad. La mejor manera de demostrar que una. ecuación es una identidad. es usar álgebra y usar otras identidades, como la. identidad pitagórica, para reescribir una lado de la ecuación hasta que parezca el otro. lado. La mejor manera de probar la red. La ecuación no es una identidad es reemplazar. números que rompan la identidad.
El. El segundo dice tan cuadrado theta plus uno es igual a theta cuadrada secante. Y el tercero.
que el coseno cuadrado theta más El seno theta cuadrado es igual a uno. Haré esto dibujando.
el círculo unitario disadvantage un triángulo rectángulo. dentro de él por la definición de seno y coseno, las.
coordenadas x&& y de este punto superior, r coseno theta y sine theta, los socios altos, mi triángulo.
es uno, ya que ese es el radio de mi círculo unitario.Ahora la longitud de la base.
de mi triángulo es la misma que la x. coordenada de este punto. Entonces eso es igual.
al coseno theta. La altura de este triángulo. es lo mismo que la coordenada y de este punto. Entonces eso es seno theta. Ahora Pitágoras teorema para triángulos rectángulos, dice la longitud de este.
lado al cuadrado más la longitud del lado al cuadrado es igual al hipotenar al cuadrado. Entonces, por.
el teorema de Pitágoras, tenemos que el coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado es igual.
a uno al cuadrado, puedo reescribirlo como coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado es igual.
a uno, ya que uno al cuadrado es uno, y coseno theta al cuadrado es solo una notación abreviada.
para el coseno theta al cuadrado.Eso completa el prueba de la primera identidad pitagórica, al. menos en el caso en que el ángulo theta es en el guide cuadrante. En el caso de que el ángulo. estuviera en un cuadrante diferente, puedes Utilice la simetría para argumentar que se cumple la misma. identidad. Pero no daré los detalles aquí.
Probar la siguiente identidad pitagórica, tan theta al cuadrado. más uno es igual a theta al cuadrado secante, usemos el primero transgression tu identidad, que decía. que coseno theta cuadrado más El seno theta cuadrado es igual a uno, voy a dividir. ambos lados de esta ecuación por el coseno theta al cuadrado.
Ahora voy a reescribir el. lado izquierdo dividiendo la fracción en coseno theta al cuadrado sobre coseno theta al cuadrado más. seno theta al cuadrado sobre coseno al cuadrado theta. Ahora el coseno theta al cuadrado sobre el coseno. theta al cuadrado es solo uno.
Y puedo reescribir la siguiente fracción como seno de theta sobre coseno. de theta al cuadrado.Eso es porque cuando cuadrado una fracción, puedo simplemente elevar al cuadrado el numerador. y elevar al cuadrado el denominador. y seno al cuadrado theta es la abreviatura de seno de cuadrados theta. De manera. similar, para el coseno theta cuadrado. Ahora en En el otro lado del signo igual, puedo reescribir esta. fracción como uno sobre coseno theta al cuadrado.
Nuevamente, eso se debe a que cuando elevo la fracción al cuadrado,. Una vez más, comenzaré disadvantage la identidad es usar álgebra y usar otras identidades, como la. La mejor manera de probar la red.
La ecuación no es una identidad es reemplazar. números que rompan la identidad.
eso es hacer la ecuación no es cierta. Ahora, si solo estás. tratando de decidir si una
ecuación tiene identidad o no, y no me preocupa probarlo, entonces. recomiendo ingresar números o graficar los lados izquierdo y derecho para ver si esos gráficos. child iguales. Recuerde que una identidad
es una ecuación que se cumple para todos los valores. de la variable.
Este vídeo afirma y prueba tres identidades llamadas identidades pitagóricas. El. primero es el conocido coseno al cuadrado. theta más seno theta al cuadrado es igual a. uno. El segundo dice tan cuadrado theta plus uno es igual a theta cuadrada secante. Y el tercero. es cotangente theta al cuadrado más uno. es igual a cosecante theta cuadrada. Comencemos demostrando.
que el coseno cuadrado theta más El seno theta cuadrado es igual a uno.Haré esto

dibujando.
el círculo unitario con un triángulo rectángulo. dentro de él por la definición de seno y coseno, las.
coordenadas x&& y de este punto remarkable, r coseno theta y sine theta, los socios altos, mi triángulo.
es uno, ya que ese es el radio de mi círculo unitario. Ahora la longitud de la base.
de mi triángulo es la misma que la x.Coordenada de este punto. Entonces eso es igual.
al coseno theta. La altura de este triángulo. es lo mismo que la coordenada y de este punto. Entonces eso es seno theta. Ahora Pitágoras teorema para triángulos rectángulos, dice la longitud de este.
lado al cuadrado más la longitud del lado al cuadrado es igual al hipotenar al cuadrado. Entonces, por.
el teorema de Pitágoras, tenemos que el coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado es igual.
a uno al cuadrado, puedo reescribirlo como coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado es igual.
a uno, ya que uno al cuadrado es uno, y coseno theta al cuadrado es solo una notación abreviada.
para el coseno theta al cuadrado. Eso completa el prueba de la primera identidad pitagórica, al.
menos en el caso en que el ángulo theta es en el guide cuadrante.En el caso de que el ángulo.
estuviera en un cuadrante diferente, puedes Utilice la simetría para argumentar que se cumple la misma.
identidad. Pero no daré los detalles aquí. Probar la siguiente identidad pitagórica, tan theta al cuadrado.
más uno es igual a theta al cuadrado secante, usemos el primero transgression tu identidad, que decía.
que coseno theta cuadrado más El seno theta cuadrado es igual a uno, voy a dividir.
ambos lados de esta ecuación por el coseno theta al cuadrado. Ahora voy a reescribir el.
lado izquierdo dividiendo la fracción en coseno theta al cuadrado sobre coseno theta al cuadrado más.
seno theta al cuadrado sobre coseno al cuadrado theta. Ahora el coseno theta al cuadrado sobre el coseno.
theta al cuadrado es solo uno. Y puedo reescribir la siguiente fracción como seno de theta sobre coseno.
de theta al cuadrado. Eso es porque cuando cuadrado una fracción, puedo simplemente elevar al cuadrado el numerador.
y elevar al cuadrado el denominador. y seno al cuadrado theta es la abreviatura de seno de cuadrados theta.De manera

.
comparable, para el coseno theta cuadrado. Ahora en En el otro lado del signo igual, puedo reescribir esta.
fracción como uno sobre coseno theta al cuadrado. Nuevamente, eso se debe a que cuando elevo la fracción al cuadrado,.
Casi termino. Y uno sobre.
coseno theta es lo mismo que secante theta. Usando la notación abreviada, eso dice que.
uno más tan theta al cuadrado es igual al secuenciador datos, que, después de reordenarlos, child exactamente.
la identidad que estábamos buscando. El La prueba del tercero de esa identidad verde.
es muy comparable. Una vez más, comenzaré con la identidad coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado.
es igual a uno, y esta vez dividiré ambos lados por seno cuadrado theta. Dividiré la fracción.
de la izquierda. Y ahora lo reescribiré mis fracciones como coseno theta sobre seno theta al.
cuadrado más uno es igual a uno sobre seno theta al cuadrado.El coseno sobre el

seno se puede escribir como cotangente.
Eso me da la identidad que estoy buscando. Ahora hemos demostrado tres trigonometrías. El primero lo demostramos utilizando.
el círculo unitario y el teorema de Pitágoras. La segunda y tercera identidades, las probamos.
usando la primera identidad, y un poco de álgebra. Las fórmulas de suma y diferencia kid fórmulas.
para calcular el seno de una suma de dos ángulos, el coseno de la suma de dos ángulos,.
el seno de la diferencia de dos ángulos, y el coseno de una diferencia de dos ángulos.Por.

favor pausa el video por un momento para pensar.

Dos por el seno de cero también es cero. Dos por el seno de cero también es cero. Por ejemplo, el coseno de cero más pi, que. En el caso de que el ángulo. Ahora el coseno theta al cuadrado sobre el coseno.sobre esta pregunta. ¿ Es cierto que el seno
de A más B es igual al seno de A más el seno de B? No, eso no es verdad. Y podemos ver con
un ejemplo, si reemplazamos, digamos, A es igual pi sobre dos y B es igual a pi, que el seno
de pi sobre dos más pi, es lo mismo como un seno de tres pi partido por dos, que es menos uno. Mientras que el seno de pi sobre dos más el seno de pi es igual a uno más cero,
que es uno, menos uno no es igual a uno. Entonces esta ecuación no es válida para todos
los valores de a y b. Hay algunos valores de a y b para los cuales sí se cumple. Por ejemplo,
si a es cero y B es cero, pero no es Es cierto en basic; en cambio, necesitamos fórmulas
más complicadas. Resulta que el seno de la La suma de dos ángulos A más B está dada por el seno
de A, el coseno de B más el coseno de A, el seno de B.El coseno de A más B está dado por el coseno
A coseno B menos seno A seno Bay. me gusta recuérdalos con una canción, seno coseno coseno seno
coseno coseno menos seno seno. Por favor Siéntete libre de hacer una copia de seguridad del video clip
y cantar conmigo, te animo a que memorices los dos. fórmulas para el seno de a coseno theta al cuadrado más seno theta al cuadrado
es igual a uno, y esta vez dividiré ambos lados por seno cuadrado theta. Dividiré la fracción
de la izquierda. Y ahora lo reescribiré mis fracciones como coseno theta sobre seno theta al.
cuadrado más uno es igual a uno sobre seno theta al cuadrado. El coseno sobre el seno se puede escribir como cotangente.
y el uno sobre el seno se puede escribir como cotangente. como cosecante. Eso me da la identidad que estoy buscando. Ahora hemos demostrado tres trigonometrías. identidades. El primero lo demostramos utilizando.
el círculo unitario y el teorema de Pitágoras. La segunda y tercera identidades, las probamos.
usando la primera identidad, y un poco de álgebra. Las fórmulas de suma y diferencia son fórmulas.
para calcular el seno de una suma de dos ángulos, el coseno de la suma de dos ángulos,.
el seno de la diferencia de dos ángulos, y el coseno de una diferencia de dos ángulos.Por.

support pausa el video por un momento para pensar. sobre esta pregunta. ¿ Es cierto que el seno.
de A más B es igual al seno de A más el seno de B? No, eso no es verdad. Y podemos ver con.
un ejemplo, si reemplazamos, digamos, A es igual pi sobre dos y B es igual a pi, que el seno.
de pi sobre dos más pi, es lo mismo como un seno de tres pi partido por dos, que es menos uno. Mientras que el seno de pi sobre dos más el seno de pi es igual a uno más cero,.
que es uno, menos uno no es igual a uno. Entonces esta ecuación no es válida para todos.
los valores de a y b. Hay algunos valores de a y b para los cuales sí se cumple.Por ejemplo

,.
si a es cero y B es cero, pero no es Es cierto en basic; en cambio, necesitamos fórmulas.
más complicadas. Resulta que el seno de la La suma de dos ángulos A más B está dada por el seno.
de A, el coseno de B más el coseno de A, el seno de B. El coseno de A más B está dado por el coseno.
A coseno B menos seno A seno Bay. me gusta recuérdalos con una canción, seno coseno coseno seno.
coseno coseno menos seno seno. Por support Siéntete libre de hacer una copia de seguridad del video clip.
y cantar conmigo, te animo a que memorices los dos. fórmulas para el seno de a suma de ángulos y el coseno de una suma de ángulos. Una.
vez que lo hagas, será fácil calcular el seno. suma de ángulos y el coseno de una suma de ángulos. Una.
vez que lo hagas, será fácil calcular el seno. y coseno de una diferencia de dos ángulos. Una.
forma de hacer esto es pensar en el seno de y coseno de una diferencia de dos ángulos.Una.

forma de hacer esto es pensar en el seno de A menos B como seno de A más B negativo. Y luego usa la.
fórmula de la suma de ángulos. entonces esto funciona a seno coseno más coseno, seno. Y ahora,.
si uso el hecho de que el coseno es the same level, Sé que el coseno de B negativo es coseno de B. Y como el seno es impar, el seno de B negativo b es seno negativo de B. Entonces puedo reescribir.
esto como seno de A coseno de B menos coseno de A seno de B.Observe que esta nueva fórmula. para la diferencia es la misma que la fórmula porque la suma es solo ese signo más convertido.
en signo menos. Podemos hacer el mismo truco. para el coseno de A menos B, ese es el coseno de.
A más menos b, que es el coseno A coseno menos b menos seno de A seno de B negativo. Nuevamente, usando.
propiedades pares e impares, esto nos da coseno A coseno B más seno A seno B. Una vez.
más, la fórmula para la diferencia es casi exactamente igual que el de la canción, solo que el signo.
menos ha cambiado a un signo más.Ahora usemos la fórmula de la suma de ángulos.
para encontrar el valor exacto del signo de 105. grados. Ahora bien, 105 grados no es un ángulo especial.
en el círculo unitario, pero puedo escribir como la suma de dos ángulos especiales. Puedo escribirlo.
Por lo tanto, el seno de 105 grados es el seno de 60 más 45. Y ahora, por el ángulo, alguna fórmula, esto es seno, coseno, coseno, seno.
círculo unitario, puedo darme cuenta de que el seno de 60 grados es raíz de tres partido por dos.
coseno de 45 grados raíz de dos partido entre dos, coseno de 60 grados es la mitad y el seno de 45 grados es.
raíz de dos partido por dos.Entonces esto

simplifica raíz de seis más raíz de dos partido por cuatro. Para.
nuestro último ejemplo, encontremos el coseno de v más W, dados los valores del coseno v y el coseno.
W, y el hecho de que v y w boy ángulos en el primer cuadrante. Recuerde, para calcular el coseno.
de una suma, no podemos simplemente sumar los dos cosenos. Eso ni siquiera tendría sentido en.
este caso, porque sumando el punto nueve y el punto siete daría algo más grande que uno.
y el coseno de algo nunca es más grande de una. En su lugar, tenemos que usar la fórmula de suma.
de ángulos para el coseno. entonces eso va coseno de v más w es igual a coseno, coseno, menos.
seno, seno. Ahora ya sé el coseno de v y el coseno de W, así que podría simplemente.
Y una. Así que aquí voy a dibujar un triángulo rectángulo. Y luego u.s.a. la.
si uso el hecho de que el coseno es par, Sé que el coseno de B negativo es coseno de B. Y como el seno es impar, el seno de B negativo b es seno negativo de B. Entonces puedo reescribir.
esto como seno de A coseno de B menos coseno de A seno de B. Observe que esta nueva fórmula.
para la diferencia es la misma que la fórmula porque la suma es solo ese signo más convertido.
en signo menos. Podemos hacer el mismo truco. para el coseno de A menos B, ese es el coseno de.
A más menos b, que es el coseno A coseno menos b menos seno de A seno de B negativo.Nuevamente, usando.

propiedades pares e impares, esto nos da coseno A coseno B más seno A seno B. Una vez.
más, la fórmula para la diferencia es casi exactamente igual que el de la canción, solo que el signo.
menos ha cambiado a un signo más. Ahora vamos an Usa la fórmula de la suma de ángulos para encontrar.
el valiance exacto del signo de 105 grados. Ahora, 105 grados no es un ángulo personal en el círculo unitario,.
pero puedo escribirlo como la suma de dos ángulos especiales. Puedo escribirlo como 60 grados.
más 45 grados. Por tanto, el seno de 105 grados es el seno de 60 más 45. Y ahora, según alguna.
fórmula para el ángulo, esto es seno, coseno, coseno, seno. Y yo, para mi círculo unitario,.
puedo calcular que el seno de 60 grados es raíz de tres partido por dos coseno de 45 grados raíz de.
dos partido por dos, el coseno de 60 grados es uno la mitad y el seno de 45 grados es raíz de dos partido por dos. Entonces esto se simplifica a raíz de seis más raíz dos sobre cuatro.Para nuestro

último ejemplo, encontremos.
el coseno de v más W, dados los valores del coseno v y el coseno W, y el hecho de que v.
y w son ángulos en el guide cuadrante. Recuerde, para calcular el coseno de una suma,.
no podemos simplemente sumar los dos cosenos. Eso ni siquiera tendría sentido en este caso, porque.
sumar el punto nueve y el punto siete daría algo mayor que uno y el coseno.
de algo nunca es mayor que uno. En su lugar, tenemos que usar la fórmula de suma de ángulos.
para el coseno. Entonces eso es coseno de v más w es igual a coseno, coseno, menos seno,.
seno. Ahora ya conozco el coseno de v y el coseno de W, así que podría simplemente enchufarlos. Pero tengo que calcular el seno de v y el seno de W a partir de la información dada. Y una.
forma de hacerlo es dibujar triángulos rectángulos. Así que aquí voy a dibujar un triángulo rectángulo.
con ángulo V, y otro triángulo rectángulo con ángulo W.Como.

sé que el coseno de V es el punto nueve, Puedo pensar en eso como nueve sobre 10. y otro triángulo rectángulo disadvantage ángulo W. Como.
sé que el coseno de V es el punto nueve, Puedo pensar en eso como nueve sobre 10. Y puedo considerarlo adyacente sobre la hipotenusa en mi triángulo.
rectángulo. Así que decoraré mi triángulos lado adyacente disadvantage el número nueve y.
la hipotenusa con 10. De manera comparable, desde Sé que el coseno de W es el punto siete, que.
kid siete décimos, puedo ponerle un siete este lado adyacente, y un 10 en esta noticia del.
Ahora, el teorema de Pitágoras me permite Calcula la longitud del lado sin etiquetar. Entonces ésta será la raíz cuadrada.De 10 al cuadrado menos nueve al cuadrado, esa será.
Y aquí tengo la raíz cuadrada de 10 al cuadrado menos siete. al cuadrado.
Esa es la raíz cuadrada de 51. Ahora puedo encontrar el signo de V como opuesto a.
los hola socios.
la raíz cuadrada de 51 sobre 10.

Porque asumimos que v y w están en el guide cuadrante, sabemos.
que los valores de signo deben ser positivos, así que no necesitamos a Jimmy disadvantage signos positivos o negativos.
en nuestras respuestas, podemos simplemente déjalos como están. Y puedo considerarlo adyacente sobre la hipotenusa en mi triángulo.
rectángulo. Así que decoraré mi triángulos lado adyacente disadvantage el número nueve y.
la hipotenusa con 10. De manera similar, desde Sé que el coseno de W es el punto siete, que.
son siete décimos, puedo ponerle un siete este lado adyacente, y un 10 en esta noticia del.
iPod. Ahora, el teorema de Pitágoras me permite Calcula la longitud del lado sin etiquetar. Entonces ésta será la raíz cuadrada. de 10 al cuadrado menos nueve al cuadrado, esa será.
la raíz cuadrada de 19.

Y aquí tengo la raíz cuadrada de 10 al cuadrado menos siete.
Esa es la raíz cuadrada de 51. Ahora puedo encontrar el signo de V como opuesto a.
los hola socios.
la raíz cuadrada de 51 sobre 10. Porque asumimos que v y w están en el primer cuadrante, sabemos.
que los valores de signo deben ser positivos, así que no necesitamos a Jimmy disadvantage signos positivos o negativos.
en nuestras respuestas, podemos simplemente déjalos como están. Ahora estamos listos para conectarnos a nuestra fórmula. Entonces tenemos que el coseno de v más w es igual punto nueve por punto siete menos la raíz cuadrada.
de 19 partido por 10, multiplicado por el cuadrado raíz de 51 sobre 10.

Ahora estamos listos para conectarnos a nuestra fórmula. Entonces tenemos que el coseno de v más w es igual punto nueve por punto siete menos la raíz cuadrada.
de 19 partido por 10, multiplicado por el cuadrado raíz de 51 sobre 10. Usando una calculadora, esto da una aproximación.
decimal de 0,3187. Este vídeo dio la fórmulas de suma y diferencia de ángulos y utilizarlas.
para calcular algunos valores. Para ver una prueba Para saber por qué se cumplen las fórmulas de suma,.
Este video da fórmulas.Para seno de dos theta

y coseno de dos theta. Pausa el vídeo por un momento y mira. Recordar que verdadero significa siempre cierto para todos los valores.
Uno La forma de ver esto es gráficamente, si grafico. y es igual al seno de dos theta, es como el gráfica del seno theta, aplastada horizontalmente. por un factor de la mitad.
Por otro lado, si grafico y es igual a dos seno beta, es como. la gráfica del seno theta estirada verticalmente por un element de dos. Estos dos gráficos no son iguales. Entonces,. en lugar de eso, necesitamos una solución más complicada. Fórmula para el seno de dos theta. Y esa fórmula. es seno de dos theta es dos seno theta, coseno theta. No es difícil ver por qué esa fórmula funciona.
según el ángulo de alguna fórmula.Recordar que el seno

de A más B es igual al seno A coseno B. más coseno A signo Por lo tanto, seno de dos theta, que es seno de theta más theta.
será seno theta, coseno theta, más coseno theta seno theta. simplemente conectando.
theta para a y theta para B, en este ángulo, alguna fórmula, seno theta coseno theta.
es lo mismo que coseno theta seno theta. Entonces puedo reescribir esto como dos veces seno.
theta coseno theta. Eso me da esta fórmula. También hay una fórmula para el coseno de dos theta. Y esa fórmula es coseno cuadrado theta menos seno cuadrado theta.Nuevamente, podemos usar la fórmula. de la suma de ángulos para ver de dónde viene esto. de. coseno de A más B es igual al coseno de A.
coseno de B menos seno A, seno B. Entonces si queremos coseno de dos theta, eso es solo.

coseno de theta más theta, que es coseno theta, coseno theta, menos seno theta, seno.
theta conectando beta para a y b, esto se puede reescribir como coseno theta cuadrado menos.
seno theta cuadrado, que es exactamente la fórmula arriba. Ahora hay un the same level de fórmulas más para el.
coseno de dos theta que también kid populares. Uno de ellos es uno menos dos theta seno.
cuadrado. Y el otro es coseno de dos. theta es dos coseno theta al cuadrado menos uno, puedes.
obtener cada una de estas dos fórmulas de el original usando la identidad pitagórica. Sabemos.
que el coseno al cuadrado theta más el seno theta al cuadrado es uno. Entonces el coseno theta al cuadrado.
es uno menos el seno theta al cuadrado.Si me conecto

eso en mi fórmula initial, que he copiado aquí,.
así que estoy conectando, en lugar de coseno al cuadrado, voy a escribir uno menos.
seno theta al cuadrado, todavía tengo otro menos seno cuadrado theta. Entonces eso es lo mismo que.
uno menos dos datos de la cuadrícula científica, que es exactamente lo que estoy buscando. De manera similar,.
puedo usar la identidad pitagórica para escribir Seno theta cuadrado como uno menos coseno theta cuadrado. De nuevo, tomaré esta ecuación y cópielo a continuación. Pero esta vez, voy a sustituir.
el seno cuadrado aquí mismo. De modo que me da coseno de dos theta es coseno theta al cuadrado.
menos la cantidad uno menos coseno theta al cuadrado. Eso se simplifica a dos coseno theta.
cuadrado menos uno después de distribuir el signo negativo y combinando términos semejantes. Usando una calculadora, esto da una aproximación.
decimal de 0,3187.

Este vídeo dio la fórmulas de suma y diferencia de ángulos y utilizarlas.
para calcular algunos valores. Para ver una prueba Para saber por qué se cumplen las fórmulas de suma,.
mire mi otro video clip. Este video clip da fórmulas. para seno de dos theta y coseno de dos theta. Pausa el vídeo por un momento y mira. si crees que esta ecuación seno de dos theta es igual.
a dos seno theta es verdadera o falsa. Recordar que verdadero significa siempre cierto para todos los valores.
de theta fueron falsos significa que a veces child siempre falso. Esta ecuación es falsa porque no es.
cierta para todos los valores de theta. Uno La forma de ver esto es gráficamente, si grafico.
y es igual al seno de dos theta, es como el gráfica del seno theta, aplastada horizontalmente.
por un element de la mitad. Por otro lado, si grafico y es igual a dos seno beta, es como.
Fórmula para el seno de dos theta. Y esa fórmula.
es seno de dos theta es dos seno theta, coseno theta. No es difícil ver por qué esa fórmula funciona.
según el ángulo de alguna fórmula. Recordar que el seno de A más B es igual al seno A coseno B.
más coseno A signo Por lo tanto, seno de dos theta, que es seno de theta más theta.
será seno theta, coseno theta, más coseno theta seno theta.Simplemente conectando

. theta para a y theta para B, en este ángulo, alguna fórmula, seno theta coseno theta.
es lo mismo que coseno theta seno theta. Entonces puedo reescribir esto como dos veces seno.
theta coseno theta. Eso me da esta fórmula. También hay una fórmula para el coseno de dos theta. Y esa fórmula es coseno cuadrado theta menos seno cuadrado theta. Nuevamente, podemos usar la fórmula.
de la suma de ángulos para ver de dónde viene esto. de. coseno de A más B es igual al coseno de A.
coseno de B menos seno A, seno B. Entonces si queremos coseno de dos theta, eso es solo.
coseno de theta más theta, que es coseno theta, coseno theta, menos seno theta, seno.
theta conectando beta para a y b, esto se puede reescribir como coseno theta cuadrado menos.
seno theta cuadrado, que es exactamente la fórmula arriba. Ahora hay un par de fórmulas más para el.
Y el otro es coseno de dos.
obtener cada una de estas dos fórmulas de el initial usando la identidad pitagórica. Sabemos.
que el coseno al cuadrado theta más el seno theta al cuadrado es uno. Entonces el coseno theta al cuadrado.
es uno menos el seno theta al cuadrado. si me conecto eso en mi fórmula initial, que he copiado aquí,.
así que estoy conectando, en lugar de coseno al cuadrado, voy a escribir uno menos.
seno theta al cuadrado, todavía tengo otro menos seno cuadrado theta. Entonces eso es lo mismo que.
uno menos dos datos de la cuadrícula científica, que es exactamente lo que estoy buscando. De manera similar,.
puedo usar la identidad pitagórica para escribir Seno theta cuadrado como uno menos coseno theta cuadrado. De nuevo, tomaré esta ecuación y cópielo a continuación.Pero esta vez, voy a sustituir. el seno cuadrado aquí mismo.
De modo que me da coseno de dos theta es coseno theta al cuadrado. menos la cantidad uno menos coseno theta al cuadrado. Eso se simplifica a dos coseno theta. cuadrado menos uno después de distribuir el signo negativo y combinando términos semejantes. Entonces tengo una fórmula de doble ángulo para el. seno de dos theta. Y tengo tres versiones de la fórmula
del doble ángulo para el coseno de dos. theta. Entonces tengo una fórmula de doble ángulo para el. seno de dos theta. Y tengo tres versiones de la fórmula
del doble ángulo para el coseno de dos. theta. Ahora usemos estas fórmulas en algunos ejemplos. Encontremos. el coseno de dos theta.Si nosotros saber que el coseno theta es menos uno sobre raíz.

de 10 y theta termina en el cuadrante tres, podemos elegir entre tres fórmulas. para el coseno de dos theta, voy a elegir el segundo, porque solo involucra coseno si. estuvieran en el lado derecho. y ellos ya Conozca mi valor para el coseno theta. Por supuesto,. me vendría bien uno de los otros.

Ahora ya conozco el coseno de v y el coseno de W, así que podría simplemente enchufarlos. Pero tengo que calcular el seno de v y el seno de W a partir de la información dada. De modo que me da coseno de dos theta es coseno theta al cuadrado. Y tengo tres versiones de la fórmula
del doble ángulo para el coseno de dos. Y tengo tres versiones de la fórmula
del doble ángulo para el coseno de dos.Ahora usemos estas fórmulas en algunos ejemplos. Encontremos
pero luego tendría que calcular el valiance del seno theta. Entonces al conectarlo, obtengo el coseno de dos theta es dos veces menos uno sobre raíz de n. al cuadrado menos uno, lo que se simplifica a dos décimos menos uno o menos ocho décimos, menos. cuatro quintos.
Finalmente, resolvamos la ecuación dos coseno x más seno de 2x es igual a.
cero. ¿ Qué hace que esta ecuación sea complicada? es que una de las funciones trigonométricas tiene.
el argumento de solo x, pero la otra función de árbol tiene el argumento de 2x. Entonces quiero usar mi fórmula.
de doble ángulo para reescribir el seno de 2x.

Copiaré los dos cosenos x, y ahora el seno de.
2x es igual a dos seno x coseno x. En En este punto, veo una manera de factorizar mi ecuación,.
puedo factorizar dos cosenos x de ambos de estos dos términos. Eso me da uno más.
el seno x y el producto es igual a cero. Eso significa que dos coseno x es igual a cero.
uno más el seno x es igual a cero, que se simplifica al coseno x es igual a cero, o el.
seno x es menos uno. Usando mi círculo unitario, Veo que el coseno de x es cero en pi sobre dos.
y tres pi sobre dos, mientras que el seno de x es uno negativo en tres pi sobre dos, hay algo de redundancia.
aquí, pero mi conjunto de soluciones va a ser pi sobre dos más múltiplos de.
dos pi, y tres pi sobre dos más múltiplos de dos pi. Este video clip demuestra las fórmulas de los ángulos.
dobles, el seno de dos theta es dos seno theta coseno theta.Y el coseno de

dos theta es el coseno theta.
al cuadrado menos el seno theta al cuadrado. Él También demostró versiones alternativas de la ecuación.
del coseno de dos theta. Este vídeo presenta Derivadas de orden premium y notación. Hemos.
visto que f prima de x denota la derivada de la función f de x, pero f prima de x también es en.
sí misma una función. Entonces podemos tomar su derivada, que sería f prima prima de x,.
que generalmente se escribe como f doble prima de x. Esto se llama segunda derivada de.
f. Y significa la derivada de la derivada, También podemos hablar de la tercera derivada,.
f triple prima de x, que a veces podría escribirse f al tres de x si te cansas de escribir.
todos esos números primos, y nosotros Se puede hablar de la enésima derivada f, paréntesis.
n de x, los paréntesis aquí son importantes para demostrar que es la enésima derivada.Las.

derivadas segunda, tercera y enésima se refieren a un orden superior pero luego tendría que calcular el valor del seno theta. Entonces al conectarlo, obtengo el coseno de dos theta es dos veces menos uno sobre raíz de n.
al cuadrado menos uno, lo que se simplifica a dos décimos menos uno o menos ocho décimos, menos.
Finalmente, resolvamos la ecuación dos coseno x más seno de 2x es igual a.
cero. ¿ Qué hace que esta ecuación sea complicada?
el argumento de solo x, pero la otra función de árbol tiene el argumento de 2x. Entonces quiero usar mi fórmula.
de doble ángulo para reescribir el seno de 2x. Copiaré los dos cosenos x, y ahora el seno de.
2x es igual a dos seno x coseno x. En En este punto, veo una manera de factorizar mi ecuación,.
puedo factorizar dos cosenos x de ambos de estos dos términos. Eso me da uno más.
el seno x y el producto es igual a cero.Eso significa

que dos coseno x es igual a cero.
uno más el seno x es igual a cero, que se simplifica al coseno x es igual a cero, o el.
seno x es menos uno. Usando mi círculo unitario, Veo que el coseno de x es cero en pi sobre dos.
y tres pi sobre dos, mientras que el seno de x es uno negativo en tres pi sobre dos, hay algo de redundancia.
aquí, pero mi conjunto de soluciones va a ser pi sobre dos más múltiplos de.
dos pi, y tres pi sobre dos más múltiplos de dos pi. Este video demuestra las fórmulas de los ángulos.
dobles, el seno de dos theta es dos seno theta coseno theta. y el coseno de dos theta es el coseno theta.
al cuadrado menos el seno theta al cuadrado. Él También demostró versiones alternativas de la ecuación.
del coseno de dos theta.Este vídeo

presenta Derivadas de orden remarkable y notación. Hemos.
visto que f prima de x denota la derivada de la función f de x, pero f prima de x también es en.
sí misma una función. Entonces podemos tomar su derivada, que sería f prima prima de x,.
que generalmente se escribe como f doble prima de x. Esto se llama segunda derivada de.
f. Y significa la derivada de la derivada, También podemos hablar de la tercera derivada,.
f triple prima de x, que a veces podría escribirse f al tres de x si te cansas de escribir.
todos esos números primos, y nosotros Se puede hablar de la enésima derivada f, paréntesis.
n de x, los paréntesis aquí son importantes para demostrar que es la enésima derivada.Las.

derivadas segunda, tercera y enésima se refieren a un orden exceptional derivados. derivados. Hay muchas notaciones alternativas para los derivados.
derivadas de sus enrevesadas y polémicas historia en el siglo XVII. Existen algunas notaciones.
diferentes para las funciones mismas. Más amenudo escribimos una función de algo como f de x, pero.
también podemos usar la variable y para referirnos a la salida de una función. Cuando miramos la.
primera derivada. Hemos estado usando la notación f prima de x. Pero es posible que también.
otra versión de la notación del Líbano. A veces también verás una D mayúscula utilizada.
para referirse al derivado. si estamos buscando en la segunda derivada, hemos visto que en.
haitiano f doble prima de x, y doble prima es una notación comparable, o podríamos escribir dy.
dx de df Hay muchas notaciones alternativas para los derivados.
derivadas de sus enrevesadas y polémicas historia en el siglo XVII. Existen algunas notaciones.
diferentes para las funciones mismas. Más amenudo escribimos una función de algo como f de x, pero.
también podemos usar la variable y para referirnos a la salida de una función. Cuando miramos la.
primera derivada.Hemos estado usando la notación f prima de x. Pero es posible que también. veas y prime, lo que significa
lo mismo. Otro La notación es df dx y se conoce como denotación de tuercas. Después.
de cinco minutos, es posible que veas algo. como dy dx de f de x. Y es posible que veas dy dx,.
otra versión de la notación del Líbano. A veces también verás una D mayúscula utilizada.
para referirse al derivado.Si estamos buscando en la segunda derivada, hemos visto que en. haitiano f doble prima de x, y doble prima es una notación comparable, o podríamos escribir dy. dx de df dx. dx. Y la abreviatura de eso es d al cuadrado f dx al cuadrado. De manera comparable, podríamos escribir d al cuadrado y dx al cuadrado usando y en lugar de F para.
la función. Y la abreviatura de eso es d al cuadrado f dx al cuadrado. De manera similar, podríamos escribir d al cuadrado y dx al cuadrado usando y en lugar de F para.
la función. Hay notaciones similares para la tercera derivada,.
De modo que sería F al n de x, o y al n, d.
al n de f dx al n, o D al n de y dx a la N.Cuando utilizamos la notación de minutos en.
Para bien o para mal, necesitarás para familiarizarse disadvantage todas estas notaciones alternativas. Hay notaciones similares para la tercera derivada,.
pasaré a la enésima derivada. De modo que sería F al n de x, o y al n, d.
al n de f dx al n, o D al n de y dx a la N. Cuando utilizamos la notación de minutos en.
vivo, queremos enfatizar que estamos evaluando nuestra derivada en un valiance specific de x, podríamos.
escribir algo como en x es igual tres, o en x es igual a a, usando una línea.
upright. Para bien o para mal, necesitarás para familiarizarse con todas estas notaciones alternativas. Eso es todo por este vídeo sobre derivadas y notación.
de orden superior.Este vídeo trata sobre la derivada de e elevado a x, una de mis funciones. favoritas simplemente porque tiene tal un grandma derivado. Como recordarás, es un. número irracional cuya aproximación decimal es algo así como 2.718, parece que se está repitiendo. Pero luego continúa para siempre, nunca repitiendo nunca terminando. Eso es todo por este vídeo sobre derivadas y notación. de orden exceptional. Este vídeo trata sobre la derivada de e elevado a x, una de mis funciones. favoritas simplemente porque tiene tal un grandma derivado. Como recordarás, es un. número irracional cuya aproximación decimal es algo así como 2.718, parece que se está repitiendo. Pero luego continúa para siempre, nunca repitiendo nunca terminando.Su nota de valor se sitúa entre dos y tres. Aquí hay una gráfica

de y es igual a e la x. Su nota de valor se sitúa entre dos y tres. Aquí hay una gráfica de y es igual a e la x. Dice que el aumento de la función exponencial se. parece mucho a dos elevado a x o a tres a la x, no sólo la gráfica de e a la x.
aumenta, sino que aumenta cada vez más rápidamente. Entonces, para valores negativos de x, la.
pendiente de esta gráfica es positiva pero muy cercana a cero.Aquí, cuando x es igual a cero, esa pendiente. parece aproximadamente una pendiente de uno, veremos que en realidad es exactamente uno. Y. a medida que los valores de x aumentan, esta tangente las líneas se vuelven cada vez más empinadas. Voy. a exponer transgression pruebas tres hechos
realmente útiles. sobre E. Primero, si tomamos el límite, ya que. n va al infinito de uno más uno sobre N elevado a la enésima potencia, ese límite existe. y es igual a E, es posible que hayas visto algo Así cuando
tomabas precálculo y observabas el interés. compuesto compuesto sobre tipos más pequeños.Y periodos de tiempo más reducidos. Pero incluso. si no lo has actually visto stakes, es realmente importante. hecho que vale la pena memorizar, lo volverás a ver más. adelante en la clase. Una segunda fórmula importante es que el límite cuando h va a cero de e a H. menos uno sobre h es igual a uno. Ahora esto La expresión aquí a la izquierda puede recordarle. una derivada; de hecho, puedo reescribirla. como el límite cuando h va a cero de e al cero más. h menos e al cero ya que cualquiera de los dos el cero es uno sobre h, eso es igual a uno.
Y esta expresión aquí a la izquierda es simplemente la derivada de e elevado a x en x. es igual a cero, según la definición de límite de derivada.
Entonces, este hecho realmente dice. que la derivada de e a x en x es igual cero, esa derivada es igual a uno. Entonces, para. la tercera grasa
, Dice que el aumento de la función exponencial se. parece mucho a dos elevado a x o a tres a la x, no sólo la gráfica de e a la x.
aumenta, sino que aumenta cada vez más rápidamente.Entonces, para valores negativos de x, la. pendiente de esta gráfica es positiva pero muy cercana a cero. Aquí, cuando x es igual a cero, esa pendiente.
parece aproximadamente una pendiente de uno, veremos que en realidad es exactamente uno. Y.
a medida que los valores de x aumentan, esta tangente las líneas se vuelven cada vez más empinadas. Voy.
a exponer wrong pruebas tres hechos realmente útiles. sobre E. Primero, si tomamos el límite, ya que.
n va al infinito de uno más uno sobre N elevado a la enésima potencia, ese límite existe.
y es igual a E, es posible que hayas visto algo Así cuando tomabas precálculo y observabas el interés.
compuesto compuesto sobre tipos más pequeños. y periodos de tiempo más reducidos. Pero incluso.
si no lo has actually visto antes, es realmente importante.Hecho que vale la pena memorizar, lo volverás a ver más. adelante en la clase.
Una segunda fórmula importante es que el límite cuando h va a cero de e a H. menos uno sobre h es igual a
uno. Ahora esto La expresión aquí a la izquierda puede recordarle.
h menos e al cero ya que cualquiera de los dos el cero es uno sobre h, eso es igual a uno. Y esta expresión aquí a la izquierda es simplemente la derivada de e elevado a x en x.
es igual a cero, según la definición de límite de derivada. Entonces, este hecho realmente dice.
que la derivada de e a x en x es igual cero, esa derivada es igual a uno. Entonces, para.
la tercera grasa, el tercer hecho, el tercer hecho, se trata de la derivada de e a x en.
general. Y ese tercer hecho es que la derivada de la función, o la X es.
la función, e a la x, e a la x es su propia derivada.Ésta es entonces una

versión. generalizada del segundo hecho. porque el segundo El hecho es decir que la derivada en x es igual a cero. es uno, bueno, uno es exactamente lo mismo. como e al cero. Entonces, decir que la sequía.
de la salida en x es igual a cero es igual a cero. Y en general, la derivada de e elevado a x.
en cualquier x es simplemente e elevado a x. Ahora, De hecho, con frecuencia se toma uno como definición de.
E. A veces, en cambio, se toma el hecho dos. como definición de él, ya que él es el número.
único disadvantage esta, esta propiedad, el único número, puede ingresar aquí y hacer que este límite.
sea igual a uno, es posible demostrar que el hecho uno implica el hecho dos y viceversa. Pero no haré eso aquí.También es posible demostrar que el hecho dos implica el hecho. tres sobre la derivada en general. Y eso es bastante sencillo a partir de la definición de. derivada. Entonces les mostraré ese argumento. Entonces, comencemos asumiendo el hecho e intentemos. probar el hecho tres usando la definición de directo por la definición de derivado. La. derivada de e a x es el límite como h va a cero de e a x más h menos e a x.
sobre h. Si factorizo una E a la X, de ambos términos en el numerador, obtengo el límite.
de e elevado a x multiplicado por e elevado a H menos uno sobre h. Observe que e elevado a x multiplicado por.
e elevado a H está en x más h por el exponente normas.Ahora, o la X no

tiene nada que ver disadvantage H, por. lo que es sólo una constante en la medida en que H está preocupado. Y puedo sacarlo completamente.
del signo de límite y reescribir esto. límite. Ahora por el variable dos, que supongo que este.
límite aquí es solo uno, lo que significa que mi derivada se trata de la derivada de e a x en.
basic. Y ese tercer hecho es que la derivada de la función, o la X es.
la función, e a la x, e a la x es su propia derivada. Ésta es entonces una versión.
generalizada del segundo hecho. porque el segundo El hecho es decir que la derivada en x es igual a cero.
es uno, bueno, uno es exactamente lo mismo. como e al cero. Entonces, decir que la sequía.
de la salida en x es igual a cero es igual a cero. Y en general, la derivada de e elevado a x.
en cualquier x es simplemente e elevado a x.Ahora, De hecho, con frecuencia se toma uno como definición de.
E. A veces, en cambio, se toma el hecho dos. como definición de él, ya que él es el número.
único con esta, esta propiedad, el único número, puede ingresar aquí y hacer que este límite.
sea igual a uno, es posible demostrar que el hecho uno implica el hecho dos y viceversa. Pero no haré eso aquí. También es posible demostrar que el hecho dos implica el hecho.
tres sobre la derivada en general. Y eso es bastante sencillo a partir de la definición de.
derivada. Entonces les mostraré ese argumento. Entonces, comencemos asumiendo el hecho e intentemos.
probar el hecho tres usando la definición de directo por la definición de derivado. La.
derivada de e a x es el límite como h va a cero de e a x más h menos e a x.
sobre h.Si factorizo una E a la X, de ambos términos en el numerador, obtengo el límite.
de e elevado a x multiplicado por e elevado a H menos uno sobre h. Observe que e elevado a x multiplicado por.
e elevado a H está en x más h por el exponente normas. Ahora, o la X no tiene nada que ver disadvantage H, por.
lo que es sólo una constante en la medida en que H está preocupado. Y puedo sacarlo completamente.
del signo de límite y reescribir esto. límite. Ahora por el aspect dos, que supongo que este.
límite aquí es solo uno, lo que significa que mi derivada es e elevado a la x, tal como quería mostrar.Aquí.

tienes un ejemplo un poco complicado, preguntándote calcular la derivada de una función que involucra.
muchas orejas y X es e elevado a la x, tal como quería mostrar. Aquí.
tienes un ejemplo un poco complicado, preguntándote calcular la derivada de una función que involucra.
muchas orejas y X combinados de muchas maneras diferentes. Necesitarás.
usar no sólo la regla para la derivada de e a x de la que acabamos de hablar, pero también.
la regla de la potencia y otras reglas. derivados de lo que hemos hablado combinados de muchas maneras diferentes. Necesitarás.
usar no sólo la regla para la derivada de e a x de la que acabamos de hablar, pero también.
la regla de la potencia y otras reglas.Derivados de lo que

hemos hablado más temprano. más temprano. Así que pausa el vídeo e intenta calcular esta.
derivada tú mismo prestando personal atención. a qué es una variable y cuál es la constante. Así que pausa el vídeo e intenta calcular esta.
derivada tú mismo prestando specific atención. a qué es una variable y cuál es la constante. Bien, entonces estamos tomando la derivada aquí.
con respecto a x, esa es nuestra variable. Y Estoy tomando la derivada de toda esta expresión, que.
puedo dividir como una suma de derivadas. Para el guide término, puedo usar la regla de la potencia,.
E es un coeficiente constante, así que simplemente Necesitas tomar el exponente de dos multiplicado en el frente,.
Y Estoy tomando la derivada de toda esta expresión, que.
Para el guide término, puedo usar la regla de la potencia,. E es un coeficiente constante, así que simplemente Necesitas tomar el exponente de dos multiplicado en el frente,. multiplicado por x elevado a la potencia única. Ahora para la segunda parte, aquí, tengo la función x multiplicada por dos, por.
lo que su derivada es solo dos veces la derivada de e a la x, que es la.
X aquí, tengo la función x multiplicada por dos, por.
lo que su derivada es solo dos veces la derivada de e a la x, que es la.
X para mi tercera parte, tengo solo x multiplicado por una constante.
e al cuadrado.Entonces la derivada de x

es uno por esa constante. Y entonces obtengo e al cuadrado. Finalmente, para llevar la derivada de x a la potencia de E al cuadrado, puedo usar la regla de la.
potencia porque mi variable está en la base y tener una constante e al cuadrado en mi exponente. Entonces, usando la regla de la potencia, bajo la E al cuadrado multiplica eso por x y resta uno.
del exponente. Este video expresa la felicidad.

De manera comparable, podríamos escribir d al cuadrado y dx al cuadrado usando y en lugar de F para.
De modo que sería F al n de x, o y al n, d.
al n de f dx al n, o D al n de y dx a la N.Cuando utilizamos la notación de minutos en. Y esta expresión aquí a la izquierda es simplemente la derivada de e elevado a x en x.
es igual a cero, según la definición de límite de derivada. La. derivada de e a x es el límite como h va a cero de e a x más h menos e a x.
sobre h. Si factorizo una E a la X, de ambos términos en el numerador, obtengo el límite.
Finalmente, para llevar la derivada de x a la potencia de E al cuadrado, puedo usar la regla de la.hecho de que la derivada de e elevado a x es simplemente
e elevado a para mi tercera parte, tengo solo x multiplicado por una constante
Y entonces obtengo e al cuadrado. Este video expresa la felicidad. Primero, la fila constante, tiene sentido que la
derivada de un número actual constante tenga ser cero, porque la pendiente de una recta horizontal Primero, la fila constante, tiene sentido que la derivada de un número actual constante tenga ser cero, porque la pendiente de una recta straight es cero. es cero. Pero también podemos probar este hecho utilizando la definición límite de derivada. La derivada de cualquier función es el límite cuando h tiende a cero de la función de x más h menos el función en x dividida por H. Bueno, aquí, nuestra función es solo una constante Así que estamos tomando el límite cuando h llega a cero de la constante.
menos la constante dividida por h, que es sólo el límite cuando h va a cero de cero sobre h, que es sólo el límite de cero, que es cero.Intuitivamente, también

tiene sentido que la derivada de la función
y sea igual x tiene que ser uno, porque la gráfica de y es igual a x es una línea recta con pendiente uno. Pero nuevamente, podemos probar esto usando la definición límite de derivada. Entonces la derivada de x es el límite cuando h llega a cero de x más h menos x sobre h.Bueno, eso simplifica el límite de h sobre h, ya que las X no pueden. En otras palabras, el límite cuando h llega a cero de uno, que es uno como se quiere Pero también podemos probar este hecho utilizando la definición límite de derivada. La derivada de cualquier función es el límite cuando h tiende a.
cero de la función de x más h menos la función en x dividida.
por H.Bueno, aquí, nuestra función es solo una constante. Entonces estamos tomando el límite.
cuando h llega a cero de la constante menos el constante dividida por h, que es justo el límite cuando.
h llega a cero de cero sobre h, que es sólo el límite de cero, que es cero. Intuitivamente,.
también tiene sentido que la derivada de la función y es igual a x tiene que ser uno, porque.
la gráfica de y es igual a x es una recta línea con la pendiente uno. Pero nuevamente, podemos.
probar esto usando la definición límite de derivada. Entonces, la derivada de x es el límite cuando h llega.
a cero de x más h menos x sobre h. Bien, eso se simplifica hasta el límite de h sobre h, ya que.
las X no pueden.Entonces, en otras

palabras, el límite cuando h llega a cero de uno, que es uno como.
se desea X, X, h elevado a n menos uno, y finalmente, un término.
de h elevado a N. Esa es la expansión binomial de x más h al n. Ahora, todavía tenemos que restar.
la x a la n que teníamos aquí arriba, y todavía tenemos que dividir todo esto por.
H. Está bien, eso se ve horriblemente complicado. h elevado a n menos uno, y finalmente, un término.
de h elevado a N. Esa es la expansión binomial de x más h al n. Ahora, todavía tenemos que restar.
la x a la n que teníamos aquí arriba, y todavía tenemos que dividir todo esto por.
H. Está bien, eso se ve horriblemente complicado. Pero Pero observe que la X hasta los extremos puede Entonces observe.
que todos los términos restantes tienen una H en ellos.Entonces, si factorizamos H, obtenemos una. x elevada a n menos uno, más un montón de otros términos. Y cancelando las H, observe que la X hasta los extremos puede Entonces observe.
que todos los términos restantes tienen una H en ellos. Entonces, si factorizamos H, obtenemos una.
x elevada a n menos uno, más un montón de otros términos. Y cancelando las H, obtenemos obtenemos un término que no tiene edades y otro.
grupo de términos que tienen H en ellos, cuando h tiende a cero, todos estos otros.
términos desaparecen porque llegan a cero. Y lo que nos queda es simplemente n multiplicado por x.
elevado a n menos uno, que es exactamente lo que quieren para el papel de poder. Creo que es una.
prueba bastante buena si te sientes cómodo con la fórmula binomial. Pero si no has visto la.
Así que.
límite cuando x llega a a de nuestra función evaluada en x. Entonces eso es x elevado a n menos nuestra función.
evaluada en a, eso es a elevado a n sobre x menos a. Nuevamente, voy a necesitar reescribir las cosas.
para poder evaluar este límite, ya que es actualmente en forma cero sobre cero y determinante. Entonces voy a reescribir la parte superior factorizando Saco una copia de x menos a, lo que me da x elevado.
a n menos uno más x elevado a n menos dos A más x elevado a n menos tres A al cuadrado,.
aquí ves el patrón.Y sigo hasta Llego a x a a n menos dos y finalmente.
a a n menos uno, eso aún termina x menos a, puedes verificar esta fórmula de factorización,.
simplemente multiplicando y verificando que De hecho, obtenga x elevado a n menos a elevado a n, después.
de que todos sus términos intermedios se cancelen. Ahora que he factorizado, puedo cancelar mi.
x menos a y simplemente evaluar mi límite sumando en x igual a A para obtener a al n menos uno más.
a al n menos dos A más, y así sucesivamente cada uno de estos términos es igual a a elevado.
a n menos uno. Y hay un complete de n términos, ya que los obtuvimos de los términos anteriores.
que comenzaron con x hasta n menos uno y no con x elevado al cero. Entonces esos son n términos. Eso significa que tenemos una suma final de n veces.A elevado a n menos uno para una derivada f prima de.
A, que es exactamente lo que queríamos mostrar. A continuación, demostraré la regla del múltiplo constante.
que dice que si c es una constante de número real, y f es una función diferenciable, entonces la derivada.
de una constante multiplicada por f es solo la constante multiplicada por la derivada de f. Comenzando.
con la definición límite de derivada, I tenemos que la derivada de C multiplicado por f de x es.
el límite cuando h llega a cero de C multiplicado f de x más h menos c multiplicado por f de x sobre.
h. Ahora, si factorizo la constante C, de ambos de estos términos, y de hecho puedo sacarlo.
completamente del lado del límite, ya que el constante no tiene nada que ver con h. Ahora entiendo.
que period igual a los tiempos constantes. el límite cuando h llega a cero de f de x más.
h menos f de x sobre h, que es solo una constante veces la derivada de f, que es lo que queríamos.
probar.Un término que

no tiene edades y otro.
grupo de términos que tienen H en ellos, cuando h tiende a cero, todos estos otros.
términos desaparecen porque llegan a cero. Y lo que nos queda es simplemente n multiplicado por x.
elevado a n menos uno, que es exactamente lo que quieren para el papel de poder. Creo que es una.
prueba bastante buena si te sientes cómodo con la fórmula binomial. Pero si no has visto la.
fórmula binomial stakes, eso podría dejarte sientes un poco de frío. Entonces te voy a.
ofrecer otra prueba usando la otra forma. de la definición límite de derivada. Así que.
déjame dejar algo de espacio aquí. y empezaré sobre el uso de esta definición, f prima en a es el.
límite cuando x llega a a de nuestra función evaluada en x.Entonces eso es x elevado a n menos nuestra función.
evaluada en a, eso es a elevado a n sobre x menos a. Nuevamente, voy a necesitar reescribir las cosas.
para poder evaluar este límite, ya que es actualmente en forma cero sobre cero y determinante. Entonces voy a reescribir la parte superior factorizando Saco una copia de x menos a, lo que me da x elevado.
a n menos uno más x elevado a n menos dos A más x elevado a n menos tres A al cuadrado,.
aquí ves el patrón. Y sigo hasta Llego a x a a n menos dos y finalmente.
a a n menos uno, eso aún termina x menos a, puedes verificar esta fórmula de factorización,.
simplemente multiplicando y verificando que De hecho, obtenga x elevado a n menos a elevado a n, después.
de que todos sus términos intermedios se cancelen.Ahora que he factorizado, puedo cancelar mi. x menos a y simplemente evaluar mi límite sumando en x igual a A para obtener a al n menos uno más.
a al n menos dos A más, y así sucesivamente cada uno de estos términos es igual a a elevado.
a n menos uno. Y hay un overall de n términos, ya que los obtuvimos de los términos anteriores.
que comenzaron disadvantage x hasta n menos uno y no disadvantage x elevado al cero. Entonces esos son n términos. Eso significa que tenemos una suma final de n veces. a elevado a n menos uno para una derivada f prima de.
A, que es exactamente lo que queríamos mostrar. A continuación, demostraré la regla del múltiplo constante.
que dice que si c es una constante de número real, y f es una función diferenciable, entonces la derivada.
de una constante multiplicada por f es solo la constante multiplicada por la derivada de f. Comenzando.
con la definición límite de derivada, I tenemos que la derivada de C multiplicado por f de x es.
el límite cuando h llega a cero de C multiplicado f de x más h menos c multiplicado por f de x sobre.
h.Ahora, si factorizo la constante C, de ambos de estos términos, y de hecho puedo sacarlo.
completamente del lado del límite, ya que el constante no tiene nada que ver disadvantage h. Ahora entiendo.
que period igual a los tiempos constantes. el límite cuando h llega a cero de f de x más.
h menos f de x sobre h, que es solo una constante veces la derivada de f, que es lo que queríamos.
probar. La regla de la diferencia se puede demostrar al igual que.
la regla de la suma escribiendo la definición. de términos derivados y de reagrupación. O podríamos.
usar una especie de atajo furtivo y poner juntos dos de nuestros functions anteriores. Entonces,.
si pensamos que f de x menos g de x es f de x más menos uno por g de x, entonces podemos usar.
la regla de la suma para reescribir esto como suma de derivadas y luego usar la regla del multiplicador.
constante para obtener la constante de valores negativos uno fuera, y luego tenemos exactamente lo que queríamos.
demostrar.Entonces, en este video, le dimos la prueba de la regla múltiple de contenido, las reglas.
de diferencia de convocatoria y una prueba de la regla de potencia cuando n es un número entero positivo. Este vídeo ofrece reglas para calcular derivados. de funciones que child productos o cocientes de.
otras funciones. En este vídeo, podrás Encuentre enunciados de la regla del producto y la regla.
del cociente, y algunos ejemplos. Pero no hay pruebas las pruebas están en un vídeo aparte. Antes.
de comenzar, recordemos el Salmo y la diferencia. normas. Si f y g kid funciones diferenciables,.
entonces la derivada del salmo f de x más g de x es solo la suma de las derivadas. Y una.
afirmación similar se aplica a las diferencias. La derivada de la diferencia es la diferencia de las.
derivadas. También lo hace el mismo tipo de regla válida para productos de funciones,.
en otras palabras, es la derivada del producto ¿ igual al producto de las derivadas? Veamos.
un ejemplo sencillo.Descubrir.

Para Por ejemplo, si f de x es x y g de x es x al cuadrado,.
entonces si tomamos la derivada del producto, x por x al cuadrado, bueno, eso es solo la derivada.
de x al cubo. Sabemos cómo hacerlo con el regla de poder. Entonces es 3x al cuadrado. Por.
otro lado, si miramos el producto de las derivadas, obtenemos uno por 2x o solo 2x. Y estas dos cosas.
no boy iguales. Entonces, desafortunadamente, la respuesta es no. Una regla de producto tan simple.
no se cumple. Pero no pierdas la esperanza. Hay una regla del producto, es un poco más complicada que la.
regla de la suma y la diferencia. El producto La regla dice que.
si f y g son funciones diferenciables, entonces la derivada del producto f de x por g.
de x es igual a f de x por la derivada de g de x más la derivada de f de x multiplicada por.
g de x.En otras palabras, para tomar la derivada de un producto, tomamos la primera función por.
la derivada de la segunda, más la derivada de las primeras veces la segunda. Usemos esto.
en un ejemplo. Para tomar la derivada de la raíz cuadrada de t multiplicada por e elevado a t, tenemos.
que tomar la primera función al cuadrado de t multiplicada la derivada de la segunda función, más la.
derivada de la primera función La regla de la diferencia se puede demostrar al igual que.
la regla de la suma escribiendo la definición.De términos derivados y de reagrupación. O podríamos.
usar una especie de atajo furtivo y poner juntos dos de nuestros roles anteriores. Entonces,.
si pensamos que f de x menos g de x es f de x más menos uno por g de x, entonces podemos usar.
la regla de la suma para reescribir esto como suma de derivadas y luego usar la regla del multiplicador.
constante para obtener la constante de valores negativos uno fuera, y luego tenemos exactamente lo que queríamos.
demostrar. Entonces, en este video clip, le dimos la prueba de la regla múltiple de contenido, las reglas.
de diferencia de convocatoria y una prueba de la regla de potencia cuando n es un número entero positivo. Este vídeo ofrece reglas para calcular derivados. de funciones que kid productos o cocientes de.
otras funciones. En este vídeo, podrás Encuentre enunciados de la regla del producto y la regla.
del cociente, y algunos ejemplos. Pero no hay pruebas las pruebas están en un vídeo aparte.Antes.

de comenzar, recordemos el Salmo y la diferencia. normas. Si f y g boy funciones diferenciables,.
entonces la derivada del salmo f de x más g de x es solo la suma de las derivadas. Y una.
afirmación comparable se aplica a las diferencias. La derivada de la diferencia es la diferencia de las.
derivadas. También lo hace el mismo tipo de regla válida para productos de funciones,.
en otras palabras, es la derivada del producto ¿ igual al producto de las derivadas? Veamos.
un ejemplo sencillo. Descubrir. Para Por ejemplo, si f de x es x y g de x es x al cuadrado,.
entonces si tomamos la derivada del producto, x por x al cuadrado, bueno, eso es solo la derivada.
Sabemos cómo hacerlo con el regla de poder. Entonces es 3x al cuadrado.
otro lado, si miramos el producto de las derivadas, obtenemos uno por 2x o solo 2x. Y estas dos cosas.
no son iguales. Entonces, desafortunadamente, la respuesta es no. Una regla de producto tan simple.
no se cumple. Pero no pierdas la esperanza. Hay una regla del producto, es un poco más complicada que la.
regla de la suma y la diferencia.El producto La regla

dice que si f y g kid funciones diferenciables,. entonces la derivada del producto f de x multiplicado por g de x es igual a f de x multiplicado. por la derivada de g de x más la derivada de f de x por g de x. En otras palabras, para.
tomar la derivada de un producto, tomamos la primera función multiplicada por la derivada.
de la segunda, más la derivada de la primera veces el segundo. Usemos esto en un ejemplo. Para.
sacar la derivada de la raíz cuadrada. de t multiplicado por e elevado a t, tenemos que tomar la.
primera función al cuadrado de t multiplicado por la derivada de la segunda función, más la derivada de.
la primera función veces la segunda función. Entonces esa es la raíz cuadrada.
de t multiplicada por la derivada de e elevada a la t es simplemente e elevado a t.Veces la

segunda función. Entonces esa es la raíz cuadrada.
de t multiplicada por la derivada de e elevada a la t es simplemente e elevado a t. Y para encontrar la derivada de la raíz cuadrada.
de t, será más fácil escribirla en forma exponencial. Ahora podemos usar.
el power roll. Baje la mitad t a la la mitad menos uno es menos la mitad y.
encontré la derivada. voy a limpiar Sube esto un poco y listo. La regla del cociente.
dice que la derivada de un cociente. de dos funciones Y para encontrar la derivada de la raíz cuadrada.
de t, será más fácil escribirla en forma exponencial. Ahora podemos usar.
el power roll. Baje la mitad t a la la mitad menos uno es menos la mitad y.
encontré la derivada. voy a limpiar Sube esto un poco y listo. La regla del cociente.
dice que la derivada de un cociente. de dos funciones está dada por este cociente en el denominador, tenemos.
la función denominador g de x al cuadrado. Y en el numerador, tenemos g de x multiplicado por.
la derivada está dada por este cociente en el denominador, tenemos.
la función denominador g de x al cuadrado.Y en el numerador

, tenemos g de x multiplicado por. la derivada de f de x de f de x menos f de x por la derivada de g de x. La.
forma en que recuerdo esto es este canto. Si piensas en f de x como la función alta y g.
de x es una función baja, puedes decir esto es bajo D alto menos alto D bajo menos f de x por la derivada de g de x. La.
forma en que recuerdo esto es este canto. Si piensas en f de x como la función alta y g.
de x es una función baja, puedes decir esto es bajo D alto menos alto D bajo muy bajo, muy bajo, estamos bajo bajo significa la función baja al cuadrado. Comencemos con un ejemplo bastante simple. Entonces esta derivada, que nos lleva de regreso a z aquí, estamos bajo bajo significa la función baja al cuadrado. Comencemos con un ejemplo bastante simple. Entonces esta derivada, que nos lleva de regreso a z aquí, Ponemos el bajo bajo en la parte inferior, y luego.
bajamos, Ponemos el bajo bajo en la parte substandard, y luego.
bajamos, D alto.D alto.

z al cuadrado es z menos alto, D bajo la derivada de.
Z al cubo más uno es tres z al cuadrado más cero, realmente no es necesario escribir el cero.
allí, puedo simplificar un poco aquí para z elevado al cuarto más dos z menos tres z elevado.
al cuarto, z al cuadrado es z menos alto, D bajo la derivada de.
Z al cubo más uno es tres z al cuadrado más cero, realmente no es necesario escribir el cero.
allí, puedo simplificar un poco aquí para z elevado al cuarto más dos z menos tres z elevado.
al cuarto, terminado, estoy terminado, estoy No me voy a molestar en multiplicar este denominador, creo.
que parece más sencillo factorizado. Entonces, cuando cancelo cosas en el numerador,.
llego a z menos z elevado al cuarto. z al cubo más uno al cuadrado como derivada de.
mi cociente. Entonces, en este video clip, vimos el regla del producto y regla del cociente. He escrito.
las reglas aquí usando la notación prima. de la notación dy dx, pero debes comprobar que.
las fórmulas son realmente las mismas que antes.Para ver las

pruebas de estas reglas fabulosamente.
útiles, tendrás que ver el siguiente vídeo. En este vídeo, demostraré la regla del producto.
y la regla del cociente, junto con una más. regla relacionada, llamada regla recíproca. Primero,.
la prueba de la regla del producto. Encontrar la derivada del producto, f de x por g de.
x, voy a empezar como siempre disadvantage la definición límite de derivada. Entonces el límite.
cuando h va a cero de f de x más h g de x más h menos f de x g de x, Oliver H. Ahora.
me gustaría que esta expresión se vea más bien la expresión de arriba, que es hacia.
donde me dirijo.

La derivada de cualquier función es el límite cuando h tiende a.
cero de la función de x más h menos la función en x dividida.
Eso significa que tenemos una suma last de n veces.A elevado a n menos uno para una derivada f prima de.
Para Por ejemplo, si f de x es x y g de x es x al cuadrado,.
Si piensas en f de x como la función alta y g.
de x es una función baja, puedes decir esto es bajo D alto menos alto D bajo menos f de x por la derivada de g de x. La.
forma en que recuerdo esto es este canto. Si piensas en f de x como la función alta y g.
de x es una función baja, puedes decir esto es bajo D alto menos alto D bajo muy bajo, muy bajo, estamos bajo bajo significa la función baja al cuadrado.Y para hacer esto, estoy Voy a usar un truco clásico de agregar cero
a mi expresión y de una manera tortuosa. Así que voy a reescribir mi expresión, dejando el
primer término y el último término del numerador. tal como están, pero insertando dos nuevos términos que se
cancelan. Así que estoy restando el término f de x, g de x más h, y luego volver a sumarlo. Para que no cambien el valor de mi expresión.Esto no es tan inútil como parece, porque ahora podemos factorizar los factores comunes aspect de g de x más h de los dos primeros términos, y el aspect común de f de x de los dos
términos siguientes. Entonces voy a hacer eso. Y ahora volveré a escribir, dividiendo mi suma en dos partes aquí. Puedes usar solo fracciones de álgebra para ver que esta expresión aquí y esta expresión aquí boy la misma. Keep in mind que estoy tomando el límite de todo este expresión aquí.Ahora mis reglas de límite me permiten reescribir este límite como cuatro

límites, siempre que estos cuatro
límites realmente existan, que le indican que le muestran en un momento que lo hacen. Entonces este primer límite aquí es igual a g de x, porque G es una función continua. G es continua porque, por supuesto, es diferenciable, por lo que tiene a ser continuo. Este segundo límite aquí, lo reconocerás como la definición de derivada de f, de modo que el límite existe en igual d dx de f de x. El tercer límite, bueno, f de x no tiene nada que ver disadvantage la edad. Entonces ese límite es solo f de x. Y finalmente, el cuarto límite. es la derivada de g. Y lo hemos hecho. Bueno, módulo con un pequeño reordenamiento, podrás Vea que esta expresión aquí es exactamente la misma que esta expresión aquí, solo que con el orden de los términos cambió.Antes de pasar a demostrar la regla del cociente, será ser muy útil para demostrar la regla recíproca, que establece que la derivada de recíproco, uno sobre f de x está dado por la derivada negativa de f de x dividida por f de x al cuadrado. Así que Para demostrar este hecho, comencemos como siempre, con la definición de derivada. La derivada de uno sobre f de x es el límite cuando h tiende a cero de uno sobre f de x No me voy a molestar en multiplicar este denominador, creo que parece más sencillo factorizado.
Entonces, cuando cancelo cosas en el numerador, llego a z menos z elevado al cuarto.
z al cubo más uno al cuadrado como derivada de mi cociente. Entonces, en este video, vimos el regla del producto y regla del cociente. He escrito las reglas aquí usando la notación prima. de la notación dy dx, pero debes comprobar que las fórmulas kid realmente las mismas que antes.Para ver las pruebas de estas reglas fabulosamente útiles, tendrás que ver el siguiente vídeo. En este vídeo, demostraré la regla del producto y la regla del cociente
, junto disadvantage una más. regla relacionada, llamada regla recíproca. Primero, la prueba de la regla del producto. Encontrar la derivada del producto, f de x por g de x, voy a empezar como siempre con la definición límite de derivada. Entonces el límite cuando h va a cero de f de x más h g de x más h menos f de x g de x, Oliver H. Ahora me gustaría que esta expresión se vea más bien la expresión de arriba, que es hacia donde me dirijo. Y para hacer esto, estoy Voy a usar un truco clásico de agregar cero a mi expresión y de una manera tortuosa.Así que voy a reescribir mi expresión, dejando el guide término y el último término del numerador. tal como están, pero insertando dos nuevos términos que se cancelan. Así que estoy restando el
término f de x, g de x más h, y luego volver a sumarlo. Para que no cambien el valiance de mi expresión.
Y ahora volveré a
escribir, dividiendo mi suma en dos partes aquí. Keep in mind que estoy tomando el límite de todo este expresión aquí
.
G es continua porque, por supuesto, es diferenciable, por lo que tiene a ser continuo. Este segundo límite aquí, lo reconocerás como la definición de derivada de f, de modo que el límite existe en igual d dx de f de x. El tercer límite, bueno, f de x no tiene nada que ver disadvantage la edad. Entonces ese límite es solo f de x. Y finalmente, el cuarto límite.
es la derivada de g. Y lo hemos hecho. Bueno, módulo con un pequeño reordenamiento, podrás Vea que esta expresión aquí es exactamente la misma que esta expresión aquí, solo que disadvantage el orden de los términos cambió. Antes de pasar a demostrar la regla del cociente, será ser muy útil para demostrar la regla recíproca, que establece que la derivada de recíproco, uno sobre f de x está dado por la derivada negativa de f de x dividida por f de x al cuadrado.Así que Para demostrar este hecho, comencemos como siempre, con la definición de derivada. La derivada de uno sobre f de x es el límite cuando h tiende a cero de uno sobre f de x x más x

más h menos uno sobre f de x sobre h. Ahora, estas fracciones aquí simplemente piden a gritos ser combinadas. encontrando un denominador común que los denominadores comunes f de x más h multiplicado por f de x. Entonces dejame hacer eso. Acabo de multiplicar la primera fracción por f de x sobre f de x y la segunda fracción por f de x más h sobre f de x más h para reescribir disadvantage un denominador común.
Y. luego escribiré este producto como producto.
Veamos aquí el primer. El primer límite aquí es sólo el derivado de
Está simplemente en orden inverso. Entonces esto se convierte.
Y. luego escribiré este producto como producto. de dos límites, lo cual puedo hacer siempre que existan.
Y lo comprobaré estos límites existen.Veamos aquí el guide. El primer límite aquí es sólo el derivado de F. F. Y el segundo límite aquí existe porque f. es continua, f
es continua ya que es diferenciable.
x más h se aproxima a x, f de x más h es acercándose a f de x. Y puedo reescribir este límite. como uno sobre f de x multiplicado por f de x. Y esto es, en otras palabras, negativo la derivada. de f de x dividida por f de x al cuadrado. Ahora hemos demostrado la regla recíproca. Ahora estamos. en una excelente posición para demostrar el cociente. gobernar disadvantage muy poco esfuerzo. Entonces, en lugar. de volver a la definición de derivada, esta vez, solo voy a pensar en el cociente f de x. sobre g de x como un producto de f de x veces el recíproco Y el segundo límite aquí existe porque f. es continua, f es continua ya que es diferenciable.Entonces, por continuidad, como H va a cero, dado que. x más h se aproxima a x, f de x más h es acercándose a f de x. Y puedo reescribir este límite. como uno sobre f de x multiplicado

por f de x. Y esto es, en otras palabras, negativo la derivada. de f de x dividida por f de x al cuadrado. Ahora hemos demostrado la regla recíproca. Ahora estamos. en una excelente posición para demostrar el cociente. gobernar disadvantage muy poco esfuerzo. Entonces, en lugar. de volver a la definición de derivada, esta vez, solo voy a pensar en el cociente f de x. sobre g de x como un producto de f de x veces el recíproco de g de x. de g de x. Y ahora, según la regla del producto, esa es solo la
. primera función multiplicada por la derivada de el segundo más la derivada del primero por. el segundo. Y por la regla del cociente, la derivada de este recíproco es la derivada negativa. de g sobre g de x al cuadrado.Y yo Todavía tengo este segundo término aquí, que simplemente. voy a escribir como derivada f de x dividido por g

de x. Y ahora, según la regla del producto, esa es solo la.
primera función multiplicada por la derivada de el segundo más la derivada del primero por.
el segundo. Y por la regla del cociente, la derivada de este recíproco es la derivada negativa.
Y yo Todavía tengo este segundo término aquí, que simplemente. Si combinamos estas dos.
esta segunda fracción por g de x sobre g de x para conseguir ese denominador común. Ahora obtenemos. f negativa de x multiplicada por la derivada de g de x más la derivada de f de x por g de x dividido. por g de x al cuadrado.Y con suerte, esta expresión substandard es la misma

que esta expresión. remarkable. Y sí, después de reorganizar los
términos que es. Así que ese es el last de la prueba. de la regla del cociente. Así que este vídeo dio pruebas de la regla del producto, la regla recíproca. y luego la regla del cociente. Este video Se trata de dos límites que involucran funciones trigonométricas. que resultan muy útiles. Es decir, el límite cuando theta llega a cero del seno theta así que ya casi llegamos.Si combinamos estas dos. fracciones, usando un denominador común de g de x al cuadrado, solo tenemos que multiplicar. esta segunda fracción por g de x sobre g de x para conseguir ese denominador común.
Ahora obtenemos. f negativa de x multiplicada por la derivada de g de x más la derivada de f de x por g de x dividido. por g de x al cuadrado.
Y disadvantage suerte, esta expresión inferior es la misma que esta expresión. remarkable. Y sí, después de reorganizar los términos que es. Así que ese es el last de la prueba. de la regla del cociente. Así que este vídeo dio pruebas de la regla del producto, la regla recíproca. y luego la regla del cociente.Este video Se trata de dos límites que
involucran funciones trigonométricas. que resultan muy útiles. Es decir, el límite cuando theta llega a cero del seno theta sobre
theta. Y el límite cuando theta va a cero. del coseno theta menos uno sobre theta. Estos límites resultan tener respuestas
simples y realmente. agradables, siempre y cuando mantengamos theta en radianes, sobre theta.
Y el límite cuando theta va a cero. del coseno theta menos uno sobre theta.Estos límites resultan tener respuestas simples y realmente. agradables, siempre y cuando mantengamos theta en radianes, no grados. Consideremos primero el límite de la izquierda,. ese es el límite a medida que avanza theta.
a cero del seno theta sobre theta. Observe que no podemos. simplemente evaluar este
límite conectando en cero para theta, porque a medida que theta va.
a cero seno theta, y el numerador también va a cero, y theta mismo va a cero, por lo que terminamos.
Así que aquí está el eje theta. Y aquí está el eje y. Y puedes ver que a medida.
que theta llega a cero desde la derecha o a la izquierda, parece que el valor de y va.
a ser uno. El segundo límite aquí en el derecha, también es cero sobre cero y forma determinante. Dado que cuando theta tiende a cero, el coseno theta va a uno, por lo que el coseno theta menos uno.
va a cero. Pero nuevamente, mirando el gráfico, tenemos alguna evidencia que sugiere que a medida que theta.
llega a cero, nuestra expresión también va a no grados. Consideremos primero el límite de la izquierda,.
ese es el límite a medida que avanza theta. a cero del seno theta sobre theta. Observe que no podemos.
simplemente evaluar este límite conectando en cero para theta, porque a medida que theta va.
a cero seno theta, y el numerador también va a cero, y theta mismo va a cero, por lo que terminamos.
con un cero sobre cero indeterminado forma.Sin embargo, podemos acumular alguna evidencia. de cuál podría ser este límite utilizando un calculadora y una tabla de valores, o mirando un gráfico. Así que aquí está el eje theta. Y aquí está el eje y. Y puedes ver que a medida.
que theta llega a cero desde la derecha o a la izquierda, parece que el valor de y va.
a ser uno. El segundo límite aquí en el derecha, también es cero sobre cero y forma determinante. Dado que cuando theta tiende a cero, el coseno theta va a uno, por lo que el coseno theta menos uno.
va a cero. Pero nuevamente, mirando el gráfico, tenemos alguna evidencia que sugiere que a medida que theta.
llega a cero, nuestra expresión también va a cero. cero. Estos gráficos proporcionan evidencia sólida,.
El.
Entonces si quiero aproximarme seno de este valor de theta, sin calculadora, puedo. Eso sigue dividido por el seno de forex, y. ahora voy a invertirlo y multiplicarlo para obtenga el seno de 7x sobre el coseno de 7x por uno sobre. Ahora intuitivamente, si x es cerca de cero, por lo tanto 7x y 4x también están cerca.
Y cancelando el acceso, esto equivale. a siete cuartos del límite.
Dado que el coseno. De manera más rigurosa, voy a reescribir este límite. Porque si me reagrupo aquí y escribo el seno 7x sobre 7x, multiplicado por uno sobre coseno.
que este límite aquí, cuando x va a 07, x va a cero, por lo que el seno 7x sobre.
7x será igual a uno. Y de manera similar cuando x tiende a cero, porque x tiende
a cero. Entonces. el límite de 4x alguna vez firmado para x es el recíproco de uno, también es uno. Y finalmente, este. límite en el medio aquí, cuando x va a 07, x va a cero, por lo que el coseno.
de 7x va a uno, y todo en el mundo va a uno excepto el 7/4.

Entonces este límite es.
siete cuartos. Estos gráficos proporcionan evidencia sólida,.
pero pueden ser engañosos y no reemplazan para una prueba rigurosa. Entonces, para una prueba geométrica.
y algebraica bastante interesante de estos hechos, consulte el vídeo de prueba de esta sección. El.
hecho de que el límite como theta llegue a cero del seno theta sobre theta es realmente útil.
cuando se desea aproximar el seno theta. Porque intuitivamente, esto quiere decir que el seno.
theta es aproximadamente igual al propio theta. cuando theta está cerca de cero, porque la proporción.
es aproximadamente uno. Entonces si quiero aproximarme seno de este valor de theta, sin calculadora, puedo.
usar ese hecho. Y decir que el seno de 0,01769 será aproximadamente igual a 0,01769. Este es un momento importante para recordar Tenga en cuenta que cuando hacemos estos límites,.
asumimos que theta está en radianes. Si es no en radianes, no obtendremos este lindo límite de uno.
aquí.Entonces esa es nuestra aproximación. Y podemos verificarlo en una calculadora y de hecho. obtengo un valor exacto de este número. hasta 10 decimales. Como puede ver, esta. es una muy buena aproximación. Podemos Utilice este mismo límite de grasa, nuevamente, en el siguiente. ejemplo, para calcular este
límite complicado. cuando x llega a cero, el límite de tan de 7x sobre. el seno de foreign exchange.
Y solo en términos de seno y coseno, así que voy a hacer eso primero. Eso sigue dividido por el seno de foreign exchange, y.
ahora voy a invertirlo y multiplicarlo para obtenga el seno de 7x sobre el coseno de 7x por uno sobre.
el seno de 4x.

Ahora intuitivamente, si x es cerca de cero, por lo tanto 7x y 4x también están cerca.
de cero, entonces el seno de 7x es aproximadamente igual a 7x. Y el seno de 4x es aproximadamente igual a 4x. Entonces,.
intuitivamente, este límite debería ser prácticamente lo mismo que el límite cuando.
x llega a cero de 7x sobre el coseno 7x 4x. Y cancelando el acceso, esto equivale.
a siete cuartos del límite.

Así que estoy restando el término f de x, g de x más h, y luego volver a sumarlo. Así que estoy restando el
término f de x, g de x más h, y luego volver a sumarlo. Entonces si quiero aproximarme seno de este valor de theta, wrong calculadora, puedo. Eso sigue dividido por el seno de forex, y. ahora voy a invertirlo y multiplicarlo para obtenga el seno de 7x sobre el coseno de 7x por uno sobre. Eso sigue dividido por el seno de forex, y.
ahora voy a invertirlo y multiplicarlo para obtenga el seno de 7x sobre el coseno de 7x por uno sobre.de uno de nuestros cosenos 7x. Dado que el coseno
Pero esto es realmente útil. Ahora voy a reescribir el Foreign exchange el signo de x. Y todavía me queda un 7x.
desde arriba y un 4x. Desde el fondo Aquí puedo cancelar esas x. Y puedo notar que este límite aquí, cuando x va a 07, x va a cero, por lo que el seno 7x sobre 7x será igual a uno. Y de manera comparable cuando x tiende a cero, porque x tiende a cero.Entonces.

el límite de 4x alguna vez firmado para x es el recíproco de uno, también es uno. Y finalmente, este.
límite en el medio aquí, cuando x va a 07, x va a cero, por lo que el coseno.
de 7x va a uno, y todo en el mundo va a uno excepto el 7/4. Entonces este límite es.
siete cuartos. En este video clip, encontramos que el límite cuando.
Y el límite cuando theta va a.
cero del coseno theta menos uno sobre theta es igual a cero.Hay una buena prueba de estos. Cuando compones dos funciones, aplicas la.
Y luego aplicas el segunda función a la salida de la primera función. Por ejemplo, la primera función podría calcular el tamaño de la población a partir del tiempo en.
años. En este video clip, encontramos que el límite cuando.
theta va a cero del seno theta sobre theta es igual a uno. Y el límite cuando theta va a.
cero del coseno theta menos uno sobre theta es igual a cero. Hay una buena prueba de estos.
hechos en un video back para esta sección.Cuando compones dos funciones, aplicas la. primera función.
Y luego aplicas el segunda función a la salida de la primera función. Por ejemplo, la primera función podría calcular el tamaño de la población a partir del tiempo en.
años. Entonces su entrada sería el tiempo en años, desde una fecha.
determinada, mientras que la salida sería el número de identities en la población. La segunda función g, podría.
calcular los costos de atención médica como una función del tamaño de la población. Por lo tanto, tomará como insumo el tamaño.
de la población y su resultado será la atención sanitaria. costos. Si juntas estas funciones, es decir,.
las compones, entonces recorrerás todos los desde el tiempo en años hasta los costos de atención.
médica.Esta es tu composición, g compuesta disadvantage F. Se specify la composición de dos funciones,. escrita g con un circulito, f de x como sigue. g compuesto con f de x es G evaluado en. f de x, podemos pensarlo esquemáticamente y entonces, en el diagrama, f actúa sobre un número x y generate. un número f de x, luego g
toma esa salida f de x y produce un nuevo número, g de f de x. Nuestra. composición de funciones g compuestas. donde F es la función que va desde X hasta. g de f de x. Resolvamos algunos Ejemplos donde nuestras funciones están definidas por. tablas de valores. Si queremos encontrar g compuesto con F de cuatro, por definición, esto significa. g de f de cuatro. Para evaluar esta expresión, Siempre trabajamos de adentro hacia afuera. Entonces.
comenzamos trick el valiance x de cuatro y encontramos f de cuatro usando la tabla de valores para f de.
Ahora necesitamos evaluar g de siete, siete se convierte en nuestro nuevo valor x en nuestra. Entonces g de siete es igual.
a 10. Encontramos que g compuesto disadvantage F de cuatro es igual a 10. Si en cambio queremos.
encontrar f compuesta con g de cuatro, bueno, Puedes reescribir que sea f de g de cuatro y, nuevamente, trabajar.
de adentro hacia afuera. Ahora estamos intentando para encontrar g de cuatro, entonces cuatro es nuestro valiance.
de x. Y usamos nuestra tabla de valores para G para ver que g de cuatro es uno. Entonces reemplazamos por.
cuatro por uno, y ahora necesitamos evaluar f de uno. Usando nuestra tabla para valores F, f de.
uno es ocho. Observe que cuando hemos calculado g de f de cuatro, obtuvimos una respuesta diferente.
cuando calculamos F de G, F cuatro. Y en basic, g compuesta disadvantage F no es lo mismo.
que f compuesta con g. Entonces su entrada sería el tiempo en años, desde una fecha.
determinada, mientras que la salida sería el número de identities en la población.La segunda función

g, podría.
calcular los costos de atención médica como una función del tamaño de la población. Por lo tanto, tomará como insumo el tamaño.
de la población y su resultado será la atención sanitaria. costos. Si juntas estas funciones, es decir,.
las compones, entonces recorrerás todos los desde el tiempo en años hasta los costos de atención.
médica. Esta es tu composición, g compuesta disadvantage F. Se specify la composición de dos funciones,.
escrita g disadvantage un circulito, f de x como sigue. g compuesto disadvantage f de x es G evaluado en.
f de x, podemos pensarlo esquemáticamente y entonces, en el diagrama, f actúa sobre un número x y create.
un número f de x, luego g toma esa salida f de x y create un nuevo número, g de f de x.Nuestra.

composición de funciones g compuestas. donde F es la función que va desde X hasta.
g de f de x. Resolvamos algunos Ejemplos donde nuestras funciones están definidas por.
tablas de valores. Si queremos encontrar g compuesto disadvantage F de cuatro, por definición, esto significa.
g de f de cuatro. Para evaluar esta expresión, Siempre trabajamos de adentro hacia afuera.Entonces.

comenzamos con el valor x de cuatro y encontramos f de cuatro usando la tabla de valores para f de.
x. Cuando x es igual a cuatro, f de x es siete, entonces podemos reemplazar F de cuatro con el número.
siete. Ahora necesitamos evaluar g de siete, siete se convierte en nuestro nuevo valiance x en nuestra.
tabla de valores para G, el valor x de siete corresponde al valor G de X de 10. Entonces g de siete es igual.
a 10. Encontramos que g compuesto disadvantage F de cuatro es igual a 10. Si en cambio queremos.
encontrar f compuesta con g de cuatro, bueno, Puedes reescribir que sea f de g de cuatro y, nuevamente, trabajar.
de adentro hacia afuera. Ahora estamos intentando para encontrar g de cuatro, entonces cuatro es nuestro valiance.
de x.Y usamos nuestra tabla de valores para G para ver que g de cuatro es uno. Entonces reemplazamos por.
cuatro por uno, y ahora necesitamos evaluar f de uno. Usando nuestra tabla para valores F, f de.
uno es ocho. Observe que cuando hemos calculado g de f de cuatro, obtuvimos una respuesta diferente.
cuando calculamos F de G, F cuatro. Y en basic, g compuesta disadvantage F no es lo mismo.
que f compuesta con g.Por favor Por favor Pausa el vídeo y tómate un momento para calcular los.
siguientes dos ejemplos. Podemos reemplazar f compuesta disadvantage F de dos por la expresión equivalente, f de f.
de dos. Trabajando desde adentro hacia afuera, sabemos que f de dos es tres y f de tres es seis. Si queremos encontrar f compuesta disadvantage g de seis, reescribe eso como f de g de seis no es.
la tabla para g, g de seis es ocho. pero f de ocho, ocho no está sobre la mesa como.
valiance de x para la función f. Y entonces no hay F de ocho, esto no existe, podemos decir.
que seis no está en el dominio, para F compuesta disadvantage g. Aunque estaba en el.
dominio de g, no pudimos seguirlo todo. el camino y obtener un valor para F compuesto con g de.
seis. A continuación, dirijamos nuestra atención.A la composición

de funciones que están dadas por. ecuaciones.
Pausa el vídeo y tómate un momento para calcular los.
Podemos reemplazar f compuesta con F de dos por la expresión equivalente, f de f.
de dos. Si queremos encontrar f compuesta con g de seis, reescribe eso como f de g de seis no es.
la tabla para g, g de seis es ocho. pero f de ocho, ocho no está sobre la mesa como.
valiance de x para la función f. Y entonces no hay F de ocho, esto no existe, podemos decir.
que seis no está en el dominio, para F compuesta disadvantage g. Aunque estaba en el.
dominio de g, no pudimos seguirlo todo. el camino y obtener un valor para F compuesto disadvantage g de.
seis. A continuación, dirijamos nuestra atención. a la composición de funciones que están dadas por.
Queremos encontrar q compuesto con P de uno.P de x es x al cuadrado más x y q de x es negativo 2x. Como siempre, puedo reescribir esto como Q de P de.
uno y trabajar de adentro hacia afuera. P de uno es uno al cuadrado más uno, entonces child dos. Entonces.
esto es lo mismo que Q de dos. pero cola de dos es menos dos por dos o menos cuatro. Entonces.
esto se evalúa como menos cuatro. En el siguiente ejemplo, queremos encontrar q compuesto.
con P de alguna x arbitraria, o reescribirlo como de costumbre como Q de p de x y trabaja de adentro.
hacia afuera.Bueno, p de x, conocemos la fórmula para eso, eso es x al cuadrado más x. Entonces puedo.
reemplazar mi P de x disadvantage esa expresión. Ahora, Estoy atascado en evaluar q en x al cuadrado más x. Bueno, la cola de cualquier cosa es menos dos. veces esa cosa. Entonces q de x al cuadrado.
más x será negativo dos veces la cantidad x al cuadrado más x, lo que he hecho es sustituir en.
toda la expresión x al cuadrado más x, donde vi la X en esta fórmula para q de x,.
es importante usar los paréntesis aquí, de modo que multiplicaremos menos dos por.
la expresión completa y no solo por la primera pieza, puedo simplificar esto un poco como.
negativo 2x al cuadrado menos 2x.

Y ese es mi expresión para Q compuesta con p de x. Observe.
que si quisiera calcular q compuesto disadvantage P de uno, que ya hice en el guide problema,.
podría usar esta expresión ahora, menos dos por uno al cuadrado menos dos.
y obtengo menos cuatro, tal como lo hice antes antes. Probemos con otro. Probemos p compuesto.
con q de x. Primero leí bien esto. P de q de x. Trabajando de adentro hacia afuera, puedo.
reemplazar q de x con 2x negativo. Entonces Necesito calcular P de 2x negativo. Aquí está mi.
fórmula para P. para calcular P de esta expresión, Necesito insertar esta expresión en todos los lugares.
donde veo una x en la fórmula para P. Eso significa negativo 2x al cuadrado más negativo 2x. Nuevamente,.
tenga cuidado de usar paréntesis para asegurarse Conecto la expresión completa para x.Déjame.

simplificar. Esto es 4x al cuadrado menos 2x. Observe que obtuve expresiones diferentes para.
Q de p de x. Y para P de q de x. Una vez Nuevamente vemos que q compuesta con P no es necesariamente.
igual a P compuesta disadvantage Q. Por favor Pausa el vídeo y prueba este último ejemplo tú.
mismo, reescribiendo y trabajando desde dentro. Vamos a reemplazar p de x con su expresión.
x al cuadrado más x.Y luego necesitamos evaluar p sobre x al cuadrado Como siempre, puedo reescribir esto como Q de P de.
uno y trabajar de adentro hacia afuera. P de uno es uno al cuadrado más uno, entonces son dos. Entonces.
esto es lo mismo que Q de dos. pero cola de dos es menos dos por dos o menos cuatro. Entonces.
esto se evalúa como menos cuatro. En el siguiente ejemplo, queremos encontrar q compuesto.
con P de alguna x arbitraria, o reescribirlo como de costumbre como Q de p de x y trabaja de adentro.
hacia afuera. Bueno, p de x, conocemos la fórmula para eso, eso es x al cuadrado más x. Entonces puedo.
Ahora, Estoy atascado en evaluar q en x al cuadrado más x. Bueno, la cola de cualquier cosa es menos dos. Entonces q de x al cuadrado.
más x será negativo dos veces la cantidad x al cuadrado más x, lo que he hecho es sustituir en.
toda la expresión x al cuadrado más x, donde vi la X en esta fórmula para q de x,.
es importante usar los paréntesis aquí, de modo que multiplicaremos menos dos por.
la expresión completa y no solo por la primera pieza, puedo simplificar esto un poco como.
negativo 2x al cuadrado menos 2x.

Y ese es mi expresión para Q compuesta disadvantage p de x. Observe.
que si quisiera calcular q compuesto con P de uno, que ya hice en el primer problema,.
podría usar esta expresión ahora, menos dos por uno al cuadrado menos dos.
y obtengo menos cuatro, tal como lo hice antes stakes. Probemos con otro. Probemos p compuesto.
con q de x. Primero leí bien esto. P de q de x. Trabajando de adentro hacia afuera, puedo.
reemplazar q de x con 2x negativo. Entonces Necesito calcular P de 2x negativo.Aquí está mi.

fórmula para P. para calcular P de esta expresión, Necesito insertar esta expresión en todos los lugares.
donde veo una x en la fórmula para P. Eso significa negativo 2x al cuadrado más negativo 2x. Nuevamente,.
tenga cuidado de usar paréntesis para asegurarse Conecto la expresión completa para x. déjame.
simplificar. Esto es 4x al cuadrado menos 2x. Observe que obtuve expresiones diferentes para.
Q de p de x. Y para P de q de x. Una vez Nuevamente vemos que q compuesta disadvantage P no es necesariamente.
igual a P compuesta con Q.Por favor Pausa el vídeo y prueba este último ejemplo tú.
mismo, reescribiendo y trabajando desde dentro. Vamos a reemplazar p de x con su expresión.
x al cuadrado más x. Y luego necesitamos evaluar p sobre x al cuadrado más x. más x. Eso significa que nos conectamos Eso significa que nos conectamos x al cuadrado más x, x al cuadrado más x, en todas partes vemos una x en esta fórmula, entonces.
eso es x al cuadrado más x cantidad al cuadrado más x al cuadrado más x. Una vez más, puedo simplificar.
distribuyendo, eso me da x a la cuarto más 2x al cubo más x al cuadrado más x al.
cuadrado más x, o x elevado al cuarto más 2x al cubo más 2x al cuadrado más x.En este último.
conjunto de ejemplos, se nos pide que retrocedamos, nos dan una fórmula para una función de h de x. Pero se supone que debemos reescribir h de x como una composición de dos funciones, F y G. Pensemos por un minuto, ¿ cuál de estas dos Las funciones se aplican primero, f compuesta con.
g de x, veamos, eso significa f de g de x. Y dado que evaluamos estas expresiones de adentro.
hacia afuera, primero debemos aplicar g, y luego F. Para descubrir qué podrían ser f.
y g, me gusta dibujar un cuadro alrededor algo dentro de mi expresión para H, así que dibujaré.
un cuadro alrededor de x al cuadrado más siete, entonces lo que sea que esté dentro de la caja, esa.
será mi función, g de x, la primera función que se aplica, pase lo que pase con la caja,.
en este caso, sacando la raíz cuadrada signo, esa se convierte en mi función externa, mi.
segunda función f.Así que aquí vamos a decir g de x es igual a x al cuadrado más siete, y f.
de x es igual a la raíz cuadrada de x, digamos solo verifique y asegúrese de que esto funcione. Así que necesito comprobar que cuando tome la composición, f compuesto con g, necesito obtener lo mismo.
que mi h original. Así que veamos, si yo hacer f compuesta disadvantage g de x, bueno, por definición,.
eso es f de g de x. en todas partes vemos una x en esta fórmula, entonces.
eso es x al cuadrado más x cantidad al cuadrado más x al cuadrado más x. Una vez más, puedo simplificar.
distribuyendo, eso me da x a la cuarto más 2x al cubo más x al cuadrado más x al.
cuadrado más x, o x elevado al cuarto más 2x al cubo más 2x al cuadrado más x. En este último.
conjunto de ejemplos, se nos pide que retrocedamos, nos dan una fórmula para una función de h de x. Pero se supone que debemos reescribir h de x como una composición de dos funciones, F y G. Pensemos por un minuto, ¿ cuál de estas dos Las funciones se aplican primero, f compuesta disadvantage.
g de x, veamos, eso significa f de g de x.Y dado que evaluamos estas expresiones de adentro.
hacia afuera, primero debemos aplicar g, y luego F. Para descubrir qué podrían ser f.
y g, me gusta dibujar un cuadro alrededor algo dentro de mi expresión para H, así que dibujaré.
un cuadro alrededor de x al cuadrado más siete, entonces lo que sea que esté dentro de la caja, esa.
será mi función, g de x, la primera función que se aplica, pase lo que pase con la caja,.
en este caso, sacando la raíz cuadrada signo, esa se convierte en mi función externa, mi.
segunda función f.Así que aquí vamos a decir g de x es igual a x al cuadrado más siete, y f.
de x es igual a la raíz cuadrada de x, digamos solo verifique y asegúrese de que esto funcione. Así que necesito comprobar que cuando tome la composición, f compuesto con g, necesito obtener lo mismo.
que mi h initial. Así que veamos, si yo hacer f compuesta disadvantage g de x, bueno, por definición,.
eso es f de g de x. Trabajando de adentro hacia afuera, puedo reemplazar.
g de x disadvantage su fórmula x al cuadrado más siete. Entonces necesito evaluar f de x al cuadrado más siete. Eso significa que conecto x al cuadrado más siete, en la fórmula para F. Entonces eso se convierte.
en la raíz cuadrada de x al cuadrado más siete, dos, funciona porque synchronize con mi ecuación.
initial. Entonces encontramos una respuesta correcta. una forma correcta de descomponer h como una composición.
de dos funciones. Pero sí quiero señalar, esta no es la única respuesta correcta. Escribiré.
mi fórmula para H de X nuevamente y Esta vez pondré el cuadro en un lugar diferente,.
solo encajonaré la x al cuadrado.Si lo hice eso

, entonces mi función interna, mi primera función,.
g de x sería x al cuadrado. Y mi segunda función es lo que pasa Trabajando de adentro hacia afuera, puedo reemplazar.
g de x con su fórmula x al cuadrado más siete. Entonces necesito evaluar f de x al cuadrado más siete. Eso significa que conecto x al cuadrado más siete, en la fórmula para F. Entonces eso se convierte.
en la raíz cuadrada de x al cuadrado más siete, dos, funciona porque correspond con mi ecuación.
initial. Entonces encontramos una respuesta correcta. una forma correcta de descomponer h como una composición.
de dos funciones.Pero sí quiero señalar, esta no es la única respuesta correcta. Escribiré. mi fórmula para H de X nuevamente y Esta vez pondré el cuadro en un lugar diferente,.
solo encajonaré la x al cuadrado. Si lo hice eso, entonces mi función interna, mi primera función,.
Y mi segunda función es lo que pasa a la caja. Entonces mi f de x es lo que le sucede a la caja,.
y a la caja se le suman siete, y tomando la raíz cuadrada. En otras palabras, f de.
x será la raíz cuadrada de x más siete. Nuevamente, puedo comprobar que esto funciona. Si hago.
f compuesta con g de x, eso es f Entonces mi f de x es lo que le sucede a la caja,.
Nuevamente, puedo comprobar que esto funciona. Si hago.
f de x al cuadrado. Cuando conecto x al cuadrado para x, de hecho obtengo la raíz cuadrada de x al cuadrado más.
siete. Entonces esta es una alternativa correcta. solución. En este video clip, aprendemos a evaluar la.
composición de funciones. reescribiendo y trabajando desde adentro hacia afuera.

Podemos reemplazar f compuesta con F de dos por la expresión equivalente, f de f.
de dos. Si queremos encontrar f compuesta con g de seis, reescribe eso como f de g de seis no es.
Podemos reemplazar f compuesta con F de dos por la expresión equivalente, f de f.
de dos. Si queremos encontrar f compuesta con g de seis, reescribe eso como f de g de seis no es.
Queremos encontrar q compuesto con P de uno.P de x es x al cuadrado más x y q de x es negativo 2x.También aprendemos
a descomponer una función complicada. en una composición de dos funciones encajonando
una parte de la función y dejando que el Primera función aplicada en la composición. Sea ese el interior de la caja y el La segunda función aplicada en la composición es cualquier
cosa que suceda con la caja.Ahora g de x es x al

cuadrado, así que estoy tomando f de x al cuadrado.
Cuando conecto x al cuadrado para x, de hecho obtengo la raíz cuadrada de x al cuadrado más siete. Entonces esta es una alternativa correcta. solución. En este video, aprendemos a evaluar la composición de funciones.
de la ecuación, no cambio el valiance de la ecuación Multiplicando el menos común El denominador en ambos lados de la ecuación. equivale a multiplicarlo por los tres. términos en la ecuación, puedo ver esto cuando multiplico, reescribiré
el lado izquierdo Lo mismo que antes, más o menos. Y luego distribuiré el lado derecho para obtener x más tres por x por uno más x más tres por x. por uno sobre x. Así que en realidad he Multipliqué el mínimo común denominador por los. tres términos de mi ecuación.Ahora puedo Diviértete cancelando cosas. La x más tres. se cancela con la x más tres en el denominador.
Aquí no hay nada que se cancele. porque no hay denominador, y aquí boy la x en el numerador se cancela con la x en el. denominador. Entonces puedo reescribir mi expresión como x al cuadrado es igual a x más.
tres por x por uno más x más tres. Ahora soy va a simplificar. Así que dejaré x al cuadrado. solo en este lado y distribuiré x al cuadrado más 3x más x más tres, oye, mira, la. x al cuadrado se cancela en ambos lados.Y entonces obtengo que cero es igual a 4x más tres,.
por lo que 4x es menos tres y x es menos tres cuartos. Finalmente, voy a ingresar mi respuesta para. verificar.
Esta es una buena idea para cualquier tipo de ecuación. Pero es especialmente importante para. una ecuación racional porque ocasionalmente para ecuaciones racionales, obtendrás lo.
que se llama soluciones extrañas que en realidad no funcionan en tu ecuación initial porque. hacen que el denominador sea cero. Ahora, En este ejemplo, no creo que obtengamos. las ecuaciones extrañas, porque negativas tres cuartos no harán que ninguno de estos denominadores. sea cero, por lo que debería funcionar sale bien cuando lo conecto. Si lo conecto, obtengo. esto, puedo simplificar el denominador aquí, menos tres cuartos más tres, tres es 12, pues los. conjuntos se convierten en nueve cuartos, y esto es uno o voltea y multiplica para obtener menos cuatro tercios. Así que aquí puedo simplificar mi complejo.Fracción, termina siendo menos tres noches,. y uno menos cuatro tercios es negativo 1/3.

De modo que todo parece estar bien. Entonces.
El siguiente ejemplo parece un poco
más. Y lo es, pero el mismo enfoque. Entonces aquí, mis denominadores boy c menos cinco, c más uno y C al cuadrado menos
.
Entonces necesito el element c menos. Y ahora ya.
tengo todos los factores que necesito para este denominador. Así que aquí está mi mínimo común. denominador
. El siguiente paso es borrar los denominadores. Entonces hago esto multiplicando ambos lados de. la ecuación por mi mínimo común denominador. De hecho, puedo multiplicar cada uno de los tres términos. por el mínimo común denominador. I Seguí adelante y escribí mi tercer denominador en forma.
factorizada para que fuera más fácil de ver.Lo que cancela. Ahora la cancelación del tiempo muere,
. esto muere y ambos factores mueren.

Este video trata sobre la resolución de ecuaciones racionales. Una ecuación racional como esta ecuación que tiene expresiones racionales y que, en otras. palabras, una ecuación que tiene algunas variables en el denominador. Existen varios enfoques diferentes. para resolver una ecuación racional, pero todos empiezan por encontrar el mínimo común. denominador.
En este ejemplo, los denominadores kid x más tres y x, podemos pensar que uno tiene. simplemente un denominador de uno.Desde Los denominadores no tienen factores en común,. puedo encontrar el mínimo común denominador.

simplemente multiplicándolos. Mi próximo.
paso será limpiar el denominador. Disadvantage esto quiero decir que multiplico ambos lados.
Ya. Multiplicando el menos común El denominador en ambos lados de la ecuación.
equivale a multiplicarlo por los tres.Términos en la ecuación, puedo ver esto cuando.
multiplico, reescribiré el lado izquierdo Lo

mismo que stakes, más o menos.
Y luego distribuiré. Ahora puedo Diviértete cancelando cosas.
La x más tres. se cancela con la x más tres en el denominador. Aquí no hay nada que se cancele.
porque no hay denominador, y aquí child la x en el numerador se cancela con la x en el.
denominador. Entonces puedo reescribir mi expresión como x al cuadrado es igual a x más. tres por x por uno más x más tres. Ahora soy va a simplificar. Así que dejaré x al cuadrado. solo en este lado y distribuiré x al cuadrado más 3x más x más tres, oye, mira, la.
x al cuadrado se cancela en ambos lados.Y entonces obtengo que cero es igual a 4x más tres,. por lo que 4x es menos tres y x es menos tres cuartos. Finalmente, voy a ingresar mi respuesta para.
verificar. Esta es una buena concept para cualquier tipo de ecuación. Pero es especialmente importante para.
una ecuación racional porque ocasionalmente para ecuaciones racionales, obtendrás lo.
que se llama soluciones extrañas que en realidad no funcionan en tu ecuación original porque.
hacen que el denominador sea cero. Ahora, En este ejemplo, no creo que obtengamos.
las ecuaciones extrañas, porque negativas tres cuartos no harán que ninguno de estos denominadores.
sea cero, por lo que debería funcionar sale bien cuando lo conecto. Si lo conecto, obtengo.
esto, puedo simplificar el denominador aquí, menos tres cuartos más tres, tres es 12, pues los.
conjuntos se convierten en nueve cuartos, y esto es uno o voltea y multiplica para obtener menos cuatro tercios. Así que aquí puedo simplificar mi complejo.Fracción, termina siendo menos tres noches,. y uno menos cuatro tercios
es negativo 1/3. De modo que todo parece estar bien. Entonces. mi respuesta last es x es igual a menos tres. cuartos. El siguiente ejemplo parece un poco más.
Y lo es, pero el mismo enfoque. En guide lugar, encuentre el mínimo común.
denominador. Entonces aquí, mis denominadores kid c menos cinco, c más uno y C al cuadrado menos.
cuatro c menos cinco, voy a factorizar eso como C menos cinco por c más uno.Ahora, mi.

mínimo común denominador sólo debe tener suficientes factores para que cada uno de estos denominadores.
se divida en él. Entonces necesito el factor c menos. cinco, necesito el variable c más uno. Y ahora ya.
tengo todos los factores que necesito para este denominador. Así que aquí está mi mínimo común.
denominador. El siguiente paso es borrar los denominadores. Entonces hago esto multiplicando ambos lados de.
la ecuación por mi mínimo común denominador. De hecho, puedo multiplicar cada uno de los tres términos.
por el mínimo común denominador. I Seguí adelante y escribí mi tercer denominador en forma.
factorizada para que fuera más fácil de ver. lo que cancela. Ahora la cancelación del tiempo muere,.
esto muere y ambos factores mueren. cancelar los denominadores, el objetivo de multiplicar.
por el mínimo común denominador, estás multiplicando por algo que es lo suficientemente.
grande como para matar cada denominador, así que Ya no tienes que lidiar con denominadores. Ahora.
voy a simplificar multiplicando. Entonces obtengo, veamos, c más uno por cuatro c, eso.
es cuatro c al cuadrado más cuatro c, ahora Obtengo menos c menos cinco, y luego aquí,.
obtengo tres c al cuadrado más tres, Puedes reescribir la cantidad negativa c menos cinco.
como menos c más cinco.Y ahora puedo

restar las tres c al cuadrado de ambos lados para obtener.
solo una C al cuadrado aquí, y las cuatro c menos c, eso se convierte en tres C. Y finalmente,.
puedo restar el tres de ambos lados para obtener c al cuadrado más tres c más dos es igual.
a cero. Me compré una ecuación cuadrática que Parece uno bueno que tiene en cuenta. Entonces esto.
factoriza C más uno por c más dos es igual cero. Entonces, c más uno es cero, o C más dos es.
cero, por lo que C es igual a menos uno, o C es igual a menos dos. Ahora veamos, todavía tenemos.
que comprobar nuestras respuestas. sin siquiera ir a la molestia de calcular cualquier cosa, puedo.
ver que C es igual a menos uno no es va a funcionar, porque si lo conecto a este.
denominador aquí, obtengo un denominador de cero, lo cual no tiene sentido. Entonces C es igual.
a menos uno es una solución extraña, no lo hace realmente satisface mi ecuación original. Entonces puedo tacharlo, C es igual negativo dos.Puedo seguir adelante si sigo adelante,. y eso no hace que ninguno de mis denominadores sea cero. Entonces, si no he cometido ningún mistake, debería. satisfacer mi ecuación original, pero lo haré. simplemente conéctelo para estar seguro. Y después de simplificar. un poco, obtengo una afirmación verdadera. Así que mi la respuesta last es C es igual a menos dos. En. este video, resolvimos un par de racionales. ecuaciones, utilizando el método de encontrar el. mínimo común denominador y luego despejando el denominador, limpiamos el denominador multiplicando. ambos lados de la ecuación por
el mínimo común denominador o equivalente. multiplicando. cada uno de los términos por ese denominador. Hay otro método equivalente que algunas. characters prefieren, pero empieza igual, encontramos el mínimo común denominador, pero luego. escribimos todas las fracciones sobre ese Mínimo común denominador.Entonces, en este ejemplo,. seguiríamos usando el mínimo común denominador.

de x más tres por x. cancelar los
denominadores, el objetivo de multiplicar. por el mínimo común denominador, estás multiplicando por algo que es lo suficientemente. grande como para matar cada denominador, así que Ya no tienes que lidiar disadvantage denominadores. Ahora. voy a simplificar multiplicando. Entonces obtengo, veamos, c más uno por cuatro c, eso. es cuatro c al cuadrado más cuatro c, ahora Obtengo menos c menos cinco, y luego aquí,. obtengo tres c al cuadrado más tres, Puedes reescribir la cantidad negativa c menos cinco. como menos c más cinco. Y ahora puedo restar las tres c al cuadrado de ambos lados para obtener. solo una C al cuadrado aquí, y las cuatro c menos c, eso se convierte en tres C.Y finalmente,. puedo restar el tres

de ambos lados para obtener c al cuadrado más tres c más dos es igual. a cero. Me compré una ecuación cuadrática que Parece uno bueno que tiene en cuenta. Entonces esto. factoriza C más uno por c más dos es igual cero. Entonces, c más uno es cero, o C más dos es.
cero, por lo que C es igual a menos uno, o C es igual a menos dos. Ahora veamos, todavía tenemos.
que comprobar nuestras respuestas. wrong siquiera ir a la molestia de calcular cualquier cosa, puedo.
ver que C es igual a menos uno no es va a funcionar, porque si lo conecto a este.
denominador aquí, obtengo un denominador de cero, lo cual no tiene sentido. Entonces C es igual.
a menos uno es una solución extraña, no lo hace realmente satisface mi ecuación initial. Entonces puedo tacharlo, C es igual negativo dos. Puedo seguir adelante si sigo adelante,.
y eso no hace que ninguno de mis denominadores sea cero. Entonces, si no he cometido ningún error, debería.
satisfacer mi ecuación original, pero lo haré.Simplemente conéctelo

para estar seguro. Y después de simplificar. un poco, obtengo una afirmación verdadera. Así que mi la respuesta final es C es igual a menos dos. En. este video clip, resolvimos un par de racionales. ecuaciones, utilizando el método de encontrar el. mínimo común denominador y luego despejando el denominador, limpiamos el denominador multiplicando. ambos lados de la ecuación por
el mínimo común denominador o equivalente. multiplicando. cada uno de los términos por ese denominador. Hay otro método equivalente que algunas. identities prefieren, pero empieza igual, encontramos el mínimo común denominador, pero luego. escribimos todas las fracciones sobre ese Mínimo común denominador. Entonces, en este ejemplo,. seguiríamos usando el mínimo común denominador.
Así que uno, Para obtener el denominador común de x más 3x,.
Entonces esto es x más tres por x más x más. Y ahora tengo dos fracciones que tienen que boy iguales, que tienen el mismo denominador, por. Entonces obtengo x al cuadrado es x más tres por x más x más tres.
Al elegir Entre estos dos métodos, personalmente tiendo a preferir. No es necesario que los escribas tantas.
entender, cualquiera de estos métodos está bien. Una última advertencia. No olvides al last comprobar.
Ve a cero. Aquí se muestra en azul una gráfica de la función. Aquí, cuando x es igual a cero, la anus tangente tiene una pendiente positiva.
A medida que x aumenta a pi sobre dos, la pendiente de la recta tangente sigue. A continuación, la pendiente se vuelve cada vez más. Siguiendo.
Por support pausa el video y haga un ejercicio comparable para la gráfica de y es. igual al coseno de x a continuación, es decir, use la gráfica de y es igual al coseno x para estimar.
la forma de la gráfica de y es igual al coseno prima de x.Observe que cuando x es igual a cero,. la pendiente de la recta tangente aquí es cero, esa pendiente se vuelve negativa y luego llega a cero. nuevamente stakes de volverse positiva. Entonces el La gráfica de la derivada debería knowledgeable así. Este nuevo gráfico azul parece el reflejo upright del gráfico azul de. arriba sugiere que la derivada del coseno de x es igual al negativo del seno de x. Entonces. tenemos evidencia gráfica de que la derivada del seno x es igual al coseno de x, y la derivada. del coseno de x es igual a negativo seno de x. Para obtener pruebas de estos hechos, consulte. el vídeo de prueba independiente de esta sección. Una vez que tenemos las derivadas del seno y el coseno,. tenemos el poder de calcular las
derivadas. de muchas otras funciones trigonométricas también. Pero nuestro siguiente paso sería escribir cada una de. estas expresiones racionales sobre ese espacio común. denominador multiplicando la parte superior e inferior. por las cosas apropiadas. Así que uno, Para obtener el denominador común de x más 3x,. necesito multiplicar la parte premium y la parte inferior por x más tres veces x, siempre que x,. necesito multiplicar la parte exceptional y la inferior sólo por x más tres ya que eso es lo que falta. en el denominador x.Ahora si simplifico un poco, digamos que esto es x al cuadrado.

sobre ese denominador común, y aquí tengo solo x más tres por x
sobre ese denominador, y aquí. tengo x más tres sobre ese denominador común denominador. Ahora suma mis fracciones del. lado derecho, para que tengan un denominador común.
Entonces esto es x más tres por x más x más. tres. Y ahora tengo dos fracciones que tienen que boy iguales, que tienen el mismo denominador, por. lo tanto, sus numeradores tienen que ser iguales también. Entonces el siguiente paso es igualar los numeradores. Entonces obtengo x al cuadrado es x más tres por x más x más tres. Y si miras atrás a. la forma former, resolvemos esta ecuación, Reconocerás esta ecuación.
Y de aquí. Al elegir Entre estos dos métodos, personalmente tiendo a preferir.
deshacerse de esos denominadores. más temprano. No es necesario que los escribas tantas. veces, pero a algunas personas les parece un poco Un poco más fácil de recordar, un poco más fácil de. entender, cualquiera de estos métodos está bien.Una última advertencia. No olvides al final comprobar. tus soluciones y eliminar cualquier soluciones extrañas. Estas serán soluciones que.
Ve a cero. Este video clip muestra la derivada. Aquí se muestra en azul una gráfica de la función.
de las rectas tangentes. Aquí, cuando x es igual a cero, la recta tangente tiene una pendiente positiva. de aproximadamente uno.A medida que x aumenta a pi sobre dos, la pendiente de la recta tangente sigue.
siendo positiva, pero disminuye a cero. A continuación, la pendiente se vuelve cada vez más.
Siguiendo.

Una ecuación racional como esta ecuación que tiene expresiones racionales y que, en otras. Me compré una ecuación cuadrática que Parece uno bueno que tiene en cuenta. Me compré una ecuación cuadrática que Parece uno bueno que tiene en cuenta. Y ahora tengo dos fracciones que tienen que boy iguales, que tienen el mismo denominador, por. Y ahora tengo dos fracciones que tienen que son iguales, que tienen el mismo denominador, por.Por favor pausa el video clip y haga un ejercicio similar para la gráfica de y es
igual al coseno de x a continuación, es decir, make use of la gráfica de y es igual al coseno x para estimar
Entonces el La gráfica de la derivada debería knowledgeable así.
En este video clip, daré pruebas de los dos. Y el La derivada del coseno es el signo menos.
siempre tienen un negativo, y la raíz de las funciones trigonométricas que no tienen ko boy positivo. Ahora usemos estas fórmulas en un ejemplo. g de x es una expresión complicada que involucra varias funciones trigonométricas, así como una constante m, y tengo un the same level de opciones de cómo proceder. Podría intentar reescribir todas mis funciones trigonométricas
en términos de seno y coseno y simplificar, o podría atacar la derivada directamente usando la regla del cociente. Voy a utilizar el enfoque directo en este caso, pero a veces encontrarás que reescribir
facilitará las cosas. Entonces, usando la regla del cociente en el denominador, obtengo el original denominador
al cuadrado.En el numerador, obtengo bajo D alto para calcular la derivada de x coseno x, necesito la regla del producto
. Entonces obtengo x veces la derivada del coseno, que es seno negativo x, más la derivada de
x, que es solo uno por el coseno de x. Ahora yo hay que hacer un menos Hola, x coseno de

x dillow. La derivada de M es simplemente cero porque M es una constante, más la derivada de la cotangente que es cosecante negativa al cuadrado de x. Entonces Encontré la derivada, voy a seguir adelante y simplificar un poco multiplicando luego reescribiendo todo en términos de seno y coseno, y luego multiplicando el numerador y denominador por el seno al cuadrado de x, tenemos una expresión algo
simplificada para la derivada, Si memorizas las derivadas de las funciones trigonométricas, demostrarás que las dos primeras Las fórmulas child correctas en un video de prueba separado. En este video, daré pruebas de los dos. límite trigonométrico especial.
Y también demostraré que la derivada del seno es coseno. Y el La derivada del coseno es el signo menos.
Para demostrar que el límite del seno que está sobre theta es uno cuando theta llega a cero, comenzaré disadvantage una imagen.En esta foto tengo un círculo unitario un círculo de radio uno, y tengo dos triángulos rectángulos, un triángulo verde y un triángulo rojo más pequeño, ambos disadvantage ángulo theta. Ahora voy a argumentar en términos de áreas, si quiero calcular el área de este industry que he sombreado en azul aquí, en otros En otras palabras, en esa pieza con forma de pastel, primero puedo calcular el área del círculo, que es pi.Multiplicado por uno al cuadrado para el radio. Pero como el industry tiene un ángulo theta y el círculo completo tiene un ángulo dos pi, necesito multiplicar esa área del círculo por la razón theta sobre dos pi para representar la fracción del área del círculo que está incluida
en este industry. En otras palabras, el área del

field será simplemente theta sobre dos, donde theta se da en radianes. Ahora, si quiero calcular el área del pequeño triángulo rojo, Puedo hacer la mitad de la base por la altura. Ahora la base va a ser igual.Al coseno theta, porque aquí tengo un círculo de radio un ángulo theta, y la altura va a ser seno theta. Finalmente, el área del triángulo verde también es la mitad de la base por la altura. Pero ahora la base es una unidad completa y la altura está dada por tangente theta, desde opuesto, que es la altura aquí sobre adyacente, que es uno tiene que ser igual a la tangente theta. Ahora, si pongo todas esas áreas juntas, sé que el área del triángulo rojo, está bien es coseno theta. El seno theta sobre dos tiene que ser menor que o igual al área del field azul, theta sobre dos, que es menor o igual a la área del gran triángulo verde, que es tan
theta sobre dos.Ahora voy a multiplicar a través de esta desigualdad por dos y reescribir las cosas en términos de
seno y coseno para obtener coseno theta seno theta es menor o igual que theta es menor o igual que seno theta sobre coseno theta. Ahora voy a dividir mis desigualdades por seno theta, que no cambiará las desigualdades siempre que theta sea mayor que cero,

por lo que el seno theta es positivo. Y obtengo que el coseno theta es menor o igual que theta sobre el seno theta que es menor o igual a uno sobre coseno theta. Ahora bien, esta expresión del medio es el recíproco de la expresión.
Quiero tomar el límite de. Ahora he hecho un poco de trampa aquí.
Y realmente acabo de tomar el límite desde la derecha porque supuse que theta es mayor
que cero. Pero puedes comprobarlo si dices que es menor que cero, por lo que el signo de que, como negativo, el límite por la izquierda también será igual a uno, las
desigualdades se invertirán primero, pero aun así podrás usar el sándwich teorema
para obtener un límite de uno.Y esa es una genial prueba geométrica de este útil límite. del cálculo. Para demostrar que el límite del coseno theta menos uno sobre theta es cero, podemos De hecho, reescribe esta expresión y reutiliza el límite que acabamos de calcular. Así que permítanme Anota mi límite. Y voy a multiplicar esta expresión por el coseno theta más uno en el numerador y el denominador. Entonces no he cambiado la expresión, solo estoy multiplicando eso por uno. Ahora, si multiplico mi numerador, Y obtengo que el coseno theta es menor o igual que theta sobre el seno theta que es menor o igual a uno sobre coseno theta.Ahora bien, esta expresión del medio es el recíproco de la expresión. Quiero tomar el límite de.
Ahora he hecho un poco de trampa aquí. Usando la definición límite de derivada,. Entonces aquí, coseno de x cuando h tiende a cero es simplemente coseno de x. Este límite lo sabemos es cero.
el seno de x es justo decir seno de x, y seno de h sobre h va a uno,.
Por ejemplo, una partícula que se mueve de izquierda a derecha,. En este vídeo veremos ¿ Qué nos dicen la derivada y la segunda derivada. Y su posición está dada por esta ecuación donde.
Me piden encontrar s primo de T y S doble prima de t. Entonces, al derivar obtengo cuatro t al cubo. Para la segunda derivada, Obtengo coseno al cuadrado theta menos uno. Y de la.
Y ahora. puedo reagruparme para escribir mi seno theta theta, y mi otra copia de seno theta sobre coseno.
theta más uno, el límite de la primera La expresión será negativa, debido al límite.
que

acabamos de demostrar.Y el limite de la segunda expresión es simplemente cero sobre.
Y entonces mi respuesta
final last coseno x ya que queríamos la. Usando la definición límite de derivada,. Entonces aquí, coseno de x cuando h tiende a cero es simplemente coseno de x. Este límite lo sabemos es cero.
el seno de x es justo decir seno de x, y seno de h sobre h va a uno,.
lo que significa que nuestra respuesta final va a ser seno negativo de x multiplicado por uno o.
simplemente seno negativo de x, que es exactamente lo que queríamos.Eso es todo por las pruebas de. estos cuatro datos útiles de cálculo. rectilíneo movimiento o movimiento lineal significa el movimiento de.
un objeto a lo largo de una línea recta. Por ejemplo, una partícula que se mueve de izquierda a derecha,. o una bola que sube y baja. En este vídeo veremos ¿ Qué nos dicen la derivada y la segunda derivada. sobre el movimiento de un objeto restringido? moverse en línea recta. En este ejemplo, una partícula
se mueve. hacia arriba y hacia abajo a lo largo de una línea recta.Línea. Y su posición está dada por esta ecuación donde. las posiciones positivas significan que el partícula está por encima de su posición inicial, como.
sea que llame posición cero, y posiciones negativas significa que la partícula está por debajo de esta posición. inicial. Me piden encontrar s primo de T y S doble prima de t. Entonces, al derivar obtengo cuatro t al cubo. menos 16 t al cuadrado más 12 T para la primera derivada, y 12 t al cuadrado menos 32 t más. 12. Para la segunda derivada, S prima de t, que también se puede escribir,. D STD representa la tasa de cambio instantánea de S de t, la posición en el tiempo, bueno, el cambio. de posición en el tiempo es solo la velocidad. Y esto también se puede escribir como v de t,. s doble primo de t, la segunda derivada de s trick respecto a t, también puede considerarse. como la derivada de la función de velocidad.Entonces eso representa la tasa de cambio de
la velocidad a lo. largo del tiempo, qué tan rápido aumenta la velocidad. o decreciente.
Y eso se llama aceleración. Y se. puede escribir como zurdo.
Como posición, La velocidad y la aceleración pueden ser tanto positivas. Una velocidad positiva significa que La posición está aumentando. Entonces la partícula se mueve.

Entonces aquí, coseno de x cuando h tiende a cero es simplemente coseno de x. Este límite lo sabemos es cero.
Me piden encontrar s primo de T y S doble prima de t. Entonces, al derivar obtengo cuatro t al cubo. Entonces aquí, coseno de x cuando h tiende a cero es simplemente coseno de x. Este límite lo sabemos es cero.
Me piden encontrar s primo de T y S doble prima de t. Entonces, al derivar obtengo cuatro t al cubo. D STD representa la tasa de cambio instantánea de S de t, la posición en el tiempo, bueno, el cambio.Por supuesto, una velocidad de cero significa las partículas en reposo, al menos durante
ese instante.Por la física

sabemos que la fuerza. es igual a masa por aceleración Entonces si la aceleración.
es positiva, entonces eso significa la fuerza es en dirección positiva, es como si la partícula estuviera
siendo arrastrada hacia arriba. si está encendido por otro lado, la aceleración es negativa
que la fuerza en la dirección negativa, y es como si la partícula estuviera siendo arrastrada hacia
abajo. una aceleración de cero significa que hay No hay fuerza sobre la partícula en ese instante
y la velocidad continúa como está. usemos estas concepts sobre la aceleración de la velocidad. Y.
la siguiente tabla de valores para describir el movimiento de las partículas en el tiempo es igual a 1,5 segundos. En el tiempo 1,5 segundos, la posición de la partícula es positivo, lo que significa que la partícula está.
por encima de su posición inicial de cero. su velocidad es negativo, por lo que significa que su posición está.
disminuyendo. En otras palabras, la partícula está bajando. Su aceleración es negativa y la.
aceleración es la derivada de la velocidad.Entonces una aceleración negativa significa que la velocidad. está disminuyendo.
Bueno, una velocidad negativa que es La disminución es cada vez más negativa. De hecho, la.
porque aunque la velocidad está disminuyendo, se vuelve cada vez más negativo, la velocidad, que.
es el valor absoluto de la velocidad, es creciente.También podemos ver

qué está haciendo. la partícula en 1,5
segundos mirando esto gráfico, donde el tiempo se dibuja en el eje x. y la posición s de t está
en el eje y. De En la gráfica, podemos ver que cuando t es cero, S de. t también es cero.
Entonces la partícula comienza en su posición inicial de cero.En el tiempo de 1,5 segundos,. Y dado que la pendiente. La misma cosa fue lo que concluimos de la tabla de valores.
Entonces. La velocidad prima de t también es negativa. Pero ahora
la aceleración como doble prima de t es positiva.
Entonces la velocidad de las partículas está
disminuyendo. D Sexually transmitted disease representa la tasa de cambio instantánea de S de t, la posición en el tiempo, bueno, el cambio. Y esto también se puede escribir como v de t,.
Y eso se llama aceleración. Y se.
Como posición, La velocidad y la aceleración pueden ser tanto positivas. Por la física sabemos que la fuerza.Es igual a masa
por aceleración. En el tiempo 1,5 segundos, la posición de la partícula es positivo, lo que significa que la partícula está.
su velocidad es negativo, por lo que significa que su posición está.
disminuyendo. En otras palabras, la partícula está bajando. Su aceleración es negativa y la.
aceleración es la derivada de la velocidad. Entonces una aceleración negativa significa que la velocidad.
está disminuyendo. Bueno, una velocidad negativa que es La disminución es cada vez más negativa. De hecho, la.
partícula se está moviendo hacia abajo más rápido. y más rápido. Esto puede resultar un poco confuso,.
porque aunque la velocidad está disminuyendo, se vuelve cada vez más negativo, la velocidad, que.
es el valor absoluto de la velocidad, es creciente.También podemos ver

qué está haciendo. la partícula en 1,5
segundos mirando esto gráfico, donde el tiempo se dibuja en el eje x. y la posición s de t está
en el eje y. De En la gráfica, podemos ver que cuando t es cero, S de. t también es cero.
Entonces la partícula comienza en su posición inicial de cero. En el tiempo de 1,5 segundos,.
la partícula está por encima de este punto inicial. posición, pero moviéndose hacia abajo. Y dado que la pendiente.
de este gráfico es cada vez más pronunciada y más pronunciada, podemos concluir que la velocidad.
Entonces. La velocidad prima de t también es negativa. Entonces.
la partícula todavía está bajando. Pero ahora la aceleración como doble prima de t es positiva. Eso.
significa que la velocidad hoy está aumentando, Bueno, una velocidad negativa que aumenta se vuelve.
menos negativa y se acerca a cero. Entonces la partícula debe estar desacelerando. Y de hecho,.
la velocidad está disminuyendo. De nuevo, el El gráfico está de acuerdo con este razonamiento, a 2,5 segundos, nuestra.
posición está muy abajo aquí, nuestro gráfico es disminuyendo, por lo que las partículas se mueven hacia.
Esto es cierto en general, cuando la velocidad y la aceleración. Esto es cierto en general, cuando la velocidad y la aceleración. Y cuando la aceleración de la velocidad tiene signos opuestos,.
Entonces si la velocidad y la aceleración tienen el mismo. Pero si la velocidad y Las aceleraciones tienen signos opuestos, entonces la fuerza. También he graficado la posición, la velocidad.
las gráficas.Y donde están aumentando donde están disminuyendo donde kid positivos y. donde kid negativos.

La velocidad es la derivada de posición. Entonces la velocidad.
debe ser positiva, donde la posición aumenta. Los únicos pares de funciones que tienen esta.
propiedad boy la azul, que es positiva, cuando las rojas aumentan, y la función verde,.
que es positiva, cuando las azules uno va en aumento. Ahora la aceleración, que es. la derivada de la velocidad, también necesita ser positivo cuando la velocidad aumenta. Entonces. la única manera de etiquetar correctamente las funciones disadvantage ambas relaciones es hacer que la roja. sea la posición, la azul sea la velocidad, y el verde es aceleración. Esto concuerda con.
las ecuaciones que Y cuando la aceleración de la velocidad tiene signos opuestos,.
entonces la partícula se está desacelerando. Una forma de pensar en esto es en términos de fuerza,.
fuerzas en la misma dirección que la aceleración. Entonces si la velocidad y la aceleración tienen el mismo.
Pero si la velocidad y Las aceleraciones tienen signos opuestos, entonces la fuerza. Sigamos con el mismo ejemplo disadvantage algunas preguntas más, Será útil escribir las funciones de velocidad.
más temprano. También he graficado la posición, la velocidad. y la aceleración aquí a la derecha. Y antes continúa, es un ejercicio divertido descubrir.
cuál es cuál, sin siquiera mirar las ecuaciones solo basadas en las formas de.
las gráficas. Y donde están aumentando donde están disminuyendo donde son positivos y.
donde child negativos. La velocidad es la derivada de posición. Entonces la velocidad.
debe ser positiva, donde la posición aumenta. Los únicos pares de funciones que tienen esta.
propiedad son la azul, que es positiva, cuando las rojas aumentan, y la función verde,.
que es positiva, cuando las azules uno va en aumento.Ahora la aceleración, que es. la derivada de la velocidad, también necesita ser positivo cuando la velocidad aumenta. Entonces.
la única manera de etiquetar correctamente las funciones disadvantage ambas relaciones es hacer que la roja.
sea la posición, la azul sea la velocidad, y el verde es aceleración. Esto concuerda disadvantage.
las ecuaciones que tenemos por aquí. tenemos por aquí. La primera pregunta es: Cuando la partícula está en reposo,.
Así que conectando la ecuación para S primo de t, podemos factorizar un cuatro T.
y factorizar un poco más. Para concluir la T tiene que ser 01, o tres. La primera pregunta es: Cuando la partícula está en reposo,.
la partícula está temporalmente en reposo. cuando la velocidad es cero. En otras palabras, S.
primo de t es cero. Así que conectando la ecuación para S primo de t, podemos factorizar un cuatro T.
y factorizar un poco más. Para concluir la T tiene que ser 01, o tres. Esta conclusión concuerda con nuestra gráfica.
de V de t, que tiene x intercepta en 01 y tres, y también concuerda con nuestra gráfica de posición.
s de t.Como la partícula se detiene por un momento, cambió de dirección, cuando t es igual a 01. Y tres,.
la partícula se mueve hacia arriba cuando la velocidad es positiva y se mueve hacia abajo cuando la velocidad.
es negativa. Como sabemos por lo former pregunta, la velocidad es igual a cero, cuando t.
es igual a 01. Y tres, podemos mirar en el medio esos valores para determinar si la velocidad es positiva.
o negativa, simplemente conectando en valores. Entonces, por ejemplo, cuando t.
es negativo, si conecto el negativo al ecuación para la velocidad, obtengo un número negativo. Entonces.
la velocidad debe ser negativa cuando t es menor que cero, entre cero y uno. Si conecto, por.
ejemplo, t es igual a la mitad, obtengo un valiance de S primo de t o V de t de 2,5,.
que es un número positivo.Si conecto un

valiance de t entre uno y tres, digamos que t es.
igual a dos, obtengo un valor de v de t negativo ocho, que es un número negativo. Y finalmente,.
si introduzco un valiance de t mayor que tres, Entonces, obtengo una respuesta positiva para V de t. Entonces,.
en el gráfico de signos, veo que V de t es negativo cuando t está entre infinito negativo.
y cero, y entre uno y tres, y V de t es positivo cuando t está entre Esta conclusión concuerda con nuestra gráfica.
de V de t, que tiene x intercepta en 01 y tres, y también concuerda con nuestra gráfica de posición.
s de t. Como la partícula se detiene por un momento, cambió de dirección, cuando t es igual a 01.

Y tres,.
la partícula se mueve hacia arriba cuando la velocidad es positiva y se mueve hacia abajo cuando la velocidad.
es negativa. Como sabemos por lo anterior pregunta, la velocidad es igual a cero, cuando t.
es igual a 01. Y tres, podemos mirar en el medio esos valores para determinar si la velocidad es positiva.
o negativa, simplemente conectando en valores. Entonces, por ejemplo, cuando t.
es negativo, si conecto el negativo al ecuación para la velocidad, obtengo un número negativo. Entonces.
la velocidad debe ser negativa cuando t es menor que cero, entre cero y uno. Si conecto, por.
ejemplo, t es igual a la mitad, obtengo un valor de S primo de t o V de t de 2,5,.
que es un número positivo.Si conecto un

valiance de t entre uno y tres, digamos que t es.
igual a dos, obtengo un valor de v de t negativo ocho, que es un número negativo. Y finalmente,.
si introduzco un valiance de t mayor que tres, Entonces, obtengo una respuesta positiva para V de t. Entonces,.
en el gráfico de signos, veo que V de t es negativo cuando t está entre infinito negativo.
y cero, y entre uno y tres, y V de t es positivo cuando t está entre cero y cero y uno, y entre tres y el infinito. Por supuesto, podría.
haber llegado a la misma conclusión solo mirando la gráfica de velocidad y dónde está por.
encima y por debajo del eje x, o incluso por mirando el gráfico de posición y viendo.
dónde aumenta y dónde disminuye. Para responder a la siguiente pregunta, la partícula.
se acelerará cuando V de t y a de t kid ambos positivos o ambos negativos. Y la partícula.
se desacelerará cuando V de t y a de t tienen signos opuestos. Así que hagamos un gráfico.
de signos similar para descubrir dónde de t es positivo y negativo.Primero, será.

útil averiguar dónde a si t es cero. Entonces, si igualo cero a mi S doble primo, eso. es 12 t al cuadrado menos 32 t más 12, podría factorizar uno, y entre tres y el infinito. Por supuesto, podría.
haber llegado a la misma conclusión solo mirando la gráfica de velocidad y dónde está por.
encima y por debajo del eje x, o incluso por mirando el gráfico de posición y viendo.
dónde aumenta y dónde disminuye.Para -responder a la siguiente pregunta, la partícula.
se acelerará cuando V de t y a de t son ambos positivos o ambos negativos. Y la partícula.
se desacelerará cuando V de t y a de t tienen signos opuestos. Así que hagamos un gráfico.
de signos similar para descubrir dónde de t es positivo y negativo. Primero, será.
útil averiguar dónde a si t es cero. Entonces, si igualo cero a mi S doble primo, eso.
es 12 t al cuadrado menos 32 t más 12, podría factorizar un cuatro un cuatro y luego usa la ecuación cuadrática para encontrar.
Cuando lo conecto, digo t es igual a uno, aquí obtengo una respuesta negativa. Y cuando conecto, digamos, t es igual a tres, Obtenga otra respuesta positiva aquí. Que podría De hecho, sería útil sombrear dónde la aceleración.
Y sombrear por separado donde la velocidad es positiva. Y luego busca los lugares.
donde ambos están sombreados. entonces entre cero y 4,5, y mayor que tres. Y luego también puedo.
mirar donde ambos están wrong sombrear.Parece entre uno y

2,22. Entonces ahí es donde.
ambos boy negativos. Y luego lo haré sepa que V de t y a de t tienen signos opuestos en.
todos los demás lugares. Una respuesta un poco mejor Usaremos valores exactos de cuatro tercios más o.
menos al cuadrado de siete tercios en lugar de estas aproximaciones decimales. Entonces déjame escribir.
eso. Así que aquí es donde la partícula se acelera. arriba. Y aquí es donde se está desacelerando, podemos.
comprobar nuestro trabajo mirando el gráfico. de posición, la partícula que se acelera disadvantage el gráfico.
de posición se vuelve más pronunciada y más pronunciado, ese es el gráfico rojo, se está volviendo cada.
vez más pronunciado aquí, aquí. Y aquí, al igual que encontramos algebraicamente. Como nuestro ejemplo final,.
veamos el cambio neto en posición y distancia. viajó entre uno y cuatro segundos para la misma.
partícula. Al tiempo, una segunda posición es cinco tercios, o alrededor de 1,67 milímetros en.
el momento de su posición está dada por 32 tercios, o alrededor de 10,67 milímetros, todo lo que estoy haciendo.
es introducir uno y cuatro en esta ecuación.Entonces, el cambio neto de posición es solo la. diferencia de estos dos números.
como un cuatro menos de uno, que child nueve milímetros. A. primera view, podría parecer el overall La distancia recorrida entre uno y cuatro segundos también. debería ser de nueve milímetros, pero en realidad, es un poco
más complicado. Porque la partícula. cambia de dirección durante ese tiempo. período, no pasa directamente de su posición en. un segundo a su posición en cuatro segundos. Recuerda cómo se veía el gráfico Posición: la. partícula cambia de dirección en un segundo. y a los tres segundos.Entonces, para encontrar la distancia. total amount, necesitamos la distancia recorrida. de un segundo a

tres segundos, más la distancia.
que recorre de tres segundos a cuatro segundos. Otra forma de pensar en esto. es que necesitamos el valor absoluto de s tres menos s uno, más el valiance absoluto de s cuatro.
menos s tres, necesitamos estos valores absolutos signos de valiance porque esta diferencia de posición. será negativa en lugar de positiva cuando las partículas que se mueven hacia abajo.
Al introducir los. valores de t en nuestra ecuación, obtenemos negativos 27 menos cinco tercios, más el valor absoluto. de 32 tercios menos menos 27, que es un complete de 199 tercios, o 66,3 milímetros repetidos,. bastante más que los nueve milímetros diferencia de posición.Este vídeo ofrece un análisis en
. profundidad de una partícula que se mueve hacia arriba.

y bajando por una recta y luego United States la ecuación cuadrática para encontrar. la solución. Como esta ecuación no element fácilmente, esto se simplifica a cuatro tercios.
más o menos la raíz cuadrada de siete sobre tres, que es aproximadamente 0,45, y 2,22.
Ahora puedo. Cuando lo conecto, digo t es igual a uno, aquí obtengo una respuesta negativa.

En el tiempo 1,5 segundos, la posición de la partícula es positivo, lo que significa que la partícula está.
D STD representa la tasa de cambio instantánea de S de t, la posición en el tiempo, bueno, el cambio. En el tiempo 1,5 segundos, la posición de la partícula es positivo, lo que significa que la partícula está. Esto es cierto en basic, cuando la velocidad y la aceleración. También he graficado la posición, la velocidad.Y cuando conecto, digamos, t es igual a tres, Obtenga otra respuesta positiva aquí.Ahora,.

si pongo esto junto disadvantage mi tabla de velocidad, que cambió de signo en 01, y tres, y pasó.
de negativo a positivo, de negativo a positivo, puedo intentar descubrir dónde la aceleración.
de la velocidad tiene el mismo signo. Que podría De hecho, sería útil sombrear dónde la aceleración.
es positiva. Y sombrear por separado donde la velocidad es positiva. Y luego busca los lugares.
donde ambos están sombreados. entonces entre cero y 4,5, y mayor que tres. Y luego también puedo.
mirar donde ambos están transgression sombrear. Parece entre uno y 2,22. Entonces ahí es donde.
ambos son negativos. Y luego lo haré sepa que V de t y a de t tienen signos opuestos en.
todos los demás lugares. Una respuesta un poco mejor Usaremos valores exactos de cuatro tercios más o.
menos al cuadrado de siete tercios en lugar de estas aproximaciones decimales.Entonces déjame escribir. eso. Así que aquí es donde la
partícula se acelera. arriba. Y aquí es donde se está desacelerando, podemos. comprobar nuestro trabajo mirando el gráfico. de posición, la partícula que se acelera disadvantage el gráfico. de posición se vuelve más pronunciada y más pronunciado, ese es el gráfico rojo, se está volviendo cada. vez más pronunciado aquí, aquí. Y aquí, al igual que encontramos algebraicamente. Como nuestro ejemplo last,. veamos el cambio neto en posición y distancia.
Entonces, el cambio neto de posición es solo la. A. primera panorama, podría parecer el complete La distancia recorrida entre uno y cuatro segundos también. Porque la partícula.
cambia de dirección durante ese tiempo. período, no pasa directamente de su posición en.
un segundo a su posición en cuatro segundos. Recuerda cómo se veía el gráfico Posición: la. partícula cambia de dirección en un segundo.Y a los tres segundos. Entonces, para encontrar la distancia. total amount, necesitamos la distancia recorrida.

de un segundo a tres segundos, más la distancia. que recorre de tres segundos a cuatro segundos. Otra forma de pensar en esto. es que necesitamos el valor absoluto de s tres menos s uno, más el valor absoluto de s cuatro.
menos s tres, necesitamos estos valores absolutos signos de valiance porque esta diferencia de posición. será negativa en lugar de positiva cuando las partículas que se mueven hacia abajo.
Al introducir los. valores de t en nuestra ecuación, obtenemos negativos 27 menos cinco tercios, más el valiance absoluto. de 32 tercios menos menos 27, que es un complete de 199 tercios, o 66,3 milímetros repetidos,. bastante más que los nueve milímetros diferencia de posición.Este vídeo ofrece un análisis en
. profundidad de una partícula que se mueve hacia arriba.

y bajando por una recta línea.
línea. Se podría hacer un análisis comparable para una partícula que se mueve hacia. la izquierda y hacia la derecha a lo largo de una línea recta, donde una posición
positiva significa las partículas. del lado derecho y una posición negativa significa las partículas en el lado izquierdo de. su Posición Base. Por supuesto, el mismo análisis Se puede hacer para otros objetos, no sólo para partículas. Una aplicación típica es cuando se lanza una pelota. hacia arriba y luego cayendo de nuevo. Este video clip. le dará una aplicación económica de la derivada a una función de costos.
Por supuesto, el mismo análisis Se puede hacer para otros objetos, no sólo para partículas. Una aplicación típica es cuando se lanza una pelota. Este video clip.
Supongamos.
Todos estos Los gráficos candidatos que he dibujado tienen una intersección. Ahora, me gustaría sugerir que C de x debería. Así que esto la función está desactivada.
Ahora es algo razonable,. creo que C de x podría ser una función lineal de x como aquí, si tienes el mismo costo por. camiseta, ya sea que hagas 10 camisetas, o 1000 camisetas, la pendiente en ese caso representaría. el costo por camiseta.Y el lineal Esta función significaría que el costo por camiseta.
es constante, wrong importar cuántas camisetas tengas. haciendo. Pero en realidad, probablemente será.
Y por lo tanto el. Entonces esta.
función de aquí es aquella cuya pendiente va hacia abajo para un mayor acceso. Entonces yo diría.
que esta es la representación más razonable. para C de x en función de x. En otras palabras, C. de x debería ser una función creciente, pero C prima de x debería ser decreciente.C de 204. menos C de 200 representa el costo adicional por hacer 204 camisetas en lugar de 200.
En la. C de 200 para menos C de 200 sobre cuatro es la tasa de cambio promedio de C de x. Las unidades.
Y la fórmula podría considerarla.
C primo de 200 es la tasa instantánea de cambio de C de x.C de x se conoce como función. de costo. Y C primo de x se llama low costo, que es la tasa a la que el costo aumenta por cada. camiseta adicional fabricada. Podría parecer es un poco extraño tomar la derivada de C de. x ya que x en realidad sólo puede tomar valores enteros. Pero siempre podemos aproximar C. de x con una función cuyo dominio sea todo numeros reales. Para hacer esto un poco más específico,. usemos una función de costo de C de x igual 500 más 300 por la raíz cuadrada de x. En. este ejemplo, se supone que x es el número de iPads que se producen, y C de x es el costo. de producirlos en dólares. Entonces C de 401 menos C de 400. dado por 500 más 300, multiplicado.
por la raíz cuadrada de 401 menos 500 más 300 veces la raíz cuadrada de 400. Esto se. simplifica a$ 7,50, redondeado al más cercano centavo. Esto significa que cuesta $7,50 adicionales. pasar de producir 400 iPads a 401. IPad. En este ejemplo ficticio, Voy a esbozar algunos gráficos y tú intentas. decidir cuál es el más razonable. representación para C de x. Pausa el vídeo por. un momento para pensar en ello
. Todos estos Los gráficos candidatos que he dibujado tienen una intersección. y distinta de cero
, lo que pretende reflejar la concept. que hay un costo inicial fijo y la compra de equipos. incluso stakes de poder comenzar.Ahora, me gustaría sugerir que C de x debería. ser una función creciente de x, porque es Costará más dinero hacer más camisetas, necesitarás. más suministros y mano de obra.

Así que esto la función está desactivada.
Ahora es algo razonable,. Pero en realidad, probablemente será. Entonces esta.
Entonces yo diría. que esta es la representación más razonable. para C de x en función de x. En otras palabras, C. de x debería ser una función creciente, pero C prima de x debería ser decreciente.
C de 204. menos C de 200 representa el costo adicional por hacer 204 camisetas en lugar de 200.
En la. fórmula, podrías pensar en eso como el costo de hacer las últimas cuatro camisetas.
La relación. Y la fórmula podría considerarla.
como el costo adicional por tonelada. camiseta de hacer las últimas cuatro camisetas.
C primo de 200 es la tasa instantánea de cambio de C de x.C de x se conoce como función. Y C primo de x se llama low costo, que es la tasa a la que el costo aumenta por cada. Podría parecer es un poco extraño tomar la derivada de C de.
usemos una función de costo de C de x igual 500 más 300 por la raíz cuadrada de x. En. este ejemplo, se supone que x es el número de iPads que se producen, y
C de x es el costo. de producirlos en dólares. Entonces C de 401 menos C de 400. dado por 500 más 300, multiplicado. por la raíz cuadrada de 401 menos 500 más 300 veces la raíz cuadrada de 400. Esto se. simplifica a$ 7,50, redondeado al más cercano centavo.Esto significa que cuesta$ 7,50 adicionales. pasar de producir 400 iPads a 401. iPad. En este ejemplo ficticio, si quiero calcular

C primo de 400, puedo. ver que C primo de x es igual a 300 multiplicado por la mitad x elevado a menos la mitad. Entonces C primo de 400 será 300 veces uno la mitad por 400 elevado a menos la mitad, lo que se. simplifica a 300 sobre dos veces el cuadrado raíz de 400, que también es 7,5, o $7,50. Por. iPad. Hasta redondear al centavo más cercano, estas dos respuestas son iguales. Y tiene sentido. que C primo de 400 sea aproximadamente igual a esta diferencia. Dado
que C es primo de 400,. la derivada es aproximadamente igual al promedio tasa de cambio que va de 400 a 401, que es solo. esta diferencia, dividida por uno.
Una vez Nuevamente, C primo de 400 se llama costo minimal. y representa la tasa a la que el La función de costo aumenta disadvantage cada artículo adicional. Este video clip dio un ejemplo del costo.
Los logaritmos child una forma de escribir exponentes. La expresión log base a de B es igual a c significa que a a la C es igual a b. En otras palabras,. El número A se llama base.
A algunos estudiantes les resulta útil recordar esta relación, log base a de B es igual a c. significa a a C es igual a b, dibujando flechas, si quiero calcular C primo de 400, puedo. Entonces C primo de 400 será 300 veces uno la mitad por 400 elevado a menos la mitad, lo que se. Y tiene sentido.
Dado que C es primo de 400,. la derivada es aproximadamente igual al promedio tasa de cambio que va de 400 a 401, que es solo. esta diferencia, dividida por uno. Una vez Nuevamente, C primo de 400
se llama costo minimal. y representa la tasa a la que el La función de costo aumenta con cada artículo adicional. Este video dio un ejemplo del costo. función y su derivada, que se conoce como costo. low. Este video presenta los logaritmos. Los logaritmos son una forma de escribir exponentes. La expresión log base a de B es igual a c significa que a a la C es igual a b. En otras palabras,. log base a de B es el exponente que elevas a para llegar a ser. El número A se llama base. del logaritmo. También se le llama el base cuando lo escribimos en esta forma exponencial. A algunos estudiantes les resulta útil recordar esta relación, log base a de B es igual a c. significa a a C es igual a b,
dibujando flechas, a a la C es igual a b.A a la C es igual a b. A otros estudiantes les gusta pensar en ello en términos de.
hacer una pregunta, registrar una base de pago, preguntar, ¿ Qué potencia elevas a dos para obtener b? Veamos algunos ejemplos. base de registro dos de ocho son tres, porque dos más tres.
kid ocho. En general, log en base dos de y te hace la pregunta: ¿ Qué potencia tienes.
que elevar a dos para obtener y? entonces para Por ejemplo, el log en base dos de 16 es cuatro,.
porque te hace la pregunta a dos qué potencia es igual a 16? Y la respuesta es cuatro. Pausa.
Y el la respuesta es una. Dos a uno child dos.
base dos de la mitad es pedir dos para ¿ Qué potencia te da la mitad? Bueno, para obtener.
la mitad, necesitas aumentar dos a menos. fuerza. Entonces eso sería dos elevado a uno negativo. Entonces la respuesta es negativa. base de registro dos de 1/8 significa qué potencia elevamos.
a dos para obtener 1/8. Como uno ocho es uno sobre dos al cubo, tenemos que elevar dos elevado.
a menos tres para obtener uno sobre dos cubicado.Entonces nuestro exponente es menos tres y esa. es nuestra respuesta a nuestra expresión logarítmica. Finalmente, el registro en base dos de uno pregunta a qué.
potencia es igual a uno, o cualquier valiance elevado. elevado a cero nos da uno, por lo que esta expresión logarítmica.
se evalúa como cero. Darse cuenta de Podemos obtener respuestas positivas, negativas y cero para.
nuestras expresiones de logaritmos. Por favor pausa Vea el video y descubra qué evalúan estos registros.
para calcular el registro en base 10 de otro. Observe que un millón es 10 elevado a la sexta potencia. Ahora nos hacemos la pregunta: ¿ Qué poder ¿ Levantamos la tendencia a obtener un millón? Entonces,.
¿ a qué potencia elevamos 10? para obtener 10 a las seis? Bueno, por supuesto, la respuesta va a.
ser seis. De manera comparable, desde el punto O uno es 10 elevado a menos tres, estas expresiones logarítmicas,.
lo mismo que preguntar cuál es la base logarítmica ¿ 10 de 10 elevado a menos tres? Bueno, ¿ qué potencia.
tienes para subir 10? a llegar a 10 al ¿ menos tres? Por supuesto, la respuesta es menos tres. El registro en base 10 de cero pregunta: ¿ Qué potencia, elevamos 10 a para obtener cero.Si lo.

piensas bien, no hay manera de subir 10. a un exponente obtenemos cero. Elevar 10 a un exponente positivo.
nos da números positivos realmente grandes. Elevar 10 a un exponente negativo es como uno entre 10.
elevado a una potencia que nos da una cantidad diminuta. fracciones, pero siguen siendo números positivos,.
nunca obtendremos cero. Incluso si nosotros elevado 10 a la potencia cero, solo obtendremos uno. Entonces no hay manera de obtener cero y el log base 10 de cero no existe. Si lo pruebas.
en tu calculadora usando la base de registro 10 botón, recibirás un mensaje de error. Lo mismo.
sucede cuando registramos base 10 de negativo 100. Estamos preguntando 10 elevado a qué potencia es.
igual a menos 100. Y no hay ningún exponente que trabajará.Y de manera más basic, es posible. tomar el registro de números que child mayores que cero, pero no para números que kid menores. o iguales a cero. En otras palabras
, el dominio de la función log base a de x, sin importar. qué base estés usando, para a, el El dominio será todos números positivos. Algunas. notas sobre notación. Cuando veas en de x, eso se llama registro all-natural, y significa el. registro en base e de
x, donde él es tan famoso número que es aproximadamente 2.718. Cuando ves. log de x transgression base alguna, por convención, eso significa log en base 10 de x, y se llama log común. La mayoría de las calculadoras científicas tienen Botones para registro natural y para registro común. Practiquemos reescribir expresiones con inicia sesión en ellos.Log base tres de

uno nueve. es menos dos se puede reescribir como la expresión tres elevado a menos dos es igual a 1/9. Log of. 13 es una abreviatura de log en base 10 de 13. Entonces eso se puede reescribir como 10 a 1.11394 es igual.
a 13. Finalmente, en esta última expresión, ln significa log natural, o log en base e, por lo que.
puedo reescribir esta ecuación como log en base e de siempre que E sea igual a menos uno. Bueno,.
eso significa lo mismo que e negativo. uno es igual a uno sobre e, lo cual es cierto. Ahora.
vayamos en la dirección opuesta. Empezaremos con ecuaciones exponenciales y reescribirlas como.
registros. Recuerde que log base a de B es igual c significa lo mismo A otros estudiantes les gusta pensar en ello en términos de.
hacer una pregunta, registrar una base de pago, preguntar, ¿ Qué potencia elevas a dos para obtener b? Veamos algunos ejemplos. base de registro dos de ocho son tres, porque dos más tres.
child ocho.En general, log en base dos de y te hace la pregunta: ¿ Qué potencia tienes.
que elevar a dos para obtener y? entonces para Por ejemplo, el log en base dos de 16 es cuatro,.
porque te hace la pregunta a dos qué potencia es igual a 16? Y la respuesta es cuatro. Pausa.
Y el la respuesta es una. Dos a uno son dos.
base dos de la mitad es pedir dos para ¿ Qué potencia te da la mitad? Bueno, para obtener.
la mitad, necesitas aumentar dos a menos. fuerza. Entonces eso sería dos elevado a uno negativo. Entonces la respuesta es negativa. base de registro dos de 1/8 significa qué potencia elevamos.
a dos para obtener 1/8. Como uno ocho es uno sobre dos al cubo, tenemos que elevar dos elevado.
a menos tres para obtener uno sobre dos cubicado.Entonces nuestro exponente es menos tres y esa. es nuestra respuesta a nuestra expresión logarítmica. Finalmente, el registro en base dos de uno pregunta a qué.
potencia es igual a uno, o cualquier valor elevado. elevado a cero nos da uno, por lo que esta expresión logarítmica.
se evalúa como cero. Darse cuenta de Podemos obtener respuestas positivas, negativas y cero para.
nuestras expresiones de logaritmos. Por favor pausa Vea el video clip y descubra qué evalúan estos registros.
para calcular el registro en base 10 de otro.Observe que un

millón es 10 elevado a la sexta potencia. Ahora nos hacemos la pregunta: ¿ Qué poder ¿ Levantamos la tendencia a obtener un millón? Entonces,.
¿ a qué potencia elevamos 10? para obtener 10 a las seis? Bueno, por supuesto, la respuesta va a.
ser seis. De manera comparable, desde el punto O uno es 10 elevado a menos tres, estas expresiones logarítmicas,.
lo mismo que preguntar cuál es la base logarítmica ¿ 10 de 10 elevado a menos tres? Bueno, ¿ qué potencia.
tienes para subir 10? a llegar a 10 al ¿ menos tres? Por supuesto, la respuesta es menos tres. El registro en base 10 de cero pregunta: ¿ Qué potencia, elevamos 10 a para obtener cero. Si lo.
piensas bien, no hay manera de subir 10. a un exponente obtenemos cero. Elevar 10 a un exponente positivo.
Incluso si nosotros elevado 10 a la potencia cero, solo obtendremos uno. Entonces no hay manera de obtener cero y el log base 10 de cero no existe. Si lo pruebas. en tu calculadora usando la base de registro 10 botón, recibirás un mensaje de mistake. Lo mismo.
sucede cuando registramos base 10 de negativo 100. Estamos preguntando 10 elevado a qué potencia es.
igual a menos 100.

Y no hay ningún exponente que trabajará. Y de manera más basic, es posible.
tomar el registro de números que child mayores que cero, pero no para números que kid menores.
o iguales a cero.

Una respuesta un poco mejor Usaremos valores exactos de cuatro tercios más o.
menos al cuadrado de siete tercios en lugar de estas aproximaciones decimales.Entonces déjame escribir. C de 200 para menos C de 200 sobre cuatro es la tasa de cambio promedio de C de x. Las unidades.
C primo de 200 es la tasa instantánea de cambio de C de x.C de x se conoce como función. C primo de 200 es la tasa instantánea de cambio de C de x.C de x se conoce como función. Entonces no hay manera de obtener cero y el log base 10 de cero no existe.En otras palabras, el dominio de la función log base a de x, sin importar
qué base estés usando, para a, el El dominio será todos números positivos. Algunas
notas sobre notación. Cuando veas en de x, eso se llama registro natural, y significa el
registro en base e de x, donde él es tan famoso número que es aproximadamente 2.718. Cuando ves
La mayoría de las calculadoras científicas tienen Botones para registro all-natural y para registro común. Practiquemos reescribir expresiones con inicia sesión en ellos.
es menos dos se puede reescribir como la expresión tres elevado a menos dos es igual a 1/9. Log of
13 es una abreviatura de log en base 10 de 13.

Entonces eso se puede reescribir como 10 a 1.11394 es igual
a 13. Finalmente, en esta última expresión, ln significa log all-natural, o log en base e, por lo que
puedo reescribir esta ecuación como log en base e de siempre que E sea igual a menos uno. Bueno,
eso significa lo mismo que e negativo. uno es igual a uno sobre e, lo cual es cierto. Ahora
vayamos en la dirección opuesta. Empezaremos fool ecuaciones exponenciales y reescribirlas como
registros. Recuerde que log base a de B es igual c significa lo mismo como a a la C es igual a b, como a a la C es igual a b, la base permanece igual en ambas expresiones.Entonces,.

para este ejemplo, la base de tres en la ecuación exponencial, será la misma que.
la base en nuestro registro. Ahora yo sólo tengo que averiguar qué hay en el argumento.
Y lo que pasa del otro lado del signo igual. Entonces lo que Lo que va en este cuadro debería ser mi exponente para.
mi ecuación exponencial. En otras palabras, usted y pondré el 9.78 como argumento de mi log. Esto.
funciona porque el registro en base tres de 9,78 es igual a u significa lo mismo que tres.
a la U es igual a 9,78, que es justo lo que empezó disadvantage. En el segundo ejemplo, la base de mi.
ecuación exponencial es E. Entonces la base de mi registro va a ser la respuesta a mi registro.
es un exponente.En este caso, el exponente 3x más siete. Y la otra expresión, cuatro menos y,.
se convierte en mi argumento de mi registro. Déjame comprobarlo, log en base e de cuatro menos y es igual.
a 3x más siete significa e a 3x más siete es igual cuatro menos Y, que es justo disadvantage lo que comencé. También.
Este video presentó la concept de los troncos. Y el hecho de que log base a de B sea igual a c significa lo mismo que a a la C es igual a b. Entonces.
la base logarítmica a de B te hace la pregunta: ¿ Qué exponente de potencia elevas a para obtener.
b? En este vídeo, resolveremos el gráfico, por lo que algunas funciones de registro y también.
hablan sobre sus dominios. Para este primer ejemplo, Grafiquemos una función logarítmica a mano trazando algunos.
puntos. La función con la que estamos trabajando. Si y es igual a log en base dos de x, haré un gráfico.
de los valores de x e y.Ya que estamos trabajando esto a mano, quiero elegir valores de x para los.
cuales sea fácil calcular log en base dos de x. Entonces comenzaré con el valor x de uno. Debido a que log en base dos de uno es cero, base logarítmica cualquier cosa de uno es 02 es otro valiance.
Y la respuesta es una. Es fácil trabajar con otros poderes de dos.
por ejemplo, log en base dos de cuatro Eso dice a qué potencia elevo para obtener cuatro,.
entonces la respuesta es dos. Similarmente, log en base dos de ocho es tres y log en base dos de.
16 es cuatro. Déjame trabajar también con algunos valores fraccionarios para X. Si x es la mitad, entonces.
log en base dos de la mitad del dicho ¿ Qué potencia elevo a dos para obtener la mitad? Bueno, eso necesita un poder negativo.También es fácil calcular a mano el registro en. base dos de 1/4 y 1/8.
registro de base dos de 1/4 es menos dos, ya que dos elevado a menos dos es.
1/4. Y de manera similar, log en base dos de 1/8 es menos tres. Pondré algunas marcas.
en mis ejes xey. Por support pausa el vídeo y tómate un momento para trazar estos puntos. A ver tengo el punto, uno, cero, ese es aquí a uno que está aquí, por dos, que está.
aquí. Y luego ocho, tres, que es la base permanece igual en ambas expresiones. Entonces,.
para este ejemplo, la base de tres en la ecuación exponencial, será la misma que.
la base en nuestro registro.Ahora yo sólo tengo que averiguar qué hay en el argumento. del registro.
Y lo que pasa del otro lado del signo igual. Recuerda que la respuesta a.
un log es un exponente. Entonces lo que Lo que va en este cuadro debería ser mi exponente para.
mi ecuación exponencial. En otras palabras, usted y pondré el 9.78 como argumento de mi log. Esto.
funciona porque el registro en base tres de 9,78 es igual a u significa lo mismo que tres.
a la U es igual a 9,78, que es justo lo que empezó con.En el segundo ejemplo, la base de mi.
ecuación exponencial es E. Entonces la base de mi registro va a ser la respuesta a mi registro.
es un exponente. En este caso, el exponente 3x más siete. Y la otra expresión, cuatro menos y,.
se convierte en mi argumento de mi registro. Déjame comprobarlo, log en base e de cuatro menos y es igual.
a 3x más siete significa e a 3x más siete es igual cuatro menos Y, que es justo disadvantage lo que comencé. También.
Este video presentó la idea de los troncos. Y el hecho de que log base a de B sea igual a c significa lo mismo que a a la C es igual a b. Entonces.
la base logarítmica a de B te hace la pregunta: ¿ Qué exponente de potencia elevas a para obtener.
b? En este vídeo, resolveremos el gráfico, por lo que algunas funciones de registro y también.
La función con la que
estamos trabajando. Si y es igual a log en base dos de x, haré un gráfico.
cuales sea fácil calcular log en base dos de x. Entonces comenzaré disadvantage el valiance x de uno. Debido a que log en base dos de uno es cero, base logarítmica cualquier cosa de uno es 02 es otro valiance.
de x que es fácil de calcular base logarítmica dos de dos, eso es preguntar: ¿ Qué potencia elevo a.
dos para llegar a uno? Y la respuesta es una.Es fácil trabajar con otros poderes de dos. Así,.
por ejemplo, log en base dos de cuatro Eso dice a qué potencia elevo para obtener cuatro,.
entonces la respuesta es dos. Similarmente, log en base dos de ocho es tres y log en base dos de.
16 es cuatro. Déjame trabajar también con algunos valores fraccionarios para X. Si x es la mitad, entonces.
log en base dos de la mitad del dicho ¿ Qué potencia elevo a dos para obtener la mitad? Bueno, eso necesita un poder negativo. También es fácil calcular a mano el registro en.
base dos de 1/4 y 1/8. registro de base dos de 1/4 es menos dos, ya que dos elevado a menos dos es.
1/4.

Y de manera comparable, log en base dos de 1/8 es menos tres. Pondré algunas marcas.
en mis ejes xey. Por favor pausa el vídeo y tómate un momento para trazar estos puntos. A ver tengo el punto, uno, cero, ese es aquí a uno que está aquí, por dos, que está.
Y luego ocho, tres, que es aquí. Y los valores fraccionarios de x, la mitad.
va disadvantage menos uno y 1/4 disadvantage menos dos 1/8 disadvantage menos tres. Y los valores fraccionarios de x, la mitad.
va disadvantage menos uno y 1/4 disadvantage menos dos 1/8 con menos tres.Y si conecto los puntos, obtengo un gráfico que.
se parece a este. si tuviera mas pequeño y fracciones más pequeñas, seguía recibiendo más.
y más respuestas negativas cuando tomaba log base dos de ellos, por lo que mi gráfico se está volviendo.
cada vez más negativo, mis valores de y están aumentando cada vez más negativo a medida que x se acerca.
a cero. Ahora no dibujé ninguna parte del gráfico de aquí con valores X negativos, no.
puse ningún valiance X negativo en mi gráfico. Esa omisión no es casualidad.Porque si intentas.

tomar el registro en base dos o cualquier base de un número negativo, como digamos menos cuatro.
o algo así, no hay respuesta. esto no existe porque no hay potencia que puedas elevar a dos.
para obtener un número negativo. Entonces no hay puntos en el gráfico para valores negativos.
de X. Y del mismo modo, no hay puntos. en el gráfico donde x es cero, debido a que no.
En guide lugar, el dominio child los valores de x mayores. En notación de intervalo,
puedo escribir eso como corchete porque no quiero incluir. Y el gráfico aumenta gradualmente.
Entonces el el rango es en realidad todos los números reales child. Finalmente, quiero señalar que esta gráfica tiene.
de y es igual a log en base dos de x. Pero si quisiera graficar,. digamos, y es igual a log en base 10 de x, se vería muy comparable, todavía tendría un dominio. de valores X mayores que cero, un rango de todos los números reales y una asíntota. upright en el eje y, aún pasaría por el punto uno cero, pero pasaría por el punto. 10. Uno en cambio, porque log base 10 de 10 es uno, se vería más o menos igual, sólo. que mucho más plano por aquí. Pero incluso Aunque no lo parece por la forma en que lo dibujé,. todavía va subiendo gradualmente. a n hacia el infinito.
De hecho, la gráfica de. Aquí tenemos la gráfica. Y otra vez, Sólo voy a dibujar un gráfico aproximado.
Si quisiera. hacer un gráfico más preciso, probablemente Querría trazar algunos puntos. Pero sé que, a grandes. rasgos, un gráfico logarítmico, si fuera como y es igual a ln de x, se vería.
así y pasaría por el punto uno cero, Y si conecto los puntos, obtengo un gráfico que. se parece a este.Si tuviera mas pequeño y fracciones más pequeñas, seguía recibiendo más
. y más respuestas

negativas cuando tomaba log base dos de ellos, por lo que mi gráfico se está volviendo. cada vez más negativo, mis valores de y están aumentando cada vez más negativo a medida que x se acerca. a cero. Ahora no dibujé ninguna parte del gráfico de aquí disadvantage valores X negativos, no.
puse ningún valiance X negativo en mi gráfico. Esa omisión no es casualidad.
Porque si intentas.
para obtener un número negativo. Entonces no hay puntos en el gráfico para valores negativos. de X. Y del mismo modo, no hay puntos. en el gráfico donde x es cero, debido a que no. se puede tomar log en base dos de cero, no hay potencia que puedes elevar a para obtener cero. Quiero observar. algunas características clave de este gráfico.En guide lugar, el dominio child los valores de x mayores.

que cero. En notación de intervalo, puedo escribir eso como corchete porque no quiero incluir. del cero al infinito, el rango es van a ser los valores de y, mientras que van.
hasta los confines más lejanos de lo negativo números. Y el gráfico aumenta gradualmente. El valor. de y se hace cada vez más grande. Entonces el el rango es en realidad todos
los números reales child. una notación de intervalo de infinito negativo a infinito
. Finalmente, quiero señalar que esta gráfica tiene. una asíntota upright en el eje y, que está en la
línea x es igual a cero. Lo dibujaré en mi. gráfico disadvantage una línea de puntos.
10. Uno en cambio, porque log base 10 de 10 es uno, se vería más o menos igual, sólo. Pero incluso Aunque no lo parece por la forma en que lo dibujé,.
De hecho, la gráfica de. Aquí tenemos la gráfica. Y otra vez, Sólo voy a dibujar un gráfico aproximado.
Si quisiera. Pero sé que, a grandes.
así y pasaría por el punto uno cero, con una asíntota vertical a lo largo del eje y. Ahora,. si quiero graficar ln de x más cinco, eso simplemente desplaza nuestra gráfica cinco unidades,.
seguirá teniendo la misma asíntota upright, ya que la línea upright desplazada cinco unidades hacia. arriba sigue siendo una línea vertical. Pero en lugar de pasar por un cero, pasará por el punto, uno,. cinco.Así que dibujaré un borrador boceto aquí. Comparemos nuestra función inicial y. es igual a ln x, y
la versión

transformada y es igual a ln x más cinco en términos del dominio,. el rango y la asíntota vertical. Nuestro La función initial y es igual a ln x tenía un dominio. de cero al infinito. Desde que sumó cinco el exterior afecta los valores de y, y el dominio. child los valores de x, esta transformación no cambia el dominio. Entonces el dominio sigue.
siendo de cero a infinito. Ahora el rango de nuestro original y es igual a ln x fue desde infinito. negativo hasta infinito. Subiendo cinco afecta los valores de y, y el rango se
refiere. a los valores de y. Pero desde el El rango initial era todos los números reales, si sumas
cinco. a todo el conjunto de todos los números reales, obtendrás todavía obtengo el conjunto de todos los números reales. Entonces, en este caso, el rango tampoco cambia.Y por último, ya vimos que la asíntota upright. initial del eje y x es igual cero, cuando lo desplazamos cinco unidades hacia arriba,.
En el siguiente ejemplo, comenzaremos fool una función. Y desde el plus dos está en el inside, eso significa que desplazamos esa gráfica. Así que dibujaré nuestro básico.Función de registro.
Así que pensaré en eso como y es igual a log de x pasando por el punto uno, cero, aquí está su. Comparemos las características de los dos gráficos.Dibujado aquí. Estamos hablando de dominios,.
Y aquí está mi nuevo dominio, que también puedo verificar con solo mirar. Mi rango era originalmente de infinito negativo al infinito.
Bueno, desplazarse hacia la. izquierda solo afecta el valor de x, por lo que no Incluso afectar el alcance
. Entonces mi rango sigue siendo. negativo de infinito a infinito. mi vertical La asíntota
estaba originalmente en x igual a. cero. Y como resto dos de todos mis valores de x, eso cambia eso a x es igual a menos dos.En. este último problema no me voy a preocupar sobre cómo dibujar este gráfico

.
Usaré álgebra para. calcular su dominio. Así que pensemos en ¿ Cuál es el problema cuando estás tomando registros de. las cosas? Bueno, no puedes tomar el registro de un número negativo o cero.
Entonces, lo que sea que esté. Así que lo escribiré, necesitamos a menos 3x, para ser mayor que cero. Dos tiene que ser mayor que 3x.
a esto, pasa por el punto uno cero, y tiene una asíntota upright en el eje y.Además,.

si recuerdas que no puedes tomar el registro de un número negativo, o cero, eso le.
ayuda a calcular rápidamente dominios para funciones de registro. Lo que sea que esté dentro de la función de registro,.
lo estableces como mayor que cero y lo resuelves. Este video clip trata sobre la combinación de registros y exponentes. Pausa el vídeo y tómate un momento para Usa tu calculadora para evaluar las siguientes cuatro.
expresiones. con una asíntota upright a lo largo del eje y. Ahora,.
si quiero graficar ln de x más cinco, eso simplemente desplaza nuestra gráfica cinco unidades,.
seguirá teniendo la misma asíntota vertical, ya que la línea vertical desplazada cinco unidades hacia.
arriba sigue siendo una línea vertical. Pero en lugar de pasar por un cero, pasará por el punto, uno,.
cinco.Así que dibujaré un borrador boceto aquí. Comparemos nuestra función inicial y. es igual a ln x,
y la versión transformada y es igual a ln x más cinco en términos del dominio,. el rango y la asíntota vertical.
Nuestro La función original y es igual a ln x tenía un dominio. de cero al infinito. Desde que sumó cinco el exterior afecta los valores de y, y el dominio. kid los valores de x, esta transformación no cambia el dominio. Entonces el dominio sigue. siendo de cero a infinito. Ahora el rango de nuestro original y es igual a ln x fue desde infinito. negativo hasta infinito. Subiendo cinco afecta los
valores de y, y el rango se refiere. a los valores de y. Pero desde el El rango original era todos los números reales, si sumas cinco. a todo el conjunto de todos los números reales, obtendrás todavía obtengo el conjunto de todos los números reales. Entonces, en este caso, el rango tampoco cambia.Y por último, ya vimos que la asíntota upright. initial del eje y x es igual cero, cuando lo desplazamos cinco unidades hacia arriba,.
sigue siendo la línea upright x igual a cero. En el siguiente ejemplo, comenzaremos cheat una función. logarítmica en base 10.

Y el hecho de que log base a de B sea igual a c significa lo mismo que a a la C es igual a b. Entonces.
Y de manera comparable, log en base dos de 1/8 es menos tres. Y el hecho de que log base a de B sea igual a c significa lo mismo que a a la C es igual a b. Entonces.
Y de manera comparable, log en base dos de 1/8 es menos tres. Y como resto dos de todos mis valores de x, eso cambia eso a x es igual a menos dos.En.Y desde el plus dos está en el interior, eso significa que desplazamos esa gráfica
Aquí está nuestra función de registro básica. Así que pensaré en eso como y es igual a log de x pasando por el punto uno, cero, aquí está su
asíntota vertical.Ahora necesito cambiar todo queda por dos. Entonces mi asíntota upright se desplaza hacia la izquierda y ahora está en la línea x igual menos dos, en lugar de en x es igual a cero, y mi gráfica, veamos mi punto, uno cero se desplaza a, veamos menos uno cero, ya que estoy restando dos del eje, y Aquí hay un bosquejo aproximado del gráfico resultante. Comparemos las características de los dos gráficos. dibujado aquí. Estamos hablando de dominios, el tipo original de dominio de cero a infinito. Pero ahora lo he movido a la izquierda. Entonces resté dos de todos mis ejercicios.
Y aquí está mi nuevo dominio, que también puedo verificar disadvantage solo mirar la imagen. Mi rango era originalmente de
infinito negativo al infinito. Bueno, desplazarse hacia la izquierda solo afecta el valor de x, por lo que no Incluso afectar el alcance. Entonces mi rango sigue siendo negativo de infinito a infinito.Mi vertical La asíntota estaba originalmente en x igual a. cero. Y como resto dos de todos
mis valores de x, eso cambia eso a x es igual a menos dos. En.
este último problema no me voy a preocupar sobre cómo dibujar este gráfico. Usaré álgebra para.
calcular su dominio. Así que pensemos en ¿ Cuál es el problema cuando estás tomando registros de.
las cosas? Bueno, no puedes tomar el registro de un número negativo o cero. Entonces, lo que sea que esté.
dentro del argumento de la función de registro, lo que sea Es mejor que el valiance que se está introduciendo en el registro.
sea mayor que cero. Así que lo escribiré, necesitamos a menos 3x, para ser mayor que cero. Ahora.
se trata de resolver una desigualdad. Dos tiene que ser mayor que 3x. Entonces dos tercios es.
mayor que x. En otras palabras, x tiene que ser inferior a dos tercios. Entonces nuestro dominio boy.
todos los valores de x desde el infinito negativo hasta dos tercios, transgression incluir dos tercios, es una.
buena concept memorizar la forma básica de la gráfica de una función logarítmica.Se parece.

a esto, pasa por el punto uno cero, y tiene una asíntota upright en el eje y. Además,.
si recuerdas que no puedes tomar el registro de un número negativo, o cero, eso le.
ayuda a calcular rápidamente dominios para funciones de registro. Lo que sea que esté dentro de la función de registro,.
lo estableces como mayor que cero y lo resuelves. Este video clip trata sobre la combinación de registros y exponentes. Pausa el vídeo y tómate un momento para Usa tu calculadora para evaluar las siguientes cuatro.
expresiones. Recuerde, ese registro en base 10 en su calculadora es el botón.
de registro. Mientras inicia sesión en la base e en su calculadora es el botón de registro natural, deberías.
encontrar que el registro en base 10 de 10 al cubo es tres, el logaritmo en base e de e elevado a 4,2 es.
4,2 10 al logaritmo en base 10 de 1000 es 1000.

Y coma la base logarítmica e de 9,6 es 9,6. En cada.
caso, el log y la función exponencial con la misma base se deshacen entre sí, y nos.
queda el exponente. De hecho, es verdad que para cualquier base a el log base a de a respecto.
de x es igual a x. El mismo tipo de cancelación sucede si hacemos la función exponencial en la.
función logarítmica disadvantage la misma base en el orden opuesto. Por ejemplo, elevamos 10 a la.
potencia del log en base 10 de 1000, el 10 a la potencia y al registro base 10 se deshacen.
entre sí, y nos quedamos disadvantage los 1000. Este sucede para cualquier base a a al logaritmo base.
a de x es igual a x. Podemos describir esto por decir que una función exponencial y una función logarítmica.
con la misma base se deshacen entre sí otro. Si estás familiarizado disadvantage el lenguaje.
de funciones inversas, la función exponencial y la función log boy inversas. Veamos por qué estos roles.
En otras palabras, ¿ a elevado a qué potencia. Bueno, la respuesta es clara. X. Y es por eso que log base a de a elevado a x es igual.
a x. Para la segunda regla de registro, observe que el logaritmo en base a de x significa la potencia que.
elevamos a dos para obtener x. Pero esta expresión está diciendo que se supone que debemos elevar a a esa.
potencia. Si elevamos a a la potencia, tenemos Si necesitamos aumentar un dos para obtener x, entonces ciertamente.
obtendremos x. Ahora usemos estos dos duties. En algunos ejemplos. Si queremos encontrar tres elevado al logaritmo.
en base tres de 1,43 elevado a la potencia y registrar la base tres se deshace entre sí, por lo que nos queda.
1.4.

Recuerde, ese registro en base 10 en su calculadora es el botón.
de registro. Mientras inicia sesión en la base e en su calculadora es el botón de registro all-natural, deberías.
encontrar que el registro en base 10 de 10 al cubo es tres, el logaritmo en base e de e elevado a 4,2 es.
4,2 10 al logaritmo en base 10 de 1000 es 1000. Y coma la base logarítmica e de 9,6 es 9,6. En cada.
caso, el log y la función exponencial con la misma base se deshacen entre sí, y nos.
queda el exponente. De hecho, es verdad que para cualquier base a el log base a de a respecto.
de x es igual a x. El mismo tipo de cancelación sucede si hacemos la función exponencial en la.
función logarítmica disadvantage la misma base en el orden opuesto. Por ejemplo, elevamos 10 a la.
potencia del log en base 10 de 1000, el 10 a la potencia y al registro base 10 se deshacen.
entre sí, y nos quedamos disadvantage los 1000. Este sucede para cualquier base a a al logaritmo base.
a de x es igual a x.Podemos describir esto por decir que una función exponencial y una función logarítmica. con la misma base se deshacen entre sí otro. Si estás familiarizado con el lenguaje. de funciones inversas, la función exponencial y la función log son inversas. Veamos por qué estos duties. son válidos para el primer rol de registro. registro La base a de un dx plantea la pregunta: ¿ Qué. potencia elevamos un dos para obtener un a la x? En otras palabras, ¿ a elevado a qué potencia. está a elevado a x? Bueno, la respuesta es clara.X.

Y es por eso que log base a de a elevado a x es igual.
a x. Para la segunda regla de registro, observe que el logaritmo en base a de x significa la potencia que.
elevamos a dos para obtener x. Pero esta expresión está diciendo que se supone que debemos elevar a a esa.
potencia. Si elevamos a a la potencia, tenemos Si necesitamos aumentar un dos para obtener x, entonces ciertamente.
obtendremos x. Ahora usemos estos dos duties. En algunos ejemplos. Si queremos encontrar tres elevado al logaritmo.
en base tres de 1,43 elevado a la potencia y registrar la base tres se deshace entre sí, por lo que nos queda.
1.4.

Si queremos encontrar ln de e elevado a x, recuerde que.
ln significa log en base e, así que tomaremos log base e de e elevado a x. Si queremos encontrar ln de e elevado a x, recuerde que.
ln significa log en base e, así que tomaremos log base e de e elevado a x. Bueno, esas funciones se deshacen entre sí.
y nos queda x. Si queremos tomar 10 a el log de tres z, recuerda que log sin base.
escrita implica que la base es 10. Así que realmente queremos llevar 10 al logaritmo en base.
10 de tres z tenderá a una potencia y registrar base 10 se deshacen entre sí. Entonces nos quedamos.
con tres z. Finalmente, ¿ esta última afirmación ¿ Es ln de 10 a la x igual a x? Bueno, ln significa log.
base e. Entonces estamos tomando una base de registro e de 10 elevado a x, observe que la base.
del log y la base de la función exponencial no boy lo mismo. Para que no se deshagan entre.
sí. Y de hecho, log base e de 10 a x no suele ser igual a x, podemos comprobar.
con un ejemplo, digamos si x es igual a uno, luego log en base e de 10 elevado al uno, eso es log.
en base e de 10.

Y podemos verificar en la calculadora eso es igual a 2,3. En algunos decimales más,.
que no es lo mismo que uno. Así que esto La afirmación es falsa, no se cumple. Necesitamos que.
la base sea la misma para registros y exponentes. para deshacernos unos a otros. En este video clip vimos.
que registros y exponentes cheat la misma base deshacernos unos a otros. Específicamente,.
log base a de a a x es igual a x y a al log la base a de x también es igual a x Bueno, esas funciones se deshacen entre sí.
y nos queda x.Si queremos tomar 10 a el log de tres z, recuerda que log wrong base.
escrita implica que la base es 10. Así que realmente queremos llevar 10 al logaritmo en base.
10 de tres z tenderá a una potencia y registrar base 10 se deshacen entre sí. Entonces nos quedamos.
con tres z. Finalmente, ¿ esta última afirmación ¿ Es ln de 10 a la x igual a x? Bueno, ln significa log.
base e. Entonces estamos tomando una base de registro e de 10 elevado a x, observe que la base.
del log y la base de la función exponencial no boy lo mismo.Para que no se deshagan entre. sí. Y de hecho, log base e de 10 a x no suele ser igual a x, podemos comprobar.
con un ejemplo, digamos si x es igual a uno, luego log en base e de 10 elevado al uno, eso es log.
en base e de 10. Y podemos verificar en la calculadora eso es igual a 2,3. En algunos decimales más,.
que no es lo mismo que uno. Así que esto La afirmación es falsa, no se cumple. Necesitamos que.
la base sea la misma para registros y exponentes. para deshacernos unos a otros. En este video clip vimos.
que registros y exponentes trick la misma base deshacernos unos a otros. Específicamente,.
log base a de a a x es igual a x y a al log la base a de x también es igual a x para cualquier valiance de x y cualquier base a. Este video trata.
sobre reglas o propiedades de los registros. El Las reglas logarítmicas están estrechamente relacionadas con las reglas.
de los exponentes.Así que comencemos repasando algunos de las reglas del exponente. para cualquier valor de x y cualquier base a. Este video clip trata. sobre reglas o propiedades de los registros. El Las reglas logarítmicas están estrechamente relacionadas disadvantage las reglas.
de los exponentes. Así que comencemos repasando algunos de las reglas del exponente. Para simplificar las cosas, escribiremos todo.
con una base de dos. Aunque el exponente Las reglas kid válidas para cualquier base, sabemos que.
si elevamos dos a la potencia cero, obtenemos uno, tener una regla del producto para exponentes, que dice.
que dos elevado a M por dos elevado a n es igual a dos a la m más n. En otras palabras, si multiplicamos.
dos números, entonces sumamos los exponentes. También tenemos una regla del cociente que dice.
que dos a la M dividido por n a la n es igual a dos a la m menos n. En palabras, eso dice que.
si dividimos dos números, entonces restamos los exponentes.Finalmente, tenemos una

regla de potencia que. dice que si elevamos una potencia a otra potencia, entonces multiplicamos los exponentes. Cada una de estas reglas de exponentes.
se puede reescribir como una regla logarítmica. El primera regla, dos elevado a cero es igual a uno se puede reescribir.
en términos de registros como base logarítmica dos de uno es igual a cero. Esto se debe a que log en base.
dos de uno es igual a cero significa dos elevado a la cero es igual a uno. La segunda regla, la regla del producto,.
se puede reescribir en términos de registros mediante decir log de x por y es igual a log de x más log de.
En palabras, eso dice el registro del El producto es la suma de los registros. Dado que los registros boy en realidad exponentes,. Finalmente, la regla de la potencia para los exponentes.
diciendo que cuando tomas el registro de una expresión. con un exponente, puedes reducir el exponente y multiplicar.Si pensamos en x como una potencia. de dos, esto realmente dice cuando

pensamos elevamos una potencia a
una potencia, multiplicamos sus. exponentes. Así es exactamente como lo describimos. la regla de poder anterior.
Realmente no importa si. multiplicas este exponente de la izquierda lado, o en el lado derecho, pero es más tradicional. multiplicarlo en el lado izquierdo. He dado estas reglas disadvantage la base de dos, pero en. realidad funcionan para cualquier base.
En la. 10 de un cociente. También tenemos una regla del cociente que dice.
Finalmente, tenemos una regla de potencia que. Cada una de estas reglas de exponentes. Esto se debe a que log en base.
En palabras, eso dice el registro del El producto es la suma de los registros. Dado que los registros boy en realidad exponentes,. Finalmente, la regla de la potencia para los exponentes.
diciendo que cuando tomas el registro de una expresión. con un exponente, puedes reducir el exponente y multiplicar. Si pensamos en x como una potencia. de dos, esto realmente dice cuando pensamos elevamos una potencia a
una potencia, multiplicamos sus. exponentes. Así es exactamente como lo describimos. la regla de poder former.
Realmente no importa si.
En la. 10 de un cociente. Entonces podemos reescribir el registro.
Ahora que todavía. tenemos el registro de un producto, puedo reescribir el log de un producto como la suma de los logs como la diferencia de los registros. Ahora que todavía. tenemos el registro de un producto, puedo reescribir el log de un producto como la suma de los logs Entonces eso es log de y más log de z. Cuando. armo las cosas, tengo que tener cuidado, porque aquí estoy restando la expresión de registro. completa. Entonces necesito restar ambos términos.De este hijo.
Entonces eso es log de y más log de z. Cuando.

armo las cosas, tengo que tener cuidado, porque aquí estoy restando la expresión de registro. completa. Entonces necesito restar ambos términos. de este hijo.
Me aseguraré de hacerlo poniéndolos entre paréntesis. Y aquí está mi respuesta. En mi siguiente expresión, yo tener el log de un producto.
T y multiplicarlo al frente. En mi siguiente expresión, yo tener el log de un producto. T y multiplicarlo al frente.Eso me da el registro de expresión final de cinco más t veces log de dos.
Un error común en este. problema es reescribir esta expresión. como t por log de cinco por dos. De hecho,.
Porque la T sólo se aplica a los dos, no al cinco multiplicado. Y estos próximos ejemplos, vamos a ir en la otra dirección.Aquí, se nos. Y queremos resumirlos en una única expresión.
de registro. Al mirar las dos primeras piezas, esa es una diferencia de registros. Entonces sé que puedo. reescribirlo como el registro de un cociente. Ahora yo tener la suma de
dos registros. Entonces puedo reescribirlo. como el registro de un producto. voy a limpiar eso subir un poco y reescribirlo como base logarítmica. cinco de a por c sobre B. En mi segundo ejemplo, Puedo reescribir la suma de mis registros como el registro. de un producto. Ahora me gustaría reescribir esta diferencia de logs como el log de un cociente, pero. no puedo hacerlo todavía, por ese aspect de dos multiplicado por delante.
Pero puedo usar la. Así que copiaré el ln de x más uno veces x menos uno, y reescribe este segundo término como. De hecho, puedo simplificar esto un poco.
Dado que x más uno por x menos uno es lo mismo que x al cuadrado menos uno. Puedo cancelar. factores para obtener ln de uno sobre x al cuadrado menos uno. En este video clip, resolvemos reglas para registros.
relacionados con reglas de exponentes. Primero, vimos que el log con cualquier base uno es. igual a cero.En segundo lugar, vimos el producto. Por regla general, el logaritmo de un producto es igual a. la suma de los logaritmos.
Vimos la regla

del cociente, el logaritmo de un cociente es la diferencia de los. logaritmos.
Cuando tomas un registro de una expresión con un exponente,. Vale la pena señalar que no existe una regla. En specific, el registro de un salmo.
Si usted Si piensa en registros y reglas de exponentes. que van juntos, esto tiene sentido, porque
Tampoco existe una regla para reescribir la suma de. dos expresiones exponenciales. Roles de registro Será muy útil. A medida que comenzamos a resolver ecuaciones. usando candados.

Y de hecho, log base e de 10 a x no suele ser igual a x, podemos comprobar.
Cada una de estas reglas de exponentes.
T y multiplicarlo al frente.Eso me da el registro de expresión last de cinco más t veces log de dos.
Ahora me gustaría reescribir esta diferencia de logs como el log de un cociente, pero. Por regla basic, el logaritmo de un producto es igual a. la suma de los logaritmos.La regla de la cadena es una Método realmente útil para encontrar la derivada
de la composición de dos funciones.Vamos Comience con una

breve revisión de la composición. f compuesta con g significa que aplicamos f a la salida de G como diagrama, esto significa que comenzamos con x y aplicamos g primero.
t veces log de dos. Un error común en este problema es reescribir esta expresión. como t por log de cinco por dos. De hecho, esas dos expresiones no child iguales. Porque la T sólo se aplica a los dos, no al cinco multiplicado por dos, no podemos simplemente traer colóquelo al frente usando la regla de potencia. Después de todo, la regla del poder sólo se aplica a un único expresión elevada a un exponente, y no a un producto como este. Y estos próximos ejemplos, vamos a ir en la otra dirección. Aquí, se nos dan sumas y diferencias de registros.
Al mirar las dos primeras piezas, esa
es una diferencia de registros.
Ahora yo tener la suma de dos registros.Entonces puedo reescribirlo como el registro de un producto.

voy a limpiar eso subir un poco y reescribirlo como base logarítmica cinco de a por c sobre B. En mi segundo ejemplo, Puedo reescribir la suma de mis registros como el registro de un producto. Ahora me gustaría reescribir esta diferencia de logs como el log de un cociente, pero no puedo hacerlo todavía, por ese aspect de dos multiplicado por delante. Pero puedo usar la regla del poder al revés para poner esos dos atrás.Arriba en el exponente.
Entonces haré eso primero. Así que copiaré el ln de x más uno veces x menos uno, y reescribe este segundo término como ln de x al cuadrado menos uno al cuadrado. Ahora Tengo una diferencia sencilla de dos registros, que puedo reescribir como el registro de un cociente. De hecho, puedo simplificar esto un poco más.
Dado que x más uno por x menos uno es lo mismo que x al cuadrado menos uno. En segundo lugar, vimos el producto.Por regla general, el logaritmo de un producto es igual a. la suma de los logaritmos.
Vimos la regla del cociente, el logaritmo

de un cociente es la diferencia de los. logaritmos.
Y vimos el poder gobernar. Cuando tomas un registro de una expresión disadvantage un exponente,. puedes reducir el exponente y multiplícalo. Vale la pena señalar que no existe una regla. de registro que le ayude a dividir el registro. de una canción. En particular, el registro de un salmo. no es igual a la suma de los registros.
Si usted Si piensa en registros y reglas de exponentes. que van juntos, esto tiene sentido, porque
Tampoco existe una regla para reescribir la suma de. dos expresiones exponenciales. Duties de registro Será muy útil. A medida que comenzamos a resolver ecuaciones. usando candados. La regla de la cadena es una Método realmente útil para encontrar la derivada. de la composición de dos funciones.
vamos Comience disadvantage una breve revisión de la composición. f compuesta con g significa que aplicamos f a la salida de G como diagrama, esto significa que comenzamos. con x y aplicamos g primero. Luego aplicamos f a la salida para obtener nuestros resultados. finales.Voy a llamar a G, la función interna, y F la función exterior. Porque g parece. estar en el interior de f, Luego aplicamos f a la salida

para obtener nuestros resultados. finales. Voy a llamar a G, la función interna, y F la función exterior. Porque g parece. estar en el interior de f, En esta notación estándar, podemos escribir. h de x, que es la raíz cuadrada del seno de x como la composición de dos funciones, dejando. que el seno de x sea la función interna, y la función de raíz cuadrada sea la función externa,.
que escribo como f de u es igual al cuadrado raíz de u.Me gusta hacer este tipo de disección de funciones,. dibujando un cuadro alrededor de la

parte de la función, cualquier cosa que esté dentro de la caja se. convierte en mi función interna, hagamos lo que hagamos a la caja se convierte en nuestra función externa,. en este caso, sacando la raíz cuadrada. Esto permite escribamos h de x como la composición, f
de g. de x, donde f y g child el exterior y el indoor funciones definidas aquí. Tómese un momento para escribir. las siguientes dos funciones como composiciones. de funciones, antes de continuar. Una forma natural.
Hay varias maneras escribir el siguiente ejemplo como una composición.
Alternativamente, podríamos tomar. la función interna como seno de x al cuadrado.
Y luego la función outside En esta notación estándar, podemos escribir. h de x, que es la raíz cuadrada del seno de x como la composición de dos funciones, dejando. que el seno de x sea la función interna, y la función de raíz cuadrada sea la función externa,. que escribo como f de u es igual al cuadrado raíz de u. Me gusta hacer este tipo de disección de funciones,. dibujando un cuadro alrededor de la parte de la función, cualquier cosa que esté dentro de la caja se.
convierte en mi función interna, hagamos lo que hagamos a la caja se convierte en nuestra función externa,.
en este caso, sacando la raíz cuadrada.Esto permite escribamos h de x como la composición, f de g. de x, donde f y g boy el outside y el indoor funciones definidas aquí. Tómese un momento para escribir.
las siguientes dos funciones como composiciones. de funciones, antes de continuar. Una forma natural.
de escribir k de x como una composición es Sea nuestra función interna tan de x más seacon.
de x. La función externa define lo que sucede. a ese cuadro la función interna, se eleva al cubo.
y se multiplica por cinco. Hay varias maneras escribir el siguiente ejemplo como una composición.
de funciones. Por ejemplo, podríamos tomar x al cuadrado como nuestra función interna, y luego.
nuestra función externa toma a al signo de esa función interna. Alternativamente, podríamos tomar.
la función interna como seno de x al cuadrado. Y luego la función exterior tiene que ser e al poder. También es posible escribir.
nuestra función r de x como una composición de tres funciones.Una función interna de x al. cuadrado, una función media de seno y una función más externa de e elevada a la potencia, que kid. correctas ya que h de V
es igual a e elevado a V. tiene que ser e al poder. También es posible escribir.
nuestra función r de x como una composición de tres funciones. Una función interna de x al.
cuadrado, una función media de seno y una función más externa de e elevada a la potencia, que boy.
correctas ya que h de V es igual a e elevado a V. Al calcular las derivadas de funciones complicadas,.
es muy importante reconocer como composiciones de funciones más simples. De.
esa manera, podemos construir la derivada en términos de las derivadas más simples. Y esa es la concept.
detrás de la regla de la cadena.La cadena La regla nos dice que si tenemos dos funciones diferenciables,.
entonces la derivada de la composición. f compuesta disadvantage g de x es igual a la derivada de.
la función externa evaluada en la interna función multiplicada por la derivada de la función.
interna. A veces se escribe la regla de la cadena. en cambio, en notación de luminosidad, esa es la notación.
dydx. Para ver cómo funciona esto, veamos Sea u igual a g de x. Y hagamos que y sea igual a.
f de u. En otras palabras, y es f de Al calcular las derivadas de funciones complicadas,.
es muy importante reconocer como composiciones de funciones más simples.De.

esa manera, podemos construir la derivada en términos de las derivadas más simples. Y esa es la concept.
detrás de la regla de la cadena. La cadena La regla nos dice que si tenemos dos funciones diferenciables,.
entonces la derivada de la composición. f compuesta con g de x es igual a la derivada de.
la función externa evaluada en la interna función multiplicada por la derivada de la función.
interna. A veces se escribe la regla de la cadena. en cambio, en notación de luminosidad, esa es la notación.
dydx.Para ver cómo funciona esto, veamos Sea u igual a g de x. Y hagamos que y sea igual a.
f de u. En otras palabras, y es f de g de x. g de x. Ahora, do u dx es simplemente otra forma de escribir.
g primo de x, y d y d u es otra forma de escribiendo f prima de U. o en otras palabras, f prima.
de g de x. Finalmente, si escribimos D y dX, eso significa que estamos tomando la derivada de.
f compuesta con g. Así que eso está compuesto. con g prima de x. Usando esta clave, puedo reescribir la.
expresión former como y dx es igual a d y tu Ahora, do u dx es simplemente otra forma de escribir.
g primo de x, y d y d u es otra forma de escribiendo f prima de U.O en otras palabras, f prima.
de g de x. Finalmente, si escribimos D y dX, eso significa que estamos tomando la derivada de.
f compuesta disadvantage g. Así que eso está compuesto. con g prima de x. Usando esta clave, puedo reescribir la.
expresión former como y dx es igual a d y tu tiempos d u dx. Éstas kid las dos formas alternativas.
de escribir la regla de la cadena. usemos la regla de la cadena para tomar la derivada de la raíz.
cuadrada del seno x. tiempos d u dx. Éstas kid las dos formas alternativas.
de escribir la regla de la cadena. usemos la regla de la cadena para tomar la derivada de la raíz.
cuadrada del seno x. En realidad, voy a reescribir esto como h de x es igual.
al seno x elevado a la mitad de la potencia para hacer Es más fácil tomar derivados.Como composición,.

pensamos en la función interna como seno. x y la función outside como la mitad de la potencia. Entonces.
la regla de la cadena nos dice que tomar h primary En realidad, voy a reescribir esto como h de x es igual.
al seno x elevado a la mitad de la potencia para hacer Es más fácil tomar derivados. Como composición,.
pensamos en la función interna como seno. x y la función exterior como la mitad de la potencia. Entonces.
la regla de la cadena nos dice que tomar h major de x necesitamos tomar la derivada de la función.
externa evaluada en la función interna y luego multiplicamos eso por la derivada de.
la función interna, sabemos que la derivada de la función interna, el seno x es simplemente el.
coseno x. Y la derivada de la función outside. es la mitad por u elevado a la mitad negativa. Entonces.
h prima de x es entonces la mitad de u la mitad negativa. Pero eso se evalúa en función.
de la función interna, seno de de x necesitamos tomar la derivada de la función.
externa evaluada en la función interna y luego multiplicamos eso por la derivada de.
la función interna, sabemos que la derivada de la función interna, el seno x es simplemente el.
coseno x.Y la derivada de la función exterior. es la mitad por u elevado a la mitad negativa. Entonces.
h prima de x es entonces la mitad de u la mitad negativa. Pero eso se evalúa en función.
de la función interna, seno de X. X. Y luego lo multiplicamos por el coseno de x. Nuevamente,.
Y encontramos la derivada usando la regla de la cadena. Para.
el siguiente ejemplo, nuestra función interna period tan x más seacon X y nuestra función externa, f de.
u, period cinco u al cubo. Entonces k primo de x es 15 veces u al cuadrado. Pero eso es evaluado en.
la función interna 10x más seacon x, entonces todavía necesitamos multiplicar eso por la derivada de.
la función interna 10x más seacon x. Entonces obtenemos 15 tan x más la secante x al cuadrado.
por la derivada de tan x, que es secante x al cuadrado, más la derivada de la secante x,.
que es secante x, tan x.Y esa es nuestra cadena derivada de regla. En este último ejemplo, estamos.
pensando en la función más externa como e elevado a la potencia y su función interna es seno.
de x al cuadrado. Pero el seno de x al cuadrado tiene una función externa de seno y una función interna.
de x al cuadrado. Entonces para encontrar r primo de x, primero tenemos que tomar la derivada.
de la función más externa, bueno, la derivada de e elevado a la potencia es simplemente e elevado a la potencia. Y luego lo multiplicamos por el coseno de x. Nuevamente,.
esa es la derivada del exterior. función evaluada en la función interna multiplicada.
por la derivada de la función interna. Y encontramos la derivada usando la regla de la cadena. Para.
el siguiente ejemplo, nuestra función interna period tan x más seacon X y nuestra función externa, f de.
u, era cinco u al cubo. Entonces k primo de x es 15 veces u al cuadrado. Pero eso es evaluado en.
la función interna 10x más seacon x, entonces todavía necesitamos multiplicar eso por la derivada de.
la función interna 10x más seacon x.Entonces obtenemos 15 tan x más la secante x al cuadrado. por la derivada de tan x, que es secante x al cuadrado, más la derivada de la secante x,.
que es secante x, tan x. Y esa es nuestra cadena derivada de regla. En este último ejemplo, estamos.
pensando en la función más externa como e elevado a la potencia y su función interna es seno.
de x al cuadrado.Pero el seno de x

al cuadrado tiene una función externa de seno y una función interna. de x al cuadrado.
Entonces para encontrar r primo de x, primero tenemos que tomar la derivada.
de la función más externa, bueno, la derivada de e elevado a la potencia es simplemente e elevado a la potencia. Y ahora evaluamos eso en su función interna, seno de x.
al cuadrado. Pero ahora por la regla de la cadena, tenemos que multiplicar eso por la derivada de.
la función interna, seno de x al cuadrado.Copiaré la E al seno

x al cuadrado. Y usaré.
Ahora la función exterior es seno y la derivada del seno es coseno. Necesito evaluarlo en su función.
interna de x al cuadrado, y luego multiplica eso por la derivada de la función interna. Después de copiar las cosas, simplemente hay que tomar la derivada de x al cuadrado,.
que es 2x Y ahora evaluamos eso en su función interna, seno de x.
al cuadrado. Pero ahora por la regla de la cadena, tenemos que multiplicar eso por la derivada de.
la función interna, seno de x al cuadrado. Copiaré la E al seno x al cuadrado. Y usaré.
Ahora la función outside es seno y la derivada del seno es coseno. Necesito evaluarlo en su función. Después de copiar las cosas, simplemente hay que tomar la derivada de x al cuadrado,.
Este video introdujo la regla de la cadena, que. dice que la derivada de f compuesta con g en x es igual a f primo en g de x multiplicado por. g primo en x, o equivalentemente, d y dx es igual a d y d u veces d u dx. Este vídeo ofrece algunos.
ejemplos más y una justificación de la regla de la cadena, y también incluye una fórmula.
útil para la derivada de a elevado a x disadvantage disadvantage respecto a x, donde A es cualquier número positivo. En el siguiente ejemplo, quiero mostrar el uso la regla de la cadena de que la derivada de cinco.
Entonces.
a x usando reglas de exponentes es simplemente e elevado al ln cinco veces x. Entonces, si quiero.
tomar la derivada de cinco elevado a x, después reescribiéndolo como e al ln cinco veces x,.
déjame pensar en la función interna como si En cinco veces x.Y voy a pensar que la función.
externa es E elevada a esa potencia. De eso quería hacer el derivado. Entonces, según.
la regla de la cadena, primero puedo tomar la derivada de la función externa, la derivada de e elevado a.
la potencia es simplemente e elevado a la potencia, y lo evalúo en su función interna. Pero luego, según.
la regla de la cadena, necesito tomar la derivada de la función interna, bueno, la.
Y esa es mi derivada. Ahora sé que e elevado al ln cinco.
de lo que hablamos stakes. Entonces mi respuesta last es cinco elevado a x por ln cinco, o supongo.
que puedo reescribirlo en el otro orden. Eso es que no hay nada particular en cinco en este.
ejemplo, podría haber hecho lo mismo proceso con cualquier base positiva base a. Entonces.
voy a escribir eso como un principio general. que la derivada de a a x disadvantage respecto a.
x es igual a ln a por a a x.Este Es un hecho que vale la pena memorizar. Usaré.
este hecho para calcular la derivada de este complicado expresión, seno de 5x multiplicado por la raíz cuadrada.
de dos elevado al coseno 5x más uno. Encontrar dydx, primero usaré la regla del producto, ya que.
nuestra expresión es el producto de otras dos expresiones. Entonces D y dX es la primera expresión multiplicada.
por la derivada de la segunda expresión, que seguiré adelante y escribiré usando un exponente.
en lugar de un signo de raíz cuadrada, más la derivada de la primera expresión multiplicada por la segunda expresión. Ahora.
necesitaré usar la regla de la cadena para evaluar la derivada aquí. Mi función más externa.
es la función que eleva todo a la mitad de potencia. Entonces, cuando tomo la derivada, puedo.
usar la regla de la potencia, reducir la unidad la mitad, a la derecha del coseno 5x más uno al menos.
la mitad.Pero luego,

según la regla de la cadena, Voy a tener que multiplicar por la derivada.
de la función interna, que es a la coseno 5x más uno, por ahora continuaré.
con el resto de mi expresión, lo que quiero llevar la derivada de dos al coseno.
5x más uno, voy a tener que usar Vuelvo a aplicar la regla de la cadena, pensando que.
mi función exterior es dos elevado a uno más uno. Déjame copiar las cosas en la siguiente línea. Ahora tomando la derivada, la derivada de uno es simplemente cero, así que en realidad solo estoy.
llevando la derivada de dos al coseno 5x. Y Según mi fórmula, esto será ln f dos por.
dos. Este video introdujo la regla de la cadena, que.
dice que la derivada de f compuesta disadvantage g en x es igual a f primo en g de x multiplicado por.
g primo en x, o equivalentemente, d y dx es igual a d y d u veces d u dx.Este vídeo ofrece algunos. ejemplos más y una justificación de la regla de la cadena, y también incluye una fórmula.
útil para la derivada de a elevado a x con con respecto a x, donde A es cualquier número positivo. En el siguiente ejemplo, quiero mostrar el uso la regla de la cadena de que la derivada de cinco.
elevado a x es igual a ln cinco por cinco a la x. Primero, quiero reescribir cinco elevado a x con la.
misma facilidad que ln cinco veces x. y puedo hacer eso porque e al ln cinco es igual a cinco. Entonces.
e elevado a ln cinco elevado a x es igual a cinco elevado a la x.

La regla de la cadena es una Método realmente útil para encontrar la derivada. Y encontramos la derivada usando la regla de la cadena. Y encontramos la derivada usando la regla de la cadena. Pero ahora por la regla de la cadena, tenemos que multiplicar eso por la derivada de.
Este video clip introdujo la regla de la cadena, que.Pero e elevado a ln cinco elevado
De eso quería hacer el derivado.
derivada de ln cinco veces x es solo la coeficiente constante en cinco. Y esa es mi derivada. Ahora sé que e elevado al ln cinco. multiplicado por x es solo cinco elevado a x. De eso es.
de lo que hablamos antes. Entonces mi respuesta final es cinco elevado a x por ln cinco, o supongo.
que puedo reescribirlo en el otro orden. Eso es que no hay nada personal en cinco en este.
ejemplo, podría haber hecho lo mismo proceso con cualquier base positiva base a.Entonces.

voy a escribir eso como un principio general. que la derivada de a a x disadvantage respecto a.
x es igual a ln a por a a x. Este Es un hecho que vale la pena memorizar. Usaré.
este hecho para calcular la derivada de este complicado expresión, seno de 5x multiplicado por la raíz cuadrada.
de dos elevado al coseno 5x más uno. Encontrar dydx, primero usaré la regla del producto, ya que.
nuestra expresión es el producto de otras dos expresiones. Entonces D y dX es la primera expresión multiplicada.
por la derivada de la segunda expresión, que seguiré adelante y escribiré usando un exponente.
en lugar de un signo de raíz cuadrada, más la derivada de la primera expresión multiplicada por la segunda expresión. Ahora.
Entonces, cuando tomo la derivada, puedo.
la mitad. Pero luego, según la regla de la cadena, Voy a tener que multiplicar por la derivada.
de la función interna, que es a la coseno 5x más uno, por ahora continuaré.
con el resto de mi expresión, lo que quiero llevar la derivada de dos al coseno.
5x más uno, voy a tener que usar Vuelvo a aplicar la regla de la cadena, pensando que.
mi función outside es dos elevado a uno más uno. Déjame copiar las cosas en la siguiente línea. Ahora tomando la derivada, la derivada de uno es simplemente cero, así que en realidad solo estoy.
llevando la derivada de dos al coseno 5x.

Y Según mi fórmula, esto será ln f dos por.
dos. a la potencia del coseno 5x. Pero claro, tengo que.
usar la regla de la cadena. a la potencia del coseno 5x. Pero claro, tengo que.
usar la regla de la cadena. y multiplica por eso la derivada de la función.
interna aquí, que es coseno 5x. De nuevo, Por ahora, simplemente llevaré el resto de la expresión.
conmigo durante el viaje. ahora estamos tomando la derivada del coseno 5x, pienso en el.
Entonces puedo completar.
mi trabajo copiando muchas cosas y ahora tomando la derivada del coseno, que es.
menos seno, evaluada en su función interna, veces la derivada de la función interna.
5x, que es solo cinco. y voy a agregar a eso la derivada del seno de 5x. Bueno, la.
derivada del seno es el coseno, evaluada. en su función interna multiplicada por la derivada.
de la función interna 5x, que es solo cinco veces el resto de las cosas. Haré una modesta.
simplificación, tal vez traeré el constantes y combinar todos los términos que.
pueda. Y ese es el final de ese complicado ejemplo. Y en el siguiente ejemplo, intentaremos.
encontrar la derivada de una composición en el El valor x es igual a uno según una tabla de valores. Entonces la regla de la cadena dice que la derivada de f compuesta disadvantage g simplemente será f evaluada.
prima g de x multiplicada por g evaluada prima x, pero quiero hacer todo este proceso en.
x es igual a uno.Así que eso va

a ser f primo en g de uno multiplicado por g primo de uno. Bueno,.
g de uno es dos. Entonces realmente quiero f prime en dos, y f primo en dos es 10. Y g primo en uno.
es menos cinco. entonces mi respuesta es negativa 50. No voy a dar una prueba rigurosa de la.
regla de la cadena. pero me gustaría dar una explicación más informal basada en la definición.
límite de derivada. Así que voy a escribir la derivada de f compuesta disadvantage g evaluado.
en un punto A, como límite a medida que va x a a de f compuesta con g de x menos f compuesta con.
g de A dividido por x menos a. voy a reescribir esto ligeramente. Y ahora vamos a multiplicar la parte.
remarkable e inferior por g de x menos g de a, eso no cambia el valiance de la expresión, siempre.
que g de x menos g de A no sea cero. Ese es el detalle de barrer debajo de la alfombra aquí.
y por qué esto no es una prueba real, pero Sólo una explicación más informal.Ahora, si.

reorganizo las cosas y reescribo el límite de el producto como producto de los límites,.
mi límite a la derecha aquí es solo la derivada de g. para el límite de la izquierda, observe que.
cuando x va a a, g de x tiene que ir a g de a, ya que G es diferenciable allí para una función continua. Entonces puedo reescribir esto y dejar digamos que u es igual a g de x, puedo reescribir esto.
como el límite cuando u llega a g de a de f de u menos f de g de A sobre u menos g de a. Ahora.
mi expresión a la izquierda es solo otra. forma de escribir la derivada de f evaluada.
en g de a. Y he llegado a la expresión para la regla de la cadena. Permítanme enfatizar nuevamente.
que esto es sólo una pseudo prueba, no es bastante hermético, porque g de x menos g de a.
podría ser cero.En este vídeo vimos algunos Más ejemplos de la justificación de la regla. de la cadena. Y vimos que el respeto derivado ax y multiplica por eso la derivada de la función.
interna aquí, que es coseno 5x. De nuevo, Por ahora, simplemente llevaré el resto de la expresión.
conmigo durante el viaje. ahora estamos tomando la derivada del coseno 5x, pienso en el.
coseno como la función externa. y cinco multiplicado por x es la función interna. De manera comparable,.
5x, que es solo cinco. Bueno, la. Entonces la regla de la cadena dice que la derivada de f compuesta disadvantage g simplemente será f evaluada.
No voy a dar una prueba rigurosa de la. Así que voy a escribir la derivada de f compuesta disadvantage g evaluado. Y ahora vamos a multiplicar la parte.
como el límite cuando u llega a g de a de f de u menos f de g de A sobre u menos g de a. Ahora.
mi expresión a la izquierda es solo otra. forma de escribir la derivada de f evaluada.
En este vídeo vimos
algunos Más ejemplos de la justificación de la regla. Y vimos que el respeto derivado ax de A a la X es igual a ln de a por a a la.
x.Este vídeo da una explicación. por qué se cumple la regla de la cadena. de A a la X es igual a ln de a por a a la.
x. Este vídeo da una explicación. por qué se cumple la regla de la cadena. No voy a dar una prueba rigurosa de la regla.
de la cadena. Pero me gustaría dar un explicación más casual basada en la definición.
límite de derivada. No voy a dar una prueba rigurosa de la regla.
de la cadena. Pero me gustaría dar un explicación más informal basada en la definición.
límite de derivada. Entonces voy a escribir la derivada de f compuesta.
con g evaluado en un punto A, como límite cuando x va a a de f compuesta disadvantage g.
de x menos f compuesta con g de A dividido por x menos a.Reescribiré esto ligeramente. Y. ahora vamos a multiplicar la parte remarkable y la parte substandard por g de x menos g de a, eso no.
cambia el valor de la expresión, siempre que g de x menos g de A no es cero. Ese es el detalle.
de barrer debajo de la alfombra aquí y por qué esto no es una prueba actual, sino solo una explicación.
más casual. Ahora si reorganizo las cosas, y reescribir el límite del producto como el producto.
de los límites, mi límite a la derecha aquí está solo la derivada de g. para el límite.
de la izquierda, observe que cuando x va a a, g de x tiene que ir a G todos, ya que G.
es diferenciable allí para una función continua, entonces puedo reescribir esto y dejando que u sea.
igual a g de x, puedo reescribir esto como el límite cuando u va a g de a de f de u menos f.
de g de A Entonces voy a escribir la derivada de f compuesta.
con g evaluado en un punto A, como límite cuando x va a a de f compuesta con g.
de x menos f compuesta disadvantage g de A dividido por x menos a.Reescribiré esto ligeramente. Y. ahora vamos a multiplicar la parte remarkable y la parte substandard por g de x menos g de a, eso no.
cambia el valor de la expresión, siempre que g de x menos g de A no es cero. Ese es el detalle.
de barrer debajo de la alfombra aquí y por qué esto no es una prueba actual, sino solo una explicación.
más casual. Ahora si reorganizo las cosas, y reescribir el límite del producto como el producto.
de los límites, mi límite a la derecha aquí está solo la derivada de g. para el límite.
de la izquierda, observe que cuando x va a a, g de x tiene que ir a G todos, ya que G.
es diferenciable allí para una función continua, entonces puedo reescribir esto y dejando que u sea.
igual a g de x, puedo reescribir esto como el límite cuando u va a g de a de f de u menos f.
de g de A encima encima u menos g de a.Ahora mi

expresión de la izquierda.
es sólo otra forma de escribir la derivada of f evaluado en G Ave. Y llegué a la expresión.
de la regla de la cadena. Dejar Solo enfatizo nuevamente, esto es solo una pseudo prueba,.
no es del todo hermético porque g de x menos g de a podría ser cero. Eso es todo para.
Consulte el libro de texto. La diferenciación. Hasta ahora, hemos desarrollado.
En esto sección, consideraremos curvas que se definen implícitamente,. Como puede ver, cuando tiene curvas definidas implícitamente,.
Y de hecho, no sólo pueden violar la prueba de la.
es sólo otra forma de escribir la derivada of f evaluado en G Ave. Y llegué a la expresión. de la regla de la cadena. Dejar Solo enfatizo nuevamente, esto es solo una pseudo prueba,. no es del todo hermético porque g de x menos g de a podría ser cero.
Eso es todo para. Consulte el libro de texto. La diferenciación.
Como puede ver, cuando tiene curvas definidas implícitamente,. Y de hecho, no sólo pueden violar la prueba de la.
línea upright, sino que también pueden santiguarse, o dividirse en varios pedazos o knowledgeable
como imágenes. realmente geniales como esta flor.Pero los fragmentos pequeños de estas curvas sí satisfacen la. prueba de la línea vertical para fragmentos pequeños, y es una función de x. Y eso nos permite utilizar. nuestras técnicas de cálculo, especialmente las regla de la cadena, para calcular las derivadas de estas curvas. definidas implícitamente. Como es habitual, la derivada dy dx representa la pendiente. de una recta tangente.Para nuestra primera Por ejemplo, encontremos la
ecuación de la recta tangente. de los labios 9x al cuadrado más cuatro y al cuadrado.
En la imagen, parece la pendiente.
9x al cuadrado sobre cuatro, o en otros palabras, más o menos la raíz cuadrada de 25 menos. 9x al cuadrado entre dos, la respuesta más nos está dando la mitad exceptional de la
elipse. Y la respuesta negativa es darnos este fondo.
Y ahora comenzaré a usar la regla. Para nuestra primera Por ejemplo, encontremos la ecuación de la recta tangente. En la imagen, parece la pendiente.
9x al cuadrado sobre cuatro, o en otros palabras, más o menos la raíz cuadrada de 25 menos. 9x al cuadrado entre dos, la respuesta más nos está dando la mitad superior de la elipse. Y la respuesta negativa es darnos este fondo.Como el punto uno, dos está en la parte exceptional.
Y tomemos la derivada. Pero primero,. déjame reescribir una vez más para poner en una forma un poco más fácil, en lugar de dividir. por dos, voy a pensar en multiplicar por la mitad constante. Y en lugar de sacar. la raíz cuadrada, lo escribiré como un exponente de la mitad aquí.
Así que ahora. Y ahora comenzaré a usar la regla
. Esta fórmula sólo se mantiene para la mitad exceptional de la elipse para.
la mitad substandard, necesitaríamos usar el negativo. Ahora quiero evaluar la derivada en.
el punto uno, dos, así que voy a tomar dydx. Cuando x es igual a uno, obtengo menos nueve partido. por dos por la raíz cuadrada de 25 menos nueve, que es menos nueve octavos.Como encontré.
la pendiente de la recta tangente, y sé que el punto uno, dos es un punto en. la recta tangente, ahora puedo usar el punto forma de pendiente para escribir la ecuación de la recta.
tangente. simplificado esto se convierte en y es igual menos nueve es x

más nueve ochos
más dos, o. y es igual a menos nueve, es x más 25. Ahora hemos resuelto el problema una vez utilizando. un método acquainted. volvamos a desde el principio y resuélvelo nuevamente usando un nuevo. método. El método dos es la diferenciación implícita.La concept es que voy a tomar la derivada con respecto. a x de ambos lados.

Entonces la regla de la cadena dice que la derivada de f compuesta con g simplemente será f evaluada. En este vídeo vimos
algunos Más ejemplos de la justificación de la regla. Y vimos que el respeto derivado ax de A a la X es igual a ln de a por a a la.
9x al cuadrado entre dos, la respuesta más nos está dando la mitad superior de la
elipse. 9x al cuadrado entre dos, la respuesta más nos está dando la mitad premium de la elipse.si mi ecuacion wrong tener que resolver para y, puedo reescribir el
lado izquierdo como nueve veces la derivada de x al cuadrado más cuatro veces la derivada
Y el lado derecho, la derivada. Volviendo al lado izquierdo,
la derivada de x al cuadrado disadvantage respecto ax es 2x. Ahora, para la derivada de y al cuadrado
con respecto a x, necesitaré usar la regla de la cadena, voy a pensar en tomar la potencia
al cuadrado como mi función externa, Voy a pensar en y como mi función interna,
mi función interna de x. A pesar de toda mi curva no es una función, para partes pequeñas
de ella, y es una función de x, así que puedo salirse con la suya, la derivada de mi función
externa y al cuadrado es y, y la derivada de mi función interna, y en función
de x es simplemente dydx. ahora puedo resolver para dy dx, que me dirá la pendiente de mi recta
tangente.Y entonces me pongo negativo 18x desde aquí, dividido por ocho y desde aquí, que se simplifica a menos nueve cuartos multiplicado por X sobre Y. Observe que la fórmula para mi derivada dydx tiene x e y en él.
Si simplifico un poco, obtengo que D y dX es negativo 18x sobre cuatro por 25 menos 9x al cuadrado a la
mitad de la potencia, o en otras palabras, dy dx es menos 9x sobre dos veces la raíz cuadrada de 25 menos 9x al cuadrado.Esta fórmula sólo se mantiene para la mitad exceptional de la elipse para la mitad inferior

, necesitaríamos usar el negativo. Ahora quiero evaluar la derivada en el
punto uno, dos, así que voy a tomar dydx. Cuando x es igual a uno, obtengo menos nueve partido por dos por la raíz cuadrada de 25 menos nueve, que es menos nueve octavos. Como encontré la pendiente de la recta tangente, y sé que el punto uno, dos es un punto en la recta tangente, ahora puedo usar el punto forma de pendiente para escribir la ecuación de la recta tangente. simplificado esto se convierte en y es igual menos nueve es x más nueve ochos más dos, o. y es igual a menos nueve, es x más 25. Ahora hemos resuelto el problema una vez utilizando. un método familiar. volvamos a desde el principio y resuélvelo nuevamente usando un nuevo. método. El método dos es la diferenciación implícita.
La idea es que voy a tomar la derivada disadvantage respecto. Y el lado derecho, la derivada.
Volviendo al lado izquierdo,. la derivada de x al cuadrado con respecto ax es 2x.
Ahora, para la derivada de y al cuadrado. con respecto a x, necesitaré usar la regla de la cadena, voy a pensar en tomar la potencia. al cuadrado como mi función externa, Voy a pensar en y como mi función interna,. mi función interna de x. A pesar de toda mi curva no es una función, para partes pequeñas. de ella, y es una función de x, así que puedo
salirse con la suya, la derivada de mi función. externa y al cuadrado es y, y la derivada de mi función interna, y en función. de x es simplemente dydx.
Y entonces me pongo negativo 18x desde aquí, dividido por ocho y desde aquí,.
Por supuesto, para este problema, si quisiera,. Pero yo realmente no Pero yo
realmente no Necesito hacerlo para resolver este problema. En lugar de.
x es igual a uno, igual a menos nueve cuartos, multiplicado por la mitad o menos nueve, ocho,
que reconoceremos. como la misma respuesta que obtuvimos antes.Como stakes, podemos calcular la ecuación de la. recta tangente.
Pero fue posible resolver para y y usar métodos estándar en su lugar. Pero en muchos ejemplos,. Y por eso la diferenciación implícita.
es el único camino a seguir.Diferenciación implícita es definitivamente la clave para encontrar y prima para esta.
Así que de nuevo, el La idea es tomar la derivada de ambos lados. Y ahora u.s.a. la regla del producto para la primera.
Entonces obtengo la primera función x al cubo por la derivada de la segunda función y al. cuadrado, la derivada de y al cuadrado es a y, d y dx, no olvides el dydx allí, porque. Necesito hacerlo
para resolver este problema.En lugar de. Como antes, podemos calcular la ecuación de la.
Y volveremos a conseguir y es igual a menos nueve 8x más 25, ochos.En. Pero en muchos ejemplos,. Y por eso la diferenciación implícita.
Así que de nuevo, el La concept es tomar la derivada de ambos lados. A continuación, necesito tomar la derivada del seno x,. Y ahora necesito tomar la derivada de la dentro de
x multiplicado por y. Y esa será una aplicación.
Y encontré mi derivada usando diferenciación implícita. Para encontrar las pendientes de rectas tangentes para curvas definidas.
implícitamente, los dos pasos principales fueron primero en tomar la derivada de ambos lados. con respecto a x. Y luego resolver para dy dx.Este video clip trata sobre cómo encontrar las derivadas. de funciones exponenciales, ya hemos visto que la derivada de la función exponencial, e elevado. a x

, es ella misma, e elevado a x. Pero ¿ Cuál es la derivada de una función exponencial disadvantage. una base diferente, como cinco elevado a la x? una forma de encontrar la derivada de una función exponencial. Entonces cinco, es lo mismo. Mira, esto tiene.
E para obtener cinco. Así que ahora si tomamos e al ln cinco, ¿ eso significa que elevamos e a la potencia. Bueno, cuando elevas E a esa potencia,
obtienes.
tomar la derivada con respecto a x de e elevado al ln cinco veces x. Ahora que sabemos cómo.
calcular esto usando la regla de la cadena, Podemos pensar en e elevado a la potencia como nuestra función.
externa y en cinco veces x como nuestra función interna. función. Ahora, según la regla de la cadena,.
tomo la derivada de la función externa e a la potencia, y eso me da e a la potencia evaluada.
en la función interna. Entonces Sigo l cinco veces x como mi función interna y, según.
la regla de la cadena, la multiplico por la derivada de la función interna, ln cinco veces.
x.Cinco es

una constante. Así que permítanme Copie la primera parte, la derivada de una constante.
multiplicada por x es solo la constante. Dejar Reescribo esto un poco. Entonces e elevado a ln.
cinco veces x es lo mismo que e elevado a el ln cinco elevado a x, como antes, porque las.
reglas de exponentes dicen, cuando tomo una potencia a una potencia, multiplico el exponente,.
y recuerda, es el LL cinco, es solo un Manera elegante de escribir cinco. Entonces tengo.
cinco elevado a x por ln cinco como derivada con respecto a x de cinco elevado a la x. El mismo argumento funciona.
no sólo para una base exponencial de cinco función, pero para cualquier función exponencial base. Entonces, si tomo el respeto a x de A al X para cualquier número A, voy a obtener A continuación, necesito tomar la derivada del seno x,.
y y luego usar la regla de la cadena aquí.Entonces la derivada

del seno outside es el coseno. Y ahora necesito tomar la derivada de la dentro de x multiplicado por y. Y esa será una aplicación.
de reglas de producto. Entonces x multiplicado por D y dX, más la derivada de x, que es solo uno por.
y. Todo eso age solo mi lado izquierdo. Pero, afortunadamente, mi lado derecho es más fácil. La derivada de x al cubo con respecto a x es 3x al cuadrado.Y la derivada de y al cubo disadvantage.
respecto a x es tres y al cuadrado, dy dx. Ahora necesito resolver para y dx. Y como está.
esparcido por todo el lugar en tres diferentes lugares, primero voy a distribuirlo.
para liberarlo de estos paréntesis, y Luego intentaré moving company todo el dydx hacia el lado izquierdo. Así que distribuyendo lo que obtengo, lo que obtengo esta expresión. Y ahora moviendo alternativas con.
dydx y agregándolas al lado izquierdo y todos los términos wrong dydx mm al lado derecho. Voy a obtener esta expresión aquí.Ahora Voy a factorizar el dy dx. Aquí solo estoy.
usando técnicas de álgebra estándar. Y Finalmente, también puedo dividir a ambos lados.
Y encontré mi derivada usando diferenciación implícita. Este.
video clip habla sobre el uso de la diferenciación implícita. Para encontrar las pendientes de rectas tangentes para curvas definidas.
implícitamente, los dos pasos principales fueron primero en tomar la derivada de ambos lados.
con respecto a x. Y luego resolver para dy dx. Este video trata sobre cómo encontrar las derivadas.
de funciones exponenciales, ya hemos visto que la derivada de la función exponencial, e elevado.
a x, es ella misma, e elevado a x.Pero ¿ Cuál es la derivada de una función exponencial disadvantage.
una base diferente, como cinco elevado a la x? una forma de encontrar la derivada de una función exponencial.
como cinco elevado a la X es escribir cinco como e a una potencia. Entonces cinco, es lo mismo.
que e al ln cinco, donde ln es el all-natural tronco o la base del tronco. Mira, esto tiene.
sentido porque en cinco, que es lo mismo que log base e de cinco, significa la potencia a la que elevamos.
E para obtener cinco. Así que ahora si tomamos e al ln cinco, ¿ eso significa que elevamos e a la potencia.
a la que elevamos E para obtener cinco? Bueno, cuando elevas E a esa potencia, obtienes.
cinco.Muy bien, si cinco es lo mismo. como e al ln cinco, entonces eso significa que. si elevamos cinco a la x, es lo mismo como e al ln cinco elevado a la x potencia BI propiedades.
de los exponentes, cuando tomo un potencia a una potencia, multiplico los exponentes. entonces.
esto se puede escribir como e elevado al ln cinco veces x. Ahora quiero tomar la derivada disadvantage respecto.
a x de cinco elevado a la x. Entonces por mi truco de reescritura, es lo mismo que.
tomar la derivada disadvantage respecto a x de e elevado al ln cinco veces x. Ahora que sabemos cómo.
calcular esto usando la regla de la cadena, Podemos pensar en e elevado a la potencia como nuestra función.
externa y en cinco veces x como nuestra función interna. función. Ahora, según la regla de la cadena,.
tomo la derivada de la función externa e a la potencia, y eso me da e a la potencia evaluada.
en la función interna. Entonces Sigo l cinco veces x como mi función interna y, según.
la regla de la cadena, la multiplico por la derivada de la función interna, ln cinco veces.
x.Cinco es

una constante. Así que permítanme Copie la primera parte, la derivada de una constante.
multiplicada por x es solo la constante. Dejar Reescribo esto un poco. Entonces e elevado a ln.
cinco veces x es lo mismo que e elevado a el ln cinco elevado a x, como antes, porque las.
reglas de exponentes dicen, cuando tomo una potencia a una potencia, multiplico el exponente,.
y recuerda, es el LL cinco, es solo un Manera elegante de escribir cinco.Entonces tengo.

cinco elevado a x por ln cinco como derivada disadvantage respecto a x de cinco elevado a la x. El mismo argumento funciona.
no sólo para una base exponencial de cinco función, pero para cualquier función exponencial base. Entonces, si tomo el respeto a x de A al X para cualquier número A, voy a obtener a a la x multiplicada por l en A. Ahora, quizás te preguntes, ¿ qué.
pasa si uso el mismo rollo en nuestro viejo favorito? e a la x. Entonces nuestra base aquí es E. ¿ Eso significa que.
debería llevar e a x multiplicado por ln e? Espera un seg, ln E, eso es log base e de E, eso es.
¿ él? Bueno, la respuesta hay una.Y entonces.
la derivada disadvantage respecto a x de e a la x Por esta nueva regla tenemos que e elevado a x, concuerda.
con nuestra antigua regla. quiero dibujar tu Atención a la diferencia entre dos expresiones. Y la primera expresión, dy dx de a al x, la variable con respecto a la cual estamos tomando la.
derivada está en el exponente. entonces para esta función exponencial, o usamos la regla derivada que.
acabamos de encontrar, dy dx de un dx es ocho de x por ln A. Por otro lado, si tomamos.
respecto de x de x a la A, donde la variable x con respecto a la cual estamos tomando.
la derivada está en la base, entonces no Necesito esta regla exponencial. De hecho, ni siquiera.
se aplica, aunque aquí tenemos el poder. regla, ¿ verdad? dy dx de x al cubo sería 3x.
al cuadrado dy dx de x al séptimo sería 7x al sexto y disfruta Sumar x de x a a es solo.
a multiplicado por x a A menos uno por el papel de poder. Por eso es importante prestar atención.
a dónde está la variable cuando estás tomando un derivado.En este video

, encontramos que.
la derivada disadvantage respecto a x de cinco a la x está dada por ln cinco por cinco elevado.
a la x. Y en general, la derivada del respeto. a x de A a la X va a ser ln a multiplicado por.
a a la x. Esto nos da una fórmula general. para la derivada de funciones exponenciales. El.
objetivo principal de este vídeo es descubrir las derivadas de funciones logarítmicas, funciones.
como y es igual a ln x, o y es igual a log base A x para cualquier base positiva a, quiero.
encontrar la derivada de log base a de x. En otras palabras, quiero encontrar la derivada de.
y, donde y es log en base a de x. Por la definición de logaritmos, log base a de x es igual a y significa.
que a elevado a Y es igual a x. Y eso es útil porque ahora puedo tomar la derivada de ambos.
lados y usar la diferenciación implícita. La recuperación de la derivada de a elevada a la potencia es ln.
A multiplicada por A elevada a la potencia. Pero desde por qué estamos pensando en función de x, tengo que.
multiplicarlo por dou y dx por la cadena regla.El lado derecho aquí es sólo uno. Resolviendo. para dydx, obtengo uno sobre ln A veces A a la Y. Pero como la edad y es igual a x, puedo.
reescribir eso como y dx es igual a uno sobre ln A multiplicado por x. Entonces la derivada de log en.
base a de x para cualquier base a es uno partido por ln de A multiplicado por x. Y en particular, la derivada del.
log natural de x es uno partido por ln de E veces X. Pero como ln de E es solo uno, decir que.
la derivada de ln x es uno sobre x, Este es un hecho muy útil. Y también vale la pena memorizar.
esta derivada más general.Mientras estamos hablando de la derivada del logaritmo. all-natural de x, veamos la derivada del logaritmo natural del valor absoluto de x. La función y es igual a ln de valiance absoluto de x está, por supuesto, estrechamente relacionada disadvantage la función. y es igual a ln de x, siendo la diferencia que el dominio de ln x kid solo valores de x mayores que cero,. mientras que el dominio de ln de valores absolutos
El valor de x es que todas las X no boy iguales a cero. Los. gráficos también están relacionados. cuando miras la gráfica de
y es igual a l en el valiance absoluto. de x, parece que estás viendo el doble desde el valor absoluto de x es igual a x, cuando. x es mayor o igual a cero y negativo x cuando x es menor que cero, ln del valor absoluto. de x va a ser igual a ln x cuando x es mayor o igual a cero, y ln de x negativo.
cuando x es menor que cero. Si Considero la derivada de ln del valiance absoluto.
útil más adelante, cuando empecemos a hacer integrales. En este video, encontramos que la derivada de ln x. es igual a uno partido por x,
una especie de buen derivado. Y de manera más basic, la derivada de log en base.

Así que de nuevo, el La concept es tomar la derivada de ambos lados. Entonces obtengo la primera función x al cubo por la derivada de la segunda función y al. cuadrado, la derivada de y al cuadrado es a y, d y dx, no olvides el dydx allí, porque. Como stakes, podemos calcular la ecuación de la. Ahora, según la regla de la cadena,.
Y la primera expresión, dy dx de a al x, la variable con respecto a la cual estamos tomando la.Hemos visto anteriormente que la derivada de x a.
una constante A es igual a a multiplicado por x a la A menos uno.Ésta es la

regla del poder. También hemos visto que la derivada de un positivo El número a elevado a la potencia x es igual a ln A multiplicado.
por A elevado a X. Entonces sabemos cómo tomar la derivada cuando la variable x está en la base,.
o cuando está en el exponente. Pero que si las variables tanto en la base como en el.
exponente, ¿ cómo tomamos la derivada de x a la x.Para diferenciar funciones como esta,.
necesitaremos usar la técnica de logarítmica diferenciación. Para encontrar la derivada.
de x sobre x, voy a igualar y a x a la x. Ahora queremos encontrar dy dx. Como.
no sabemos cómo calcular dydx directamente, entonces tomemos el registro all-natural de ambos lados. Tomar.
el registro suele ser un truco útil cuando tienes una variable en el exponente que no.
sabes cómo manejar, porque las propiedades de registros nos permiten reducir ese exponente y multiplicarlo. Ahora tenemos y implícitamente definido en términos de x, entonces usemos diferenciación.
implícita, tomaremos la derivada de ambos lados con respecto a x. Y ahora no deberíamos.
Entonces la derivada de la izquierda de ln y es uno sobre y multiplicado por dy dx. Y.
la derivada de la derecha usando el producto.
x. a a la x multiplicada por l en A.Ahora, quizás te preguntes, ¿ qué.
pasa si uso el mismo rollo en nuestro viejo favorito? e a la x. Entonces nuestra base aquí es E. ¿ Eso significa que.
debería llevar e a x multiplicado por ln e? Espera un seg, ln E, eso es log base e de E, eso es.
Bueno, la respuesta hay una. Y entonces.
la derivada disadvantage respecto a x de e a la x Por esta nueva regla tenemos que e elevado a x, concuerda.
con nuestra antigua regla. quiero dibujar tu Atención a la diferencia entre dos expresiones. Y la primera expresión, dy dx de a al x, la variable con respecto a la cual estamos tomando la.
derivada está en el exponente.Entonces para esta función exponencial, o usamos la regla derivada que. acabamos de encontrar, dy dx de un dx es ocho de x por ln A. Por otro lado, si tomamos.
respecto de x de x a la A, donde la variable x con respecto a la cual estamos tomando.
la derivada está en la base, entonces no Necesito esta regla exponencial. De hecho, ni siquiera.
se aplica, aunque aquí tenemos el poder. regla, ¿ verdad? dy dx de x al cubo sería 3x.
al cuadrado dy dx de x al séptimo sería 7x al sexto y disfruta Sumar x de x a a es solo.
a multiplicado por x a A menos uno por el papel de poder. Por eso es importante prestar atención.
a dónde está la variable cuando estás tomando un derivado. En este video, encontramos que.
la derivada con respecto a x de cinco a la x está dada por ln cinco por cinco elevado.
a la x. Y en general, la derivada del respeto. a x de A a la X va a ser ln a multiplicado por.
a a la x.Esto nos da una fórmula general. para la derivada de funciones exponenciales. El.
objetivo principal de este vídeo es descubrir las derivadas de funciones logarítmicas, funciones.
como y es igual a ln x, o y es igual a log base A x para cualquier base positiva a, quiero.
encontrar la derivada de log base a de x. En otras palabras, quiero encontrar la derivada de.
y, donde y es log en base a de x. Por la definición de logaritmos, log base a de x es igual a y significa.
que a elevado a Y es igual a x. Y eso es útil porque ahora puedo tomar la derivada de ambos.
lados y usar la diferenciación implícita. La recuperación de la derivada de a elevada a la potencia es ln.
A multiplicada por A elevada a la potencia.Pero desde por qué estamos pensando en función de x, tengo que. multiplicarlo por dou y dx por la cadena regla. El lado derecho aquí es sólo uno. Resolviendo. para dydx, obtengo uno sobre ln A veces A
a la Y. Pero como la edad y es igual a x, puedo. reescribir eso como y dx es igual a uno sobre ln A multiplicado por x. Entonces la derivada de log en. base a de x para cualquier base a es uno partido
por ln de A multiplicado por x.Y en specific, la derivada del. log natural de x es uno

partido por ln de E veces X. Pero como ln de E es solo uno, decir que. la derivada de ln x es uno sobre x, Este
es un hecho muy útil. Y también vale la pena memorizar. esta derivada más general.
Mientras estamos hablando de la derivada del logaritmo. Los.
x es mayor o igual a cero y negativo x cuando x es menor que cero, ln del valiance absoluto. de x va a ser igual a ln x cuando x es mayor o igual a cero, y ln de x negativo.
cuando x es menor que cero. Si Considero la derivada de ln del valiance absoluto.
de x, se me ocurre tomar la derivada de cada pieza por separado. Acabamos de ver que la.
derivada de ln x es uno partido por x. Entonces el derivada de ln de menos x será uno sobre menos.
x multiplicado por la derivada de menos x, que es menos uno según la regla de la cadena.Observe.

que esta segunda expresión se simplifica a uno sobre x. Entonces la derivada de ln del valiance absoluto.
de x es igual a uno partido por x, ya sea x es positivo o negativo. Esta fórmula nos resultará.
útil más adelante, cuando empecemos a hacer integrales. En este video, encontramos que la derivada de ln x.
es igual a uno partido por x, una especie de buen derivado. Y de manera más basic, la derivada de log en base.
También hemos visto que la derivada de un positivo El número a elevado a la potencia x es igual a ln A multiplicado
. Pero que si las variables tanto en la base como en el. Para encontrar la derivada.
de x sobre x, voy a igualar y a x a la x.Ahora queremos encontrar dy dx. Como. no sabemos cómo calcular dydx directamente, entonces tomemos el registro natural de ambos lados. Tomar.
el registro suele ser un truco útil cuando tienes una variable en el exponente que no.
sabes cómo manejar, porque las propiedades de registros nos permiten reducir ese exponente y multiplicarlo. Ahora tenemos y implícitamente definido en términos de x, entonces usemos diferenciación.
implícita, tomaremos la derivada de ambos lados disadvantage respecto a x. Y ahora no deberíamos.
La regla es x por uno sobre x más uno por ln.
x. Esto se simplifica a uno sobre y d y dx igual a uno.
más ln x. Entonces D y dX va a ser igual y multiplicado por uno más ln x. y reemplazando y con.
x elevado a x, tengo dy dx es x elevado a x veces uno más ln x. Esta técnica de tomar el registro.
de ambos lados diferenciando y resolviendo para dydx se conoce como diferenciación logarítmica. Y es enormemente útil siempre que tengas variables tanto en la base como en el exponente. Aquí.
Usar mis reglas logarítmicas para bajar mi exponente.
y multiplicarlo y tomar la derivada de ambos lados con respecto a x. A la izquierda, tengo.
uno sobre y d y dx. Y a la derecha me sale uno de nuestros x multiplicado por la derivada de ln tangente.
x, que es uno sobre la tangente x multiplicado por la derivada de tangente x, o secante al cuadrado x, continuando.
con la regla del producto, y no tomó la derivada de una de nuestras x, esa será.
la derivada de x elevado a menos uno, que es menos uno multiplicado por x elevado a menos Esto se simplifica a uno sobre y d y dx igual a uno.
más ln x.Entonces D y

dX va a ser igual y multiplicado por uno más ln x. y reemplazando y disadvantage.
x elevado a x, tengo dy dx es x elevado a x veces uno más ln x. Esta técnica de tomar el registro.
de ambos lados diferenciando y resolviendo para dydx se conoce como diferenciación logarítmica. Y es enormemente útil siempre que tengas variables tanto en la base como en el exponente. Aquí.
hay otro ejemplo donde nuestra variable está tanto en la base como en el exponente. Como antes, voy a igualar y a la expresión que quiero diferenciar y calcular dydx. Primero,.
tomaré el registro de ambos lados. Usar mis reglas logarítmicas para bajar mi exponente.
y multiplicarlo y tomar la derivada de ambos lados con respecto a x.A la izquierda, tengo.
uno sobre y d y dx. Y a la derecha me sale uno de nuestros x multiplicado por la derivada de ln tangente.
x, que es uno sobre la tangente x multiplicado por la derivada de tangente x, o secante al cuadrado x, continuando.
con la regla del producto, y no tomó la derivada de una de nuestras x, esa será.
la derivada de x elevado a menos uno, que es menos uno multiplicado por x elevado a menos dos dos veces l tangente de x. Simplificando el lado derecho,.
obtengo uno sobre x por uno sobre seno x sobre coseno x por uno sobre coseno al cuadrado.
x menos ln 10x sobre x al cuadrado. reescribir, Puedo invertir y multiplicar para obtener uno sobre.
x por coseno x sobre seno x por uno sobre coseno al cuadrado x menos el segundo término, cancelando una.
copia del coseno y reescribiendo en términos de cosecante y secante, obtengo esta expresión, todavía.
tengo que resolver para dy dx.Veces l tangente de x. Simplificando el lado derecho,. obtengo uno sobre x por uno sobre seno x sobre coseno x por uno sobre coseno al cuadrado.
x menos ln 10x sobre x al cuadrado. reescribir, Puedo invertir y multiplicar para obtener uno sobre.
x por coseno x sobre seno x por uno sobre coseno al cuadrado x menos el segundo término, cancelando una.
copia del coseno y reescribiendo en términos de cosecante y secante, obtengo esta expresión, todavía.
tengo que resolver para dy dx. Entonces, multiplicando ambos lados por y, obtengo.
lo siguiente. Y como y age igual a 10x a el que está sobre x, puedo reescribir todo en términos.
de x. La técnica de la diferenciación logarítmica.Es más útil cuando se

toma la derivada de una. expresión que tiene una variable en ambos la base y el exponente, como en este ejemplo, pero.
a veces también es útil como una forma tomar la derivada de un producto complicado y un cociente.
como en este ejemplo. Ahora nosotros Podríamos tomar la derivada aquí simplemente usando la.
regla del cociente sobre la regla del producto, pero es un poco más fácil tomar el tronco de ambos.
lados.Y la razón es

que cuando tomamos el logaritmo de un producto, obtenemos una suma y el.
logaritmo de un cociente es una diferencia y sumas y los cocientes kid mucho más fáciles de manejar. Entonces,.
en este ejemplo, el log de y es igual a ln de x más ln de coseno de x menos ln de x.
al cuadrado más x a la quinta potencia, I Incluso puedo reducir ese quinto poder, porque ese.
es otro de mis roles de registro. Ahora es Es mucho más sencillo tomar el registro de ambos.
lados. A la izquierda tengo uno encima. y dydx, como siempre, y a la derecha, la derivada de ln.
x es uno partido por x, la derivada de ln El coseno x es uno sobre el coseno de x por el seno negativo.
de x. Y la derivada de ln x al cuadrado más x es uno partido por x al cuadrado más x.
por 2x más uno. Resolveré dydx y obtendré y multiplicado por uno sobre x menos seno x sobre coseno.
x, eso es lo mismo que tangente x menos cinco por 2x más uno sobre x al cuadrado más x.Ahora.

puedo reescribir y en términos de x y estar hecho. Nuevamente, no tuve que usar diferenciación.
logarítmica. Para encontrar esta derivada, Podría haber usado la regla del producto en la regla.
del cociente, pero la diferenciación logarítmica lo hizo computacionalmente mucho más fácil. En.
este video, aprendimos cómo tomar la derivada. de expresiones que tienen una variable tanto en.
la base como en el exponente. y la concept fue el primero en establecer y igual a la expresión que.
queremos derivar. A continuación, tomar lo natural. registro de ambos lados. A continuación, para derivar ambos.
Y finalmente, resolver para dy dx. La inversa.
de una función deshace lo que la función lo hace, por lo que lo contrario de atarse los zapatos.
Y la inversa de la función.Que suma dos a un número sería la función. Este video clip Introduce inversas y sus propiedades. En otras palabras, f de dos es tres,.
Negativo 1x deshace lo que hace f. Dado que f toma de dos a tres, F.
inversa lleva de tres a dos. entonces escribimos este superíndice f, menos uno de tres es dos. De manera similar, dado que f toma tres para cinco, F inversa toma cinco a tres. Y como f toma.
de cuatro a seis, f inversa de seis es cuatro. Y como f toma cinco a uno, f inversa de uno es.
cinco.Usaré estos números para completar en el gráfico. Observe que la tabla de valores cuando. y es igual a f de x y la tabla de valores cuando y es igual a f, la inversa de x está estrechamente relacionada. Comparten los mismos números, pero los valores de x para f de x corresponden a los valores de y para.
f inversa de x, y los valores de y para f de x corresponden a los valores de x para f inversa.
de x. Eso nos lleva al guide hecho clave. Las funciones inversas invierten los roles de y.
y x. Voy a trazar los puntos para y es igual f de x en azul. Entonces, multiplicando ambos lados por y, obtengo.
lo siguiente. Y como y period igual a 10x a el que está sobre x, puedo reescribir todo en términos.
de x. La técnica de la diferenciación logarítmica. Es más útil cuando se toma la derivada de una.
expresión que tiene una variable en ambos la base y el exponente, como en este ejemplo, pero.
a veces también es útil como una forma tomar la derivada de un producto complicado y un cociente.
como en este ejemplo.Ahora nosotros

Podríamos tomar la derivada aquí simplemente usando la.
regla del cociente sobre la regla del producto, pero es un poco más fácil tomar el tronco de ambos.
lados. Y la razón es que cuando tomamos el logaritmo de un producto, obtenemos una suma y el.
logaritmo de un cociente es una diferencia y sumas y los cocientes son mucho más fáciles de manejar. Entonces,.
en este ejemplo, el log de y es igual a ln de x más ln de coseno de x menos ln de x.
al cuadrado más x a la quinta potencia, I Incluso puedo reducir ese quinto poder, porque ese.
es otro de mis duties de registro.Ahora es Es mucho

más sencillo tomar el registro de ambos. lados. A la izquierda tengo
uno encima. y dydx, como siempre, y a la derecha, la derivada de ln.
x es uno partido por x, la derivada de ln El coseno x es uno sobre el coseno de x por el seno negativo.
de x. Y la derivada de ln x al cuadrado más x es uno partido por x al cuadrado más x.
por 2x más uno. Resolveré dydx y obtendré y multiplicado por uno sobre x menos seno x sobre coseno.
x, eso es lo mismo que tangente x menos cinco por 2x más uno sobre x al cuadrado más x.Ahora.

puedo reescribir y en términos de x y estar hecho. Nuevamente, no tuve que usar diferenciación.
logarítmica. Para encontrar esta derivada, Podría haber usado la regla del producto en la regla.
del cociente, pero la diferenciación logarítmica lo hizo computacionalmente mucho más fácil. En.
este video clip, aprendimos cómo tomar la derivada. de expresiones que tienen una variable tanto en.
la base como en el exponente. y la idea fue el primero en establecer y igual a la expresión que.
A continuación, tomar lo natural. A continuación, para derivar ambos.
Y finalmente, resolver para dy dx. La inversa.
de una función deshace lo que la función lo hace, por lo que lo contrario de atarse los zapatos.
sería desatarlos.Y la inversa de

la función. que suma dos a un número sería la función.
que resta dos a un número. Este video Present inversas y sus propiedades. Supongamos.
que f de x es la función definida por este cuadro. En otras palabras, f de dos es tres,.
Negativo 1x deshace lo que hace f. Dado que f toma de dos a tres, F.
inversa lleva de tres a dos. De manera comparable, dado que f toma tres para cinco, F inversa toma cinco a tres.Y como f toma.
de cuatro a seis, f inversa de seis es cuatro. Y como f toma cinco a uno, f inversa de uno es.
cinco. Usaré estos números para completar en el gráfico. Observe que la tabla de valores cuando.
y es igual a f de x y la tabla de valores cuando y es igual a f, la inversa de x está estrechamente relacionada. Comparten los mismos números, pero los valores de x para f de x corresponden a los valores de y para.
f inversa de x, y los valores de y para f de x corresponden a los valores de x para f inversa.
de x.Eso nos lleva al guide hecho clave. Las funciones inversas invierten los duties de y.
y x. Voy a trazar los puntos para y es igual f de x en azul. A continuación, trazaré los puntos para y es igual.
a f inversa de x en rojo. Pausa el vídeo por un momento y observa qué tipo de simetría observas en esta.
gráfica. ¿ Cómo se relacionan los puntos azules? a los puntos rojos, habrás notado que los.
puntos azules y los puntos rojos son imágenes especulares sobre la línea especular, y es igual a.
x. Entonces nuestro segundo hecho clave es que la gráfica de y es igual a f la inversa de x se puede obtener a.
partir de la gráfica de y es igual a f de x reflejando sobre la recta y es igual a x.Esto tiene sentido,.
porque las inversas invierten los duties de y y X. En el mismo ejemplo, calculemos f inversa de f de.
dos. Este círculo abierto significa composición. En otras palabras, estamos calculando f inversa.
Calculamos esto desde el interior. Entonces eso es f inverso de tres.
F de dos es tres y f inversa de tres, tenemos ver child dos. De manera comparable, podemos calcular f.
de f inversa de tres. Y eso significa que tomamos f de f inversa de tres. Como f inversa de.
tres es dos, eso es lo mismo que calcular F de dos, que es tres. Pausa el vídeo.
por un momento y calcula estos otros. composiciones.

Entonces la derivada de la izquierda de ln y es uno sobre y multiplicado por dy dx. En este video clip, encontramos que la derivada de ln x.
es igual a uno partido por x, una especie de buen derivado. Y de manera más basic, la derivada de log en base.
Comparten los mismos números, pero los valores de x para f de x corresponden a los valores de y para.
De manera similar, podemos calcular f.
de f inversa de tres.Deberías haber encontrado que en
todos los casos, si tomas f inversa de f de un número, vuelves al mismo número disadvantage el que
empezaste.Y de la misma manera, si tomas f de f inverso de cualquier número, vuelves al mismo número con el que empezaste
. Entonces en En general, f inversa de f de x es igual a x, y f de f inversa de x también es igual a x. Ésta es la forma matemática de decir que F y.
envir f inversa se deshacen entre sí. vamos mira un ejemplo diferente. Supongamos que f de.
¿ Y adivina cuál debería ser la inversa de f? Recuerde, F inversa deshace el trabajo que F hace.
de x será la función de raíz cúbica.Y podemos comprobar que esto es cierto observando. f de f inversa de x, esa es F del cubo raíz de la función, que significa la función de raíz.
cúbica al cubo, lo que nos devuelve a x. Similarmente, Si calculamos f inversa de f de x, esa es la.
raíz cúbica de x al cubo. y volvemos nuevamente a la excelencia. Entonces, la función raíz cúbica.
es en realidad la inversa de la función cúbica. Cuando componemos las dos funciones, volvemos.
al número con el que empezamos. Sería Sería bueno tener una forma más sistemática de encontrar.
inversas de funciones además de adivinar y comprobación.Un método utiliza

el hecho de que las inversas. invierten los roles de y y
x. Así que si queremos para encontrar la inversa de la función, f de x es. igual a cinco menos x sobre 3x, podemos escribir es como y es igual a cinco menos x sobre 3x. Invierta los. functions de y y x para obtener x es igual a cinco menos y sobre tres y, y luego resuelve para y. Para.
resolver y, multipliquemos ambos lados a las tres y. Lleva todos los términos trick Wisned.
al lado izquierdo y alternanos transgression y y luego, hacia el lado derecho, factoriza y y divide.
para aislar y.Esto nos da f inversa de x como cinco partido por 3x más uno. Observe que.
nuestra función initial f y nuestra función inversa, f inversas child funciones racionales,.
pero no kid recíprocas entre sí. Y luego, en basic, f inversa de x no suele ser igual.
a uno partido por f de x. Esto puede resultar confuso, porque cuando escribimos dos elevado a menos uno, eso.
significa uno de nuestros dos, pero f elevado a menos uno de x significa la función inversa.
y no la recíproca.Es natural preguntar si todas las funciones tienen funciones inversas, eso es. para cualquier función que pueda encontrar. Es ¿ Siempre hay una función que es su inversa? A continuación, trazaré los puntos para y es igual. a f inversa de x en rojo.
Pausa el vídeo por un momento y observa qué tipo de simetría observas en esta. gráfica. ¿ Cómo se relacionan los
puntos azules? a los puntos rojos, habrás notado que los. puntos azules y los puntos rojos kid imágenes especulares sobre la línea especular, y es igual a.
x.Entonces nuestro segundo hecho clave es que la gráfica de y es igual a f la inversa de x se puede obtener a.
partir de la gráfica de y es igual a f de x reflejando sobre la recta y es igual a x. Esto tiene sentido,.

porque las inversas invierten los functions de y y X. En el mismo ejemplo, calculemos f inversa de f de.
dos. Este círculo abierto significa composición. En otras palabras, estamos calculando f inversa.
Calculamos esto desde el interior. Entonces eso es f inverso de tres.
F de dos es tres y f inversa de tres, tenemos ver child dos. De manera similar, podemos calcular f.
de f inversa de tres.
tres es dos, eso es lo mismo que calcular F de dos, que es tres. Pausa el vídeo.
por un momento y calcula estos otros. composiciones. Deberías haber encontrado que en.
todos los casos, si tomas f inversa de f de un número, vuelves al mismo número con el que.
Y de la misma manera, si tomas f de f inverso de cualquier número, vuelves al mismo
. Supongamos que f de.
¿ Y adivina cuál debería ser la inversa de f? Recuerde, F inversa deshace el trabajo que F hace.Quizás hayas

adivinado que f inversa.
de x será la función de raíz cúbica. Y podemos comprobar que esto es cierto observando.
f de f inversa de x, esa es F del cubo raíz de la función, que significa la función de raíz.
cúbica al cubo, lo que nos devuelve a x. Similarmente, Si calculamos f inversa de f de x, esa es la.
raíz cúbica de x al cubo. y volvemos nuevamente a la excelencia. Entonces, la función raíz cúbica.
es en realidad la inversa de la función cúbica.Cuando componemos las dos funciones, volvemos. al número con el que empezamos
. Sería Sería bueno tener una forma más sistemática de encontrar. inversas de funciones además de adivinar y comprobación. Un método utiliza el hecho de que las inversas. invierten los functions de y y x. Así que si queremos para encontrar la inversa de la función, f de x es. igual a cinco menos x sobre 3x, podemos escribir es como y es igual a cinco menos x sobre 3x. Invierta los. roles de y y x para obtener x es igual a cinco menos y sobre tres y, y luego resuelve para y. Para. resolver y, multipliquemos ambos lados a las
tres y. Lleva todos los términos cheat Wisned. al lado izquierdo y alternanos transgression y y luego
, hacia el lado derecho, factoriza y y divide. para aislar y. Esto nos da f inversa de x
como cinco partido por 3x más uno. Observe que. nuestra función original f y nuestra función inversa, f inversas kid funciones racionales,. pero no son recíprocas entre sí.Y luego,
en general, f inversa de x no suele ser igual

. a uno partido por f de x. Esto puede resultar confuso, porque cuando escribimos dos elevado a menos uno, eso. significa uno de nuestros dos, pero f elevado a menos uno de x significa la función inversa. y no la recíproca. es all-natural preguntar si todas las
funciones tienen funciones inversas, eso es. para cualquier función que pueda encontrar. Es ¿ Siempre hay una función que es su inversa? De hecho, la respuesta es no. Mira, si puedes. encontrar un ejemplo de una función que no tiene función inversa. La palabra función. aquí es clave. Recuerda que una función es una relación entre los valores de x y los valores de. y, tal que para cada valor de x en el dominio, sólo hay un valiance y correspondiente. Un. ejemplo de una función que no tiene La función inversa es la función f de x es igual a. x al cuadrado. Para ver eso, lo inverso de esto La función no es una función. Tenga en cuenta que. para la función x al cuadrado, el número dos y el número menos dos, ambos van al número cuatro. Entonces, si tuviera un inverso, él habría enviar cuatro a dos y menos dos.La inversa. no sería una función, podría Será más

fácil entender el problema cuando observes. una gráfica de y es igual a x al cuadrado.
Recuerde que las funciones inversas invierten los. functions de y y x y voltean la gráfica sobre la la línea y es igual a x. Pero cuando volteé el gráfico. verde sobre la línea y es igual a x, obtengo esto gráfico rojo. Esta gráfica roja no es la gráfica. de una función, porque viola la upright. prueba de línea.
La razón por la que se viola la prueba de. la línea upright es porque la función verde initial viola la prueba de la línea horizontal y tiene. valores 2x con el mismo valiance de y. En general, una función f tiene una función inversa si y. sólo si la gráfica de f satisface la horizontal prueba de línea, es decir, cada línea straight cruza la.
gráfica.En la mayoría de los puntos, pausa el vídeo. por un momento y vea cuál de estas cuatro gráficas satisface. la prueba de la línea horizontal.
En otra palabras, cuál de las cuatro funciones correspondientes tendría. Pero los gráficos C y D satisfacen la prueba. Entonces estos gráficos representan funciones que tienen inversas.
Como último ejemplo, vamos a intenta encontrar P inversa de x, donde p de x es la. raíz cuadrada de x menos dos dibujada aquí. Si graficamos P inversa en el mismo eje que p de. x, obtenemos la siguiente gráfica, simplemente volteando la línea y es igual a x. Si intentamos. resolver el problema, algebraicamente, tenemos Puedo escribir y igual a un cuadrado de x menos.
dos, invertir los functions de y y x y resolver para y elevando al cuadrado ambos lados y sumando dos. Ahora.
si tuviéramos que graficar y es igual a x al cuadrado más dos, eso parecería una parábola, parecería.
que la gráfica roja ya estaba dibujado junto con otro brazo en el lado izquierdo. Pero sabemos que nuestra inversa real función consta sólo de este brazo derecho, podemos.
especificar esto algebraicamente haciendo la restricción de que x tiene que ser mayor.
o igual a cero.Esto corresponde a la hecho de que en el gráfico initial, para la raíz.
cuadrada de x, y solo period mayor o igual a cero. Si observamos más de cerca el dominio.
y el rango de P y P inversa, sabemos que el dominio de P kid todos los valores de x stories.
que x menos dos es mayor o igual a cero. Ya que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Esto corresponde a los valores de x que boy mayor o igual a dos, o una notación de intervalo,.
el intervalo de dos al infinito.El rango de P,

que podemos ver en el gráfico,.
es que nuestro valor y es mayor o igual a cero, o el intervalo de cero al infinito. De hecho, la respuesta es no. Mira, si puedes.
encontrar un ejemplo de una función que no tiene función inversa. La palabra función.
aquí es clave. Recuerda que una función es una relación entre los valores de x y los valores de.
y, tal que para cada valiance de x en el dominio, sólo hay un valiance y correspondiente. Un.
ejemplo de una función que no tiene La función inversa es la función f de x es igual a.
x al cuadrado.Para ver eso, lo

inverso de esto La función no es una función. Tenga en cuenta que.
para la función x al cuadrado, el número dos y el número menos dos, ambos van al número cuatro. Entonces, si tuviera un inverso, él habría enviar cuatro a dos y menos dos. La inversa.
no sería una función, podría Será más fácil entender el problema cuando observes.
una gráfica de y es igual a x al cuadrado. Recuerde que las funciones inversas invierten los.
functions de y y x y voltean la gráfica sobre la la línea y es igual a x. Pero cuando volteé el gráfico.
verde sobre la línea y es igual a x, obtengo esto gráfico rojo. Esta gráfica roja no es la gráfica.
La razón por la que se viola la prueba de.
gráfica. En la mayoría de los puntos, pausa el vídeo. por un momento y vea cuál de estas cuatro gráficas satisface.
la prueba de la línea horizontal. En otra palabras, cuál de las cuatro funciones correspondientes tendría.
una función inversa, es posible que tengas encontró que los gráficos A y B violan la prueba de la línea.
horizontal.Entonces sus funciones no tendrían funciones inversas. Pero los gráficos C y D satisfacen la prueba. de la recta horizontal.
Entonces estos gráficos representan funciones que tienen inversas. funciones. que satisfacen la recta straight
Las pruebas a veces se denominan funciones uno a uno. La. forma equivalente de función es uno a uno, si para dos valores de x diferentes, x uno y x. dos, el valiance de y es f de x uno y f de x dos son números diferentes.A veces, como.

dije, f es uno a uno, si, siempre que f de x uno es igual a f de x dos, entonces x uno tiene que.
ser igual a x dos. Como último ejemplo, vamos a intenta encontrar P inversa de x, donde p de x es la.
raíz cuadrada de x menos dos dibujada aquí. Si graficamos P inversa en el mismo eje que p de.
x, obtenemos la siguiente gráfica, simplemente volteando la línea y es igual a x. Si intentamos.
resolver el problema, algebraicamente, tenemos Puedo escribir y igual a un cuadrado de x menos.
dos, invertir los functions de y y x y resolver para y elevando al cuadrado ambos lados y sumando dos.Ahora.

si tuviéramos que graficar y es igual a x al cuadrado más dos, eso parecería una parábola, parecería.
que la gráfica roja ya estaba dibujado junto disadvantage otro brazo en el lado izquierdo. Pero sabemos que nuestra inversa real función consta sólo de este brazo derecho, podemos.
especificar esto algebraicamente haciendo la restricción de que x tiene que ser mayor.
o igual a cero. Esto corresponde a la hecho de que en el gráfico original, para la raíz.
cuadrada de x, y solo era mayor o igual a cero. Si observamos más de cerca el dominio.
y el rango de P y P inversa, sabemos que el dominio de P child todos los valores de x tales.
que x menos dos es mayor o igual a cero. Ya que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Esto corresponde a los valores de x que kid mayor o igual a dos, o una notación de intervalo,.
el intervalo de dos al infinito. El rango de P, que podemos ver en el gráfico,.
es que nuestro valiance y es mayor o igual a cero, o el intervalo de cero al infinito.De manera comparable

, según el gráfico, vemos que el. dominio de P inverso es valores de x mayores que o igual a cero, el intervalo de cero al infinito. Y el rango de P inversa es Y valores mayores o iguales a dos, o el intervalo.
de dos al infinito. Si miras Si observa de cerca estos dominios y rangos, notará.
que el dominio de P corresponde exactamente al rango de P inversa, y el rango de P corresponde.
al dominio de P inversa. Esto tiene sentido porque las funciones inversas.
invierten los roles de y y x. el dominio de f inversa de x child los valores de x para F inversa,.
que corresponde a los valores de y o el rango de F. El rango de f inversa kid los valores de y para.
F inversa, que corresponden a los valores de x o el dominio de f. En este vídeo, discutimos De manera comparable, según el gráfico, vemos que el.
dominio de P inverso es valores de x mayores que o igual a cero, el intervalo de cero al infinito. Y el rango de P inversa es Y valores mayores o iguales a dos, o el intervalo.
de dos al infinito.Si miras Si observa de cerca estos dominios y rangos, notará.
que el dominio de P corresponde exactamente al rango de P inversa, y el rango de P corresponde.
al dominio de P inversa. Esto tiene sentido porque las funciones inversas.
invierten los functions de y y x. el dominio de f inversa de x boy los valores de x para F inversa,.
que corresponde a los valores de y o el rango de F. El rango de f inversa child los valores de y para.
F inversa, que corresponden a los valores de x o el dominio de f.En este vídeo, discutimos Cinco propiedades clave de las funciones inversas. Las funciones inversas invierten los duties de y y X. La gráfica de y es igual a f inversa de x es la.
gráfica de y es igual a f de x reflejada sobre la recta y es igual a x. Cuando componemos F con.
F inversa, obtenemos la función identidad y es igual a x.Y de manera comparable, cuando componemos.
f inversa disadvantage F, eso lleva x a x. En otra Es decir, F y F inversa se deshacen entre sí. La.
función f de x tiene una función inversa si y sólo si la gráfica de y es igual a f de x satisface la.
prueba de la recta straight. Y finalmente, el El dominio de f es el rango de f inversa.Y.

el rango de f es el dominio de f inversa. Estas propiedades de las funciones inversas serán.
importantes cuando estudiemos funciones exponenciales. y sus funciones logarítmicas inversas. Este vídeo.
specify el trigonograma inverso estándar. funciones, seno inverso, coseno inverso y tan.
inverso. En este gráfico de aspecto loco, concéntrate primero en la delgada línea negra.Esta.

es una gráfica de y es igual al seno x. La gráfica de la inversa de una función se puede encontrar.
volteando la gráfica de la función original sobre la recta y es igual a x. Dibujé el gráfico invertido.
con esta línea de puntos azul. Pero tu Observe que la línea punteada azul no es la.
gráfica de una función, porque viola la prueba de línea vertical. Entonces, para obtener una función en.
la que la inversa de y es igual al seno x, tenemos Necesitamos restringir el dominio del seno de.
x, lo restringiremos a esta pieza dibujada con una línea negra gruesa.Si invierto esa

.
pieza, volteándola sobre la línea y es igual x, aquí obtengo la pieza dibujada con una línea.
Y esa pieza sí satisface prueba de línea upright. Entonces, de hecho, es una función.
dominio desde pi negativo sobre dos hasta pi sobre dos. Su rango sigue siendo de menos uno.
La función seno inversa a menudo se. Entonces arco seno de x, la función inversa tiene dominio. Entonces, si la función.
Por ejemplo, desde seno de pi sobre dos es uno, el arco seno de uno es. pi sobre dos.
Y en basic, la producción de El arco seno de x es el ángulo entre pi negativo.
sobre dos y pi sobre dos cuyo lado es X. y es igual al arco seno x significa que x.
es igual al seno de y. Pero como hay muchos ángulos, y cuyo seno es x, cierto, todos difieren en.
múltiplos de dos pi. Precisamos también, que y está entre pi negativo sobre dos y pi sobre.
dos. Ese era el objetivo de hacer esto. restricción de dominio para obtener un valiance.
inverso bien definido. Hay una alternativa Notación para seno inverso. A veces se.
escribe como seno al negativo de x. Pero esta notación puede resultar confusa, así.
que tenga cuidado. En certain, seno a negativo.

De manera comparable, podemos calcular f.
de f inversa de tres. Y de la misma manera, si tomas f de f inverso de cualquier número, vuelves al mismo
. Recuerda que una función es una relación entre los valores de x y los valores de. Como último ejemplo, vamos a intenta encontrar P inversa de x, donde p de x es la. Esto corresponde a los valores de x que son mayor o igual a dos, o una notación de intervalo,.uno de x no es igual a uno sobre el seno de x.Uno sobre el seno de x la función recíproca es
otra palabra para cosecante Las espaldas, pero signo del negativo de x es otra palabra para el
arco seno de x, la función seno inversa, que no es lo mismo que la función recíproca. Sigamos por el mismo proceso. Para construir una función coseno inversa, comenzamos trick
una gráfica del coseno de x, le damos la vuelta la línea y es igual a x para obtener la línea de puntos
azul. Pero la línea de puntos azul no es una función. Así que volvemos atrás y restringimos el dominio de nuestro
coseno original de x para que esté justo entre cero y pi. El gráfico rojo resultante ahora satisface la prueba
de la línea vertical. Entonces es un inverso propio función. Nuestro coseno restringido tiene un
dominio de cero a pi y un rango de menos uno. a uno. Y entonces nuestra función inversa, el arco coseno,
tiene dominio de menos uno a uno, y rango de cero a pi.Como el coseno nos lleva de los ángulos a los números,
el arco coseno nos lleva de números de vuelta a los ángulos. Por ejemplo, el coseno
de pi partido por cuatro es la raíz cuadrada de dos sobre dos. Entonces el arco coseno de la raíz cuadrada de
dos partido por dos es igual a pi partido por cuatro. El arco coseno de x es el ángulo entre cero
y pi, cuyo coseno es x.En otras palabras, y es igual a r coseno de x significa que x es igual
al coseno de y, y y está entre cero y Pi. De lo contrario, habría muchas respuestas posibles
para un ángulo y cuyo coseno es x. La notación alternativa para arcocoseno es coseno
inverso. Y nuevamente, debemos tener cuidado. coseno elevado a 1x negativo no es lo mismo
Finalmente, echemos un vistazo a la inversa. Aquí hay una gráfica de tangente.
y negro, estas líneas verticales no child realmente parte de la función, boy solo asíntotas verticales. Entonces, para obtener la función real, cuando volteamos la recta y es igual a x, tomamos.
solo una parte de la función tangente.Aquí hemos tomado la

pieza marcada en , la. volteamos sobre la línea y es igual a x, obtenga esta pieza en rojo, que en realidad es.
una función porque satisface la vertical prueba de línea. Ahora, usted podría preguntarse,.
¿ sería posible elegir una pieza diferente del ¿ Función tangente para invertir? Y la respuesta.
es sí, podríamos hacerlo. Y en otro planeta, tal vez los matemáticos hagan eso. Pero en nuestro planeta.
usamos la convención de elegir esta pieza. de tangente para invertir, lo cual es una opción conveniente.
ya que se centra aquí alrededor del origen. En los dos ejemplos anteriores, nuestra.
elección de dominio restringido para seno y para El coseno también period una convención que conducía a.
una función inversa convenientemente definida.En En cualquier caso, según nuestra elección, nuestra función. tan restringida tiene
dominio desde pi negativo sobre dos a pi sobre dos. No incluimos los puntos endings en ese.
intervalo, porque nuestro bronceado restringido La función tiene asíntotas verticales, ese pi negativo sobre.
dos pi sobre dos, por lo que no está definido allá. El rango de nuestra función tan restringida.
es de infinito negativo a infinito. Por lo tanto, El arco tan de X tiene un dominio de infinito negativo.
a infinito y varía desde pi negativo sobre dos a pi sobre dos. Una vez más, la tangente nos lleva.
de los ángulos a los números. Así que bronceado nos está llevando de los números a los ángulos. Por ejemplo,.
la tangente de pi sobre cuatro es uno y, por lo tanto, el arco tan de uno es pi sobre cuatro. Entonces el arco.
tan de x significa el ángulo entre pi negativo sobre dos y pi sobre dos cuya tangente es x. y es igual al arco tan x significa que x es igual a.
la tangente de y y el por qué está entre negativos pi sobre dos y pi sobre dos.La función tan inversa.
también se puede escribir como 10 elevado a la menos uno de x. Y una vez más, tan inversa de x significa.
la función trigonométrica inversa, arco tan de x. Y no es igual a uno partido por tan.
de x, lo que se llama cotangente de x. Y eso es todo por este video sobre las tres funciones trigonométricas.
inversas básicas. seno inverso x, también conocido como arco seno de x, coseno inverso x, también.
conocido como arco coseno x y tan inverso x, también conocido como arco tan x.En este video clip, usaremos.
la diferenciación implícita para encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Primero, la función seno inversa. Recordar que y es igual al seno inverso de x significa que y.
es el ángulo en radianes cuyo seno es x. En otra En otras palabras, podemos escribir x igual al seno.
de y como enunciados casi equivalentes, digo casi equivalente, porque hay muchas y diferentes cuyo.
lado es x, muchos ángulos diferentes puede tener el mismo lado resultante.Y para.

la función seno inversa, especificamos que ese ángulo y tiene que estar entre pi sobre dos.
y pi negativo sobre dos, esa es solo la convención. Tenga cuidado de no confundir el seno.
inverso de x, que es una función inversa, y uno sobre el seno x, que es una función recíproca. Estos no kid la misma cosa. Este Negativo no significa recíproco aquí,.
significa función inversa. Hay otro Notación para seno inverso, que es arcoseno. Entonces.
el arco seno de x es lo mismo que el seno inversa de x, queremos encontrar la derivada del.
seno inverso de x, en otras palabras, la derivada de y disadvantage respecto a x, donde y es.
el seno inverso de x, voy a reescribir esta ecuación aquí como x es igual al seno y, y luego.
United States la diferenciación implícita. Así que tomando la derivada de ambos lados disadvantage respecto.
a x, tengo derivada de x es igual a la derivada del seno y. En otras palabras, uno es igual.
al coseno de y multiplicado por dy dx.Resolviendo para dydx, tengo que dydx es uno sobre el coseno. de y. Ahora encontré la derivada, pero es no en una forma súper útil, porque todavía hay. una Y y una expresión, preferiría tener todo en términos de x. Bueno, podría reescribir esto. como dy dx es uno sobre el coseno del seno inverso de x, ya que después de todo, y es igual al seno. inverso de x, pero eso todavía no es un super forma útil, porque es difícil evaluar esto. Así que en lugar de hacer esto, voy a mirar un triángulo rectángulo. Quiero etiquetar. mi triángulo con y y
x. Como y es mi ángulo, Lo pondré aquí.Y como el

seno de y es x, y.
el seno es opuesto a la hipotenusa, puedo etiqueta mi lado opuesto disadvantage x y mi hipótesis disadvantage.

uno. A partir de esto, puedo descubrir el longitud de mi lado restante, tendrá que.
ser la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado por el teorema de Pitágoras. Ahora puedo.
calcular el coseno de y solo a partir del triángulo. El coseno de y es el picor exagerado adyacente, por.
lo que esa es la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado sobre uno, o simplemente la raíz cuadrada de uno menos x.
al cuadrado. He estado asumiendo implícitamente que y es un ángulo positivo entre cero y pi sobre.
dos cuando he estado dibujando este triángulo, pero puedes comprobar que la misma fórmula también funciona. Si y es un ángulo negativo, piense en baja aquí en el círculo unitario en lugar de aquí.
En En otras palabras, encontré una fórmula para Con. Para encontrar la derivada del arco coseno de
x, el. Entonces, comenzando con la ecuación x es igual coseno y, vamos a tomar la derivada de ambos.
negativo y, dy dx. Entonces d y dx es igual a menos uno sobre el seno y. Como stakes, puedo dibujar.
y etiquetar un triángulo rectángulo, el El ángulo es y. Y ahora sé que x es coseno de.
y. Entonces voy a poner x en el adyacente lado y uno en el de mi compañero dejando la raíz cuadrada.
de uno menos x al cuadrado en el opuesto lado, lo que significa que el seno de y, que.
es opuesto al calor excesivo, es igual al raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado.Y entonces.

dy dx va a ser negativo uno sobre el raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Y tengo.
mi fórmula para la derivada del arco. coseno de x. La tangente inversa se puede manejar de manera.
muy comparable. Y de nuevo, es posible que desees Pruébelo usted mismo antes de ver el vídeo. Y es igual.
a tangente inversa de x significa que x es tangente de y. Y la convención es que se supone.
que y se encuentra entre pi negativo sobre dos y pi sobre dos. Procediendo como stakes, escribimos.
y es igual a nuestra tan de x y x es igual a tan de y, toma la derivada de ambos lados.Entonces obtenemos.

uno igual a secante al cuadrado de y d y dx. Resolviendo para dydx tenemos uno sobre la raíz cuadrada.
de seacon de y. Y usando nuestro triángulo rectángulo Como stakes, podemos etiquetar el ángulo de como.
y. Como sé que la tangente y es x, y la tangente es opuesto sobre adyacente, voy a etiquetar.
el lado opuesto x y el lado adyacente uno, lo que nos da una hipótesis de la raíz cuadrada.
de uno más x al cuadrado. Ahora sabemos que La secante de y es uno partido por el coseno de y. Así que.
Y entonces la secante al cuadrado de y es simplemente el cuadrado de esto, que es uno más x al cuadrado. Ahora puedo sustituir en mi fórmula dy dx, y obtengo que dy dx es uno sobre uno más x al.
cuadrado, lo que me da una buena fórmula para la derivada de la tangente inversa.Las otras funciones.
se pueden calcular. De manera comparable, lo siguiente La tabla return to estos resultados. En algunos libros, es posible.
que vea signos de valor absoluto alrededor del X para las fórmulas de secante inversa y cosecante.
inversa. Por supuesto, cuando x es positivo, esto no hace ninguna diferencia. Y cuando x es negativo,.
esta discrepancia proviene de diferencias en la convención para el rango de y para estas funciones.
Deberías memorizar estos fórmulas. Hagamos un ejemplo usando las fórmulas que.
Calculemos la derivada de tan inversa de A más x sobre a menos. x, usaremos la fórmula para la derivada de tan inversa x. Ahora, para calcular dydx, para nuestra.
función, podemos usar la regla de la cadena, la la función exterior es tan inversa, cuya derivada es uno.
partido por uno más la función interior al cuadrado, Tendremos que multiplicarlo por la derivada de la.
función interna.Simplemente lo copiaré la

primera parte y toma la derivada de más. x sobre menos x usando el cociente regla. Así que pongo el denominador en la parte inferior.
y lo eleva al cuadrado. Y luego tomo tiempos bajos d, hola, la derivada de a más x con respecto.
a x es solo uno menos alto D bajo, la derivada de a menos x con respecto a x es negativo uno. Simplificaré mi numerador, menos x, el negativo y el signo negativo aquí se cancelan,.
por lo que obtengo más un más x. En el denominador, Tengo uno más un más x al cuadrado sobre menos x al.
cuadrado, multiplicado por menos x al cuadrado. cancelando en el numerador, llego a a y distribuyendo.
y el denominador obtengo un menos x al cuadrado más a más x al cuadrado. Si expando.
el denominador, lo mismo se simplifica a dos a sobre dos A al cuadrado más 2x al cuadrado, o.
simplemente a sobre un cuadrado más x al cuadrado, que es un derivado bastante bueno.Ahora ya conoces las derivadas. de las funciones trigonométricas inversas. Y también sabes cómo encontrarlos usando la diferenciación.
implícita, si alguna vez los olvidas. Cuando dos o más cantidades están relacionadas por una.
ecuación, entonces sus tasas de cambio a lo largo El tiempo también está relacionado. Esa es la idea detrás.
Y este vídeo da un ejemplo. Un hurricane está.
a 20 millas al oeste de nosotros, en dirección este hacia Phillips Hall a una velocidad de 40 millas por hora. te.
subes a tu bicicleta y viajas hacia el sur en una velocidad de 12 millas por hora. ¿ Qué tan rápido.
está cambiando la distancia entre usted y el tornado? después de 15 minutos. En un problema de tasas relacionado,.
siempre es una buena idea hacer un dibujo Primero, eso puede ayudarte a descubrir la geometría del.
problema y ver cómo se calculan las cantidades. relacionado. En este problema, tenemos un triángulo.
rectángulo.Porque los tornados viajan hacia el este y las bicicletas hacia el sur. en ángulo recto.
Asignemos variables a las cantidades de interés. Llamaré a la.
distancia entre el hurricane y Phillips. Salón a. Aunque comienza a 20 millas, varía.
con el tiempo y, por lo tanto, es una buena idea de asignarle una letra a una variable. Usaré.
B para referirme a la distancia entre Philips Hall y la bicicleta, cantidad que también varía.
con el tiempo. Y dejaré que c represente la distancia entre el tornado y la bicicleta. El problema.
El siguiente paso es escribir las ecuaciones que relacionar las cantidades de interés. En este.
problema, sabemos por el teorema de Pitágoras, que a al cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado. Nos interesa saber qué tan rápido es la distancia.Entre usted y el twister está cambiando. Ésa. es una tasa de cambio.
Y el ritmo al que La bicicleta viaja y el hurricane se mueve. Éstas también. kid tasas de cambio.
Con el fin de Si incorporamos estas tasas de cambio al problema,. tomaré la derivada de ambos lados de esta ecuación disadvantage respecto al tiempo. Ese es. el tercer paso. Entonces voy a tomar DDT de a al cuadrado más b al cuadrado. Y eso es igual.
al DDT de C al cuadrado. Note que estoy pensando de a B y C como funciones de T aquí, ya que varían.
con el tiempo, en el lado izquierdo, obtengo a veces dA DT usando la regla de la cadena, más dos B DB dt. Y en el lado derecho, puedo.
ver DC dt. Ahora puedo usar la información. que se me dio en el problema para ingresar números.
y resolver la cantidad de interés DC DT ya que el twister se movía a una velocidad.
de 40 millas por hora La distancia entre el tornado y Philip'' s Hall está disminuyendo a.
40 millas por hora.En otras

palabras, da dt es negativo 40. Ese signo negativo es importante.
aquí, y proviene del hecho de que la distancia está disminuyendo. Como la bicicleta se mueve.
a 12 millas por hora, la distancia entre Philips Hall y la bicicleta aumentan a un ritmo.
de 12 millas por hora. Entonces DBT es positivo 12. Las cantidades a, b y c cambian.
constantemente. Pero en el momento del interés, t es igual a 15 minutos o en horas, 0,25 horas,.
podemos calcular qué boy B y C. El El hurricane comienza a 20 millas de distancia, pero se mueve.
a una velocidad de 40 millas por hora. Entonces después de un cuarto de hora, ha recorrido 10 millas, eso.
significa que después de un cuarto de hora, es a sólo 10 millas de distancia. Y así en el momento del.
punto dos, cinco horas, a es igual a 10. La bicicleta se mueve a 12 millas por hora. Entonces, después.
de un cuarto de milla, ya son tres millas. Y entonces, en este momento, b es igual a tres. Ahora usando.
la misma ecuación disadvantage la que comenzamos, podemos conectamos a y b y resolvemos para C, sabemos que.
c al cuadrado será 10 al cuadrado más tres al cuadrado.Entonces C será la raíz

cuadrada. de 109. Introduciendo los números en esto ecuación, obtenemos dos por 10 por menos 40. más dos por tres por 12 es igual a dos multiplicado por la raíz cuadrada de 109 multiplicado.
por DC dt. Entonces DC dt será negativo 800 plus 72 partido por dos veces un cuadrado de 109, que.
es aproximadamente menos 35. En otras palabras, la distancia entre el twister y nosotros está.
disminuyendo a 35 millas por hora, el twister nos está ganando terreno rápidamente. Estos mismos pasos lo ayudarán a resolver una variedad de.
Un the same level de advertencias notas. No introduzcas números para enviar.
cantidad que varíe disadvantage el tiempo debe escribirse como variables, por lo que puedes tomar correctamente.
la derivada disadvantage respecto al tiempo. Además, tenga cuidado de utilizar números negativos para tasas.
de cambio negativas. Es decir, para cantidades que están disminuyendo, no habríamos obtenido la respuesta.
correcta si no hubiéramos usado un valiance negativo 40 para la tasa de cambio de la distancia aquí. En este vídeo resolvimos lo relacionado.Problema de tarifas y descubrió que andar en bicicleta puede. no ser la mejor manera de escapar de un twister. En este clásico problema de tasas relacionado, el agua. fluye hacia un tanque en forma de cono y tenemos para determinar qué tan rápido está subiendo el agua. El agua fluye hacia un tanque a razón de tres metros cúbicos por minuto, el tanque tiene forma. de cono disadvantage una altura de cuatro metros, y un radio de cinco metros en la parte superior, se supone. que debemos encontrar la velocidad a la que el agua El nivel está subiendo en el tanque. Cuando la altura. del agua es de dos metros.
Ahora etiquetemos algunas cantidades de interés. Está bien usar números para las cantidades. Para cualquier cantidad

que varía con el tiempo, necesito usar letras.
Entonces, la altura del agua varía a lo largo. del problema. Lo llamaré H. Y podría Será útil hablar también del radio de. la parte del cono que está llena de agua.
Lo llamaré nuestro, en última instancia, quiero encontrar. la velocidad a la que aumenta el nivel del agua. Entonces ese es DHD T. A continuación, quiero escribir.
ecuaciones que relacionen las cantidades de interés. Por geometría, sé que el volumen de un cono.
es 1/3 del área de la base multiplicada por la altura. Entonces el volumen de agua en.
el cono será 1/3 de pi r al cuadrado multiplicado por h ya que h es la altura de la.
parte del código que contiene agua.Y pi r al cuadrado es el área de esa base circular.
para esa cuenta. lo estoy llamando la base aunque esté en la parte exceptional. Hay.
una ecuación más que será útil. aquí eso viene de triángulos semejantes. De triángulos.
semejantes conocemos la razón de sus lados. para el triángulo pequeño aquí es la misma que la.
proporción de lados para el triángulo grande. En En otras palabras, sabemos que nuestro sobre h será.
igual a cinco partido por cuatro. puedo usar esto relación para eliminar una de las variables en.
esta ecuación. Pensemos por un minuto cuál queremos eliminar. Dado que en última instancia.
estamos interesados en encontrar DHD T, Necesito mantener la variable h aquí.Pero como no

tenemos.
ninguna información sobre cómo están estás cambiando, es una buena concept deshacerse de.
la R. Así que resolvamos r aquí. Y nosotros obtenga r igual a cinco cuartos por h, y reemplácelo nuevamente.
en nuestra ecuación de volumen. Así que nosotros obtenga v es igual a 1/3 pi por cinco cuartos de h al cuadrado.
por h. O en otras palabras, V es igual a 25/48 pi h al cubo. Ahora vamos a derivar ambos lados de.
la ecuación disadvantage respecto al tiempo t, para introducir tasas de cambio en el problema. Recuerda.
que estamos pensando en el volumen de agua.

Recordar que y es igual al seno inverso de x significa que y.
es el ángulo en radianes cuyo seno es x. En otra En otras palabras, podemos escribir x igual al seno.
Y de nuevo, es posible que desees Pruébelo usted mismo antes de ver el vídeo. Y entonces la secante al cuadrado de y es simplemente el cuadrado de esto, que es uno más x al cuadrado. Ahora puedo sustituir en mi fórmula dy dx, y obtengo que dy dx es uno sobre uno más x al.
cuadrado, lo que me da una buena fórmula para la derivada de la tangente inversa.Las otras funciones. Disadvantage el fin de Si incorporamos estas tasas de cambio al problema,.y la altura del agua en función del tiempo t, obtenemos
dv dt es igual a 2548. Es pi multiplicado tres h al cuadrado DHD t. Ahora conectemos números
y resolvamos la cantidad de interés DHD T.A partir de nuestro problema, sabemos que el agua fluye
hacia el tanque a una velocidad de tres metros cúbicos. metros por minuto. Entonces dv dt es tres, se nos
pide encontrar la velocidad a la que el agua El nivel aumenta cuando la altura del agua es de dos
metros. Entonces es cuando h es dos. enchufar en esos valores y resolviendo para un DHD T, obtenemos
d h dt es igual a tres dividido por 2540. Es pi multiplicado por tres por dos al cuadrado, que es
12 sobre 25 pi city por segundo, boy aproximadamente punto uno cinco metros por segundo. Este video resuelve el problema de tasas relacionado
con el volumen y United States el truco de encontrar triángulos similares para eliminar una variable. En este
video clip, resolveremos un problema de tarifas relacionado. que involucran rotación y ángulos. un faro que está
a media milla al oeste de la costa, tiene un faro giratorio luz que hace dos revoluciones por minuto en el sentido
contrario a las agujas del reloj, la orilla corre de norte a sur y hay una cueva directamente al.
este del faro. ¿ Qué tan rápido es el rayo? de luz que se mueve a lo largo de la orilla en un punto.
Ahora etiquételo disadvantage variables para.
Entonces no tenemos poner una variable para eso. Pero la distancia.
vamos a querer saber cuál es esa distancia. x está cambiando. En otras palabras, queremos.
calcular dx dt, cuando x es uno.Los altos socios de este triángulo rectángulo formado por el haz de luz. también está cambiando disadvantage el tiempo a medida que Ángulo aquí entre el haz de luz y la línea. Este Oeste, lo llamaré ángulo theta. Y el ángulo aquí arriba, supongo, también está cambiando. y llame a esa tarifa. Este ángulo es el correcto.
ángulo entre la línea Este Oeste y la línea. Norte Sur. Entonces eso no cambia, siempre es 90 grados. A continuación, queremos escribir ecuaciones para. relacionar las cantidades de interés.
Cuando sea Si veo un triángulo rectángulo en un problema, me siento. tentado a escribir el teorema de Pitágoras, que en este caso diría que la mitad al cuadrado más x al. cuadrado es igual a h al cuadrado.
Porque si la luz El haz está haciendo dos revoluciones por minuto,. Esto es la ecuación que necesito que relacione x y. theta. Ya hemos deducido de las.
dos revoluciones por minuto, que d theta dt es cuatro pi. Ahora la secante theta es uno sobre. el coseno theta. Y dado que el coseno theta es adyacente Alguna vez ha tenido socios, es recíproco
: socios. altos sobre adyacentes. Entonces en nuestra foto, eso nos da h más de la mitad. Bueno, cuando.
x es igual a uno, H, va a ser el cuadrado raíz de uno al cuadrado más un medio al cuadrado.
por el teorema de Pitágoras. Y nos dividiremos eso a la mitad. Y simplificando, obtenemos la.
Así que conectemos estos valores a nuestra ecuación que involucra
derivadas. Y obtenemos la. Si quiero convertir esto a unidades más estándar de millas por hora, puedo.
simplemente multiplicar mis 10 pi millas por minuto por 60 minutos por hora para obtener 600 pi millas por.
hora. Eso equivale a aproximadamente 1885 millas. por hora, lo cual es bastante rápido.
En este problema. de tasas relacionado, relacionamos las rotaciones por minuto, a un cambio de ángulo por minuto.Y usamos la.
ecuación trigonométrica para relacionar el ángulo y longitud lateral. resolver un triángulo rectángulo. significa encontrar la longitud de todos los lados y las medidas de los ángulos dada información. parcial. En este ejemplo, se nos da la longitud de un lado y la medida de un ángulo,. además sabemos la medida de este El ángulo recto mide 90 grados, necesitamos encontrar. la medida del tercer ángulo etiquetado como funding.
A, y la longitud de los dos lados etiquetados como. b minúscula y C minúscula.
Para encontrar la medida del ángulo A, usemos el hecho de que las medidas de. los tres ángulos de un triángulo suman 180 grados. Eso significa que 49 grados más. 90 grados más a es igual a 180 grados.
Entonces A es igual a 180 grados menos 90 grados. Para encontrar la longitud del lado D tenemos un.
Podríamos usar el hecho de que la tangente de 49 grados, que es opuesta sobre. adyacente, es B sobre 23. Entonces b es 23 veces tan 49 grados, lo que equivale a 26,46 unidades.Alternativamente,. podríamos usar el hecho de que tan de 41 grados es 23 sobre b ya que ahora, si.

miramos el ángulo aquí, 23 es nuestro opuesto y B es un adyacente. Eso es un poco más difícil.
de resolver algebraicamente. Pero nosotros Puedo escribir B tan 41 grados es igual a 23, lo que.
Disadvantage una calculadora que vuelve a dar 26,46. La. razón por la que queremos usar 10 en esto problema y no decir seno o coseno es porque 10 de.
Resolviendo para C, obtenemos que C es 23 partido por el coseno 49, lo que equivale. Otra opción sería United States el teorema de Pitágoras para encontrar C. Como sabemos.
26,46 al cuadrado es igual a c al cuadrado, lo que significa que C es la raíz cuadrada de esa canción,. Para revisar, Las concepts que utilizamos fueron: la suma de los ángulos. Y utilizamos el teorema de Pitágoras.
Esto nos permitió encontrar. todos los ángulos y longitudes de los lados. del triángulo, conociendo sólo
la longitud. de un lado y el ángulo de uno de los no ángulos rectos para empezar
. En el siguiente ejemplo,. no conocemos ninguno de los ángulos excepto el ángulo recto, pero sabemos que tenemos las longitudes de los. lados.Para encontrar el ángulo theta desconocido, podemos usar. el hecho de que el coseno theta

es un sobrevalor adyacente. picor, entonces eso es
10 sobre 15. El coseno es una buena. función trigonométrica para usar aquí, porque La ecuación relaciona nuestro ángulo desconocido con nuestros. dos lados conocidos. Entonces solo tenemos una incógnita. en nuestra ecuación para resolver. Para resolver theta,. simplemente tomamos el coseno inverso de 10/15, que es 0,8411 radianes o 48,19 grados.
Para encontrar. la medida del ángulo, podríamos use el hecho de que el seno de tarifa es 10 sobre 15.
y tome el seno inverso de 10/15. Pero probablemente Un poco más fácil, usemos el hecho de que estos. tres ángulos forman 180 grados.Eso dice Nosotros, esa tarifa más 90 más 48,19 es igual a 180.
Finalmente, Podemos encontrar x usando una función trigonométrica. Encontrar usando una función trigonométrica, podríamos escribir.
algo como tan de 48,19 grados es x sobre 10. Para encontrar eso usando el teorema de Tyrion,.
escribiríamos 10 al cuadrado más x al cuadrado es igual a 15 al cuadrado. Usaré el teorema de Pitágoras. y encontraré la x haciendo el cuadrado raíz de 15 al cuadrado menos 10 al cuadrado. Eso. me da una respuesta de 11.18. Note que nosotros Utilice muchas de las mismas ideas que en el problema. former. Por ejemplo, el hecho de que la suma de los ángulos es 180.
El teorema de Pitágoras y las.
dada información parcial. Por ejemplo, el medida de un ángulo y un lado o de dos lados.
Y el valiance de y f de c se llama valor máximo absoluto. Ahora, si dibujo una gráfica de f, el valor y f de c es el valiance más alto que. Ahora, es posible para una función para tener más de un punto.
máximo absoluto, si hay un empate por el valiance más alto.
Pero una función tiene como. máximo un valiance máximo absoluto. Una función f de x tiene un mínimo absoluto de que x es igual. a C, si f de c es menor o
igual que f de x, para todo x en el dominio de f. En este caso,. el punto c f de c se llama mínimo absoluto punto.Y el valiance de y f de c se llama valiance.

mínimo absoluto. En la gráfica de f de x, f de c es ahora el punto más bajo que la. función alcanza en cualquier lugar de su dominio, y C SOC, child las coordenadas de un punto. donde la función alcanza ese valiance mínimo. Por ejemplo, esta función tiene un valiance mínimo. absoluto de aproximadamente ocho negativos.
Si esta función se detiene aquí, y
sólo tiene un dominio de cero a cuatro, entonces. Además de los mínimos máximos absolutos, podemos hablar. Entonces una función f de x tiene un máximo regional en x es igual a. C. Si f de c es mayor o igual que f de x, para todo x, cerca de C. Por cerca de C queremos decir que hay algún.
máximo local aquí mismo.Aunque no es el

punto más alto en cualquier lugar ya que hay un punto. más alto aquí arriba, este
es el más alto punto en un intervalo abierto alrededor del punto. C FFC se llama punto máximo neighborhood.
Y el valiance de y f FC se denomina valor máximo local. De manera comparable, una función f de x tiene una mínimo neighborhood en x es igual a C, si f de c. es menor o igual a f de x para todo x, cerca C. Y el punto c f de c se llama punto mínimo. Y el valiance de y f de c se llama un valiance mínimo regional.
En este ejemplo, Suponiendo que el dominio es de cero a cuatro,. tenemos un punto mínimo regional justo aquí. Porque es el punto más bajo en las cercanías. También. resulta ser un mínimo absoluto.Punto. Ahora, volviendo nuestra atención a los máximos.

areas, tenemos un punto máximo local justo aquí disadvantage coordenadas aproximadamente uno dos. Dado. que f de uno es tan alto o mayor que f de x para cualquier valiance de x en un intervalo abierto alrededor. de uno. En este ejemplo, el máximo absoluto El punto de 410 no cuenta como punto máximo neighborhood. Simplemente porque no podemos abrir El intervalo en ambos lados de la función. no existe en el lado derecho. Y así por Por ese tipo de razón técnica, terminamos fool un punto. máximo absoluto. Eso no es un punto neighborhood. punto máximo aquí.Los valores máximos y
mínimos places. también pueden denominarse máximo relativo. y

valores mínimos.
Por favor, mira este gráfico. Vea si puede encontrar el valor máximo absoluto.
Voy a marcar en verde los puntos máximos. locations, y el máximo absoluto puntos en rojo.
Dado que este es el punto más bajo en cualquier. También hay un punto mínimo. Entonces marcaré es mitad verde y mitad roja.
mínimo local aquí en el punto tres, dos, ya que este punto es tan bajo o más bajo que cualquier.
punto en un intervalo abierto. y la funcion se define en un intervalo abierto alrededor de.
tres, aunque allí es discontinuo.De hecho, este punto está empatado por el mínimo neighborhood, disadvantage. todos los puntos en este intervalo aquí, entre dos y tres, child tan bajos o más bajos que todos los puntos. en un intervalo abierto alrededor de ellos.
El punto 04 no cuenta como máximo regional, porque. la función no está definida en el otro lado de cero.
Así que no hay ningún intervalo abierto. Bueno, es tentador decir que f tiene un máximo. Pero, de hecho, aquí no tiene.
El valor de tres en realidad también está aquí abajo. Entonces no tiene sentido aquí ser un máximo regional punto.Y si empiezas a mirar puntos muy. cercanos a ese punto, esos no kid locations. máximos tampoco, porque siempre puedes encontrar un. punto un poco más alto a medida que obtienes Cada vez más cerca, pero no llegas al punto que. falta de tres 3,5. Entonces tenemos todos los puntos máximos absolutos y locales marcados. Y. ahora a encontrar el valor máximo absoluto. Bueno, acabamos de decir que no hay ninguno. Pero. el valiance mínimo absoluto es el valiance y.De este punto mínimo absoluto aquí. Entonces yo diría. que es alrededor de

0,5. Aquí he dibujado el gráfica de una función.
¿ Qué observas acerca de. Puntos máximos y mínimos, pausa el vídeo.
y aquí. Y en dos de esos puntos, la derivada f prima de c es igual a cero.
Y que el tercer. punto, f prima de c, no existe, porque la función tiene una esquina. Un número c se llama. número crítico para una función f si f primo de c no existe
, o f prima de c existe y es. igual a cero. En otras palabras, todos Estos puntos mínimos máximos locales para este. ejemplo, child todos puntos críticos. Y Esto es cierto en general, si f tiene un máximo o mínimo. neighborhood en C, entonces C debe ser un valor crítico
. número para F. También decimos que el punto c. f de c es un punto crítico para F.Es importante No quiero leer demasiado en esta declaración.

La. declaración dice que si f tiene un máximo neighborhood o hombre en C, entonces C debe ser un número crítico. Pero lo contrario no se cumple. En otras palabras, Si c es un número crítico, entonces f puede tener. o no un máximo local o hombres en el mar. Un ejemplo a tener en cuenta es que la función f de x es igual.
a x al cubo en un valiance de C de cero. Desde f primo de x es 3x al cuadrado, tenemos que f prima de cero es.
igual a cero. Entonces el cero es un número crítico.Pero observe que F no

tiene un máximo neighborhood cuando. x es igual a cero.
En este video clip, definimos absoluto y local, máximo. y mínimo.
También definimos críticos números, que kid números c, donde f primo.
de c es igual a cero, o f primo de c no existir. Observamos que si f tiene un máximo o mínimo.
regional en C, entonces C es un número crítico. Pero no necesariamente un consejo. En este vídeo.
veremos cómo la primera derivada y la La segunda derivada puede ayudarnos a encontrar máximos y.
mínimos locales para una función. Recordar que f de x tiene un máximo neighborhood en x es igual.
a C. Si f de c es mayor o igual que f de x, para todo x, en un intervalo abierto alrededor.
de C, F de X tiene un mínimo neighborhood en x igual C.Si f de c es menor o igual que f de x, para todo.
x, en un intervalo abierto alrededor de C. En este ejemplo, la función f tiene un máximo neighborhood.
en x es igual a seis en x es igual a 11. Y un mínimo neighborhood en x es igual a aproximadamente 10. Hemos visto antes que si f tiene un máximo local o un minutes en x es igual a C, entonces f prima de c es.
igual a cero o no existe.Número C en cuyo

f primo de c es cero o no existe, se llaman.
números críticos. Pero tú tienes tener cuidado, porque es posible que F tenga.
un número crítico en C. Es decir un lugar donde si la privacidad es igual a cero,.
o no existe, pero no tiene un máximo neighborhood, o min en x es igual a C. De hecho, esto sucede en el.
gráfico anterior, en x es igual a dos, ya que f primo de dos es cero, pero no hay un máximo o mínimo.
regional allí. Por support pausa el vídeo para un momento y trate de descubrir qué es diferente.
acerca de la derivada de f en la vecindad de x es igual a dos, donde no hay un máximo o mínimo.
neighborhood, y en las proximidades de x es igual a 610 y 11 donde hay máximos y mínimos locales.Cerca.

del punto crítico en x es igual a dos, el La derivada es positiva a la izquierda y positiva nuevamente.
a la derecha. Pero cerca de los máximos locales, la derivada es positiva a la izquierda y negativa.
a la derecha. Y cerca del local mínimo, la derivada es negativa a la izquierda.
y positiva a la derecha. Estas observaciones ayude a motivar la prueba de la primera derivada para.
encontrar máximos y mínimos places.

Para encontrar la medida del ángulo A, usemos el hecho de que las medidas de. Ahora, si dibujo una gráfica de f, el valor y f de c es el valor más alto que. En la gráfica de f de x, f de c es ahora el punto más bajo que la. Entonces una función f de x tiene un máximo local en x es igual a. C. Si f de c es mayor o igual que f de x, para todo x, cerca de C. Por cerca de C queremos decir que hay algún. De manera similar, una función f de x tiene una mínimo regional en x es igual a C, si f de c. es menor o igual a f de x para todo x, cerca C. Y el punto c f de c se llama punto mínimo.La primera La prueba derivada dice que si f es una función continua
cerca de x es igual a C, y si c es una función crítica número, entonces podemos decidir si f tiene un máximo
o mínimo regional en x es igual a c mirando en la primera derivada cerca de x es igual a C.Más.

específicamente, si sabemos que f prima de x es positivo para x menor que c, y negativo para.
x mayor que c, entonces nuestra función parece algo como esto. O tal vez así, tu x es igual a.
C, por lo que tenemos un máximo neighborhood en x es igual a C. Si, por otro lado, f prima.
de x es negativa para x menor que c, y positiva para x mayor que c, entonces nuestra función.
se parece a esto. O tal vez así, tu x es igual a C y entonces tenemos hombres areas en x es igual.
a ver. Si nuestra primera derivada es positiva en ambos lados de C o negativo en ambos lados de.
C, entonces no tenemos una mirada Todo extremo punto en x es igual a C. En cambio, nuestra gráfica.
La prueba.
En concreto, el segundo La prueba derivada nos dice que si f es continua cerca de. x es igual a C, entonces si f prima de c es igual a cero, y f doble prima de c es mayor que.
cero, entonces f tiene un mínimo regional en x es igual a C. Si, por otro lado, f prima de c es igual a cero, y f doble primo de c es menor que cero, entonces f.
tiene un máximo regional en x es igual a C.Nota que si f doble prima de c es igual a cero,.
o no existe, entonces la segunda derivada la prueba no es concluyente. Podríamos tener un máximo.
neighborhood o un hombre local en x es igual a C, o podríamos no. Entonces tendríamos que usar un método diferente como.
la prueba de la primera derivada para averiguarlo. En este vídeo, presentamos la prueba de la primera derivada.
y la prueba de la segunda derivada, que nos permiten determinar si una función tiene.
un mínimo local o un máximo regional en un cierto valiance de x. En este video, analizaré dos ejemplos.
de cómo encontrar valores extremos, que es decir, valores máximos y valores mínimos de funciones. En el guide ejemplo, se nos pide encontrar los valores máximo y mínimo absolutos para.
esta función racional g de x en el intervalo de cero a cuatro, estos valores máximos y mínimos.
podrían ocurrir en números críticos en el interior del intervalo, o podrían ocurrir en.
los puntos finales del intervalo.Entonces Necesitaremos verificar los números críticos, verificar. los puntos endings y comparar nuestros valores. Para encontrar los números críticos, esos kid los. números donde g primo de x es igual a cero o no existe. Entonces, tomemos la derivada g prima de x. usando la regla del cociente.
Así que nosotros obtenemos x al cuadrado más x más dos al cuadrado en. el denominador, y luego tenemos
tiempos bajos d alto, la derivada del numerador es uno. menos alto por la derivada del denominador, eso es 2x más uno. Antes de descubrir dónde. existe ese cero o no, simplifiquemos un poquito.
Entonces podemos multiplicar el. numerador. Distribuiré el signo negativo.
Y sumaré términos semejantes en el numerador, simplemente. dejaré el denominador solo en todos estos pasos.
Déjame despejar un poco de. Ahora la única manera de que g prime de x no podría existir, es si el denominador es. Para saber dónde g primo de x es igual a cero, sólo.
es un lugar donde mi función g podría tener un máximo o mínimo absoluto. Entonces, calculemos.
el valiance de G allí ingresando tres para x que se evalúa hasta el 14, o un
conjunto.Así que. hemos verificado los números críticos. Ahora vamos a Continúe y verifique los puntos finales.
Esos. son los valores de x de cero y cuatro, ya que nuestro intervalo es de cero a cuatro. Al conectar,. obtenemos que g de cero es menos uno la mitad y g de cuatro child 320 segundos. A veces me gusta
. hacer una tabla con todos estos candidatos. valores. Los valores candidatos de x child 03, y cuatro y los valores. g correspondientes de x que encontramos fueron menos medio 1/7 y 320 segundos. Ahora para encontrar. los valores máximo y mínimo absolutos, todo lo que tengo que hacer es averiguar cuál de. estos valores de y es el mayor y cuál es el mas pequeño.Bueno, claramente la mitad negativa es. la más pequeña, así que ese es el mínimo absoluto.

valiance. Y sólo necesitamos comparar 1/7 y 320. segundos para ver cuál es mayor. Ahora, 1/7 es lo mismo que 320 primeros, que será mayor.
que 320 segundos. entonces la mitad 1/7 es nuestro valiance máximo absoluto.
Podemos confirmar. esto mirando una gráfica de nuestra función. gramo.
Recuerde, sólo nos interesa el intervalo. de cero a cuatro.
Entonces solo estamos interesado en esta sección del gráfico. Y. parece que el valor mínimo
está aquí.En cuando x es igual a cero,

el valor mínimo de la mitad. negativa como encontramos, y el valor máximo. Bueno, no estoy seguro de dónde está exactamente en. este gráfico, pero parece que está en algún lugar alrededor de las tres. Y ese es un valiance de alrededor. de 1/7. Entonces el gráfico confirma lo que encontramos una respuesta más precisa utilizando el cálculo. Para el siguiente ejemplo, encontremos el absoluto valores extremos para la función f de x, que es. el valor absoluto de x menos x al cuadrado, en el intervalo de menos dos a dos. Como stakes,.
podemos encontrar valores extremos absolutos. comprobando primero los números críticos y luego.
también los puntos finales del intervalo negativo dos y dos.Para encontrar los números críticos,. necesitamos tomar la derivada de nuestra función. Pero como nuestra función involucra el valiance absoluto,.
es un poco complicado tomar la derivada. En lugar de eso, primero reescribamos f usando notación.
por partes. Recuerde que, si estamos mirando el valiance absoluto de x, cuando x es mayor.
o igual a cero, valor absoluto de x es solo x. Entonces f de x será x menos x al cuadrado. Por otro lado, cuando x es menor que cero, el valiance absoluto de x es negativo x. Entonces.
f de x será negativo x menos x al cuadrado. Ahora para sacar la derivada, podemos tomar la derivada.
de cada pieza. Entonces cuando x es mayor que cero, no quiero tomar la derivada cuando.
x es igual a cero, porque podría haber Suceden cosas graciosas, ya sabes, un costo por esquina,.
así que solo me preocuparé de cuándo x es mayor que cero, y cuando x es menor que.
cero, por ahora, cuando x es mayor que cero, puedo usar la regla de la potencia.Obtengo.

uno menos 2x es la derivada cuando x es menor que cero, obtengo menos uno menos 2x. Y ahora para.
encontrar dónde tengo números críticos, Necesito encontrar dónde f prima de x es igual.
a cero, o f prima de x no existe. Bien, f primo de x es igual a cero, donde uno menos.
2x es igual a cero para x mayor que cero. Y donde uno, menos uno menos 2x es igual a cero.
para x menor que cero.Entonces eso corresponde a x es igual a la mitad para x mayor que cero,.
y x es igual a menos la mitad para x menor que cero. Entonces esos child mis dos primeros números.
críticos. Y es que se encuentran dentro de mi intervalo que me interesa. Pero también tengo que.
preocuparme por dónde termina f prima de x. no existe. Y el valor candidato de x para eso es donde x.
es igual a 01 manera de convencernos a nosotros mismos la derivada no existe cuando x es igual a cero.
es observar el hecho de que la derivada está muy cerca de uno para los valores de x, muy cerca.
de cero desde el lado derecho y muy cerca a uno negativo para los valores de x del lado izquierdo. Entonces la gráfica de la función va tener que tener una pendiente descendente con una pendiente cercana.
a menos uno para x menor que cero y hacia arriba con una pendiente cercana a uno para x mayor que cero,.
por lo que terminará teniendo un costo por esquina allá.También observe que

incluso si no estuviera 100% seguro. de que la derivada no existiera en x igual cero, no estará de más considerar que x es. igual a cero como posible candidato adicional para el valor máximo o mínimo absoluto. Así que. tengo mis tres números críticos y mi last los puntos serán simplemente x es igual a menos dos y x. es igual a dos.
Así que déjame hacer un gráfico de valores mis valores de x a considerar kid menos.
dos, menos uno mitad 01, mitad y positivo dos, y mis valores correspondientes de f de.
x serán, digamos, un valor absoluto de negativo dos menos menos dos al cuadrado da como resultado.
dos menos cuatro, que es menos dos, lo conecto en menos una mitad, obtengo una mitad menos 1/4,.
Conecte cero y obtengo cero. Y al conectar dos, obtengo.
dos negativos nuevamente. Así que ahora mi El valiance más grande será 1/4. Entonces ese es mi.
valiance máximo absoluto y mi valiance más pequeño. va a ser menos dos. Ese es mi valor mínimo.
Puedo confirmar lo que encontré. Así que aquí he graficado mi.
función, y es igual al valiance absoluto de x menos x al cuadrado en el intervalo de menos.
dos a dos. Y puedo ver de hecho, que mi El mínimo absoluto será un valiance de menos dos,.
ocurre en dos puntos mínimos absolutos, y mi máximo absoluto será un valiance de aproximadamente.
1/4. Y eso ocurre en dos absolutos. puntos máximos. Y disadvantage eso concluye este video sobre cómo.
encontrar valores extremos. el valor medio El teorema relaciona la tasa de cambio promedio de una.
Supongamos que f. es una función definida en un intervalo cerrado a, b, y tal vez definido en algunos otros lugares. C. En el gráfico, la tasa de cambio promedio de f es la
pendiente de la recta secante. Así que te animo a que pongas.
sostener. Y también la conclusión es válida. Las hipótesis kid que f es continua en la intervalo cerrado, uno tres, y que es diferenciable en. ese indoor de ese intervalo. Ambos Estos hechos
kid ciertos porque f es un polinomio. Ahora. necesitamos verificar que la conclusión del teorema del valor medio se cumple. En otras palabras,. necesitamos encontrar un número c en el intervalo uno, tres, tales que la derivada de f en. C es igual a la tasa de cambio promedio de f en el intervalo de uno a tres.Ahora f prima de x es 6x al cuadrado menos ocho. Entonces. f primo en cualquier número c es solo seis c al cuadrado menos ocho. También podemos calcular f de tres simplemente.
conectando y obteniendo 31 y f de uno es menos cinco. Al introducir estos valores en nuestra.
ecuación, obtenemos que seis c al cuadrado menos ocho tiene que ser igual a 31 menos menos cinco.
sobre To, en otras palabras, seis c al cuadrado Es mejor que menos ocho sea igual a 18, lo que significa que.
seis c al cuadrado deben ser iguales a 24.

Entonces C al cuadrado tiene que ser igual a cuatro, lo que significa.
que C tiene que ser igual a más o menos dos. desde negativo dos no está en el intervalo de uno a tres,.
nos queda un valiance de c positivo dos. Entonces C es igual a dos es el número que estamos.
buscando. Y en C es igual a f prima es igual a 18, que es la tasa de cambio promedio de f en.
el intervalo. hemos verificado la media teorema del valor. En este ejemplo, se nos.
dice que f de uno es siete y que la derivada de f está acotado entre menos tres y menos.
dos. En el intervalo uno seis, estamos Se le pidió que encontrara los valores más grande y más.
pequeño que podría tener f de seis. Bueno el El teorema del valiance medio nos da una forma de relacionar.
la derivada de la función con sus valores. en los extremos del intervalo. Más específicamente, el.
teorema del valor medio nos dice que el promedio tasa de cambio F de seis menos f de uno sobre.
seis menos uno es igual a la derivada f prima de c, para algún C, en el intervalo, uno, seis. Dado que la derivada está acotada entre menos tres y menos dos, sabemos que la tasa.
de cambio promedio está limitada entre menos tres y menos dos.Sabemos que f

de uno.
Y ahora podemos resolver esto. Multiplica la desigualdad.
por cinco y suma siete. Y ahora podemos ver que menos ocho es el valor más pequeño posible.
para F seis y menos tres es el duties más grandes posibles, existe un caso especial.
importante del teorema del valiance medio. Si f es una función definida en el intervalo cerrado a.
b, y f de x es continua en todo ese intervalo intervalo cerrado, diferenciable en el interior.
del intervalo. Y si f de a es igual a F de B, entonces hay un número c en el intervalo a,.
b, tal que f prima de c es cero. si miramos en una gráfica de una función que tiene valores.
iguales en a y en B, podemos ver dónde La derivada tiene que ser cero en un máximo o.
en un mínimo entre A y B.Para ver por qué la rollos hay un caso especial del teorema del.
valor medio. Piensa en cuál es el valor medio. teorema diría sobre esta función, diría.
que hay un C, tal que f primo de c es igual a la tasa de cambio promedio.
de la función. Pero como f de b y F de A son iguales, según nuestra suposición, esta tasa de cambio.
promedio es simplemente cero. Y entonces la media teorema del valor, su conclusión es que existe un.
C, tal que f primo de c es igual a cero, lo cual es exactamente la conclusión del teorema de las reglas. En este video clip, vimos eso para una función.Eso es continuo en un intervalo cerrado y diferenciable. en el indoor de ese intervalo
, la tasa de cambio promedio de la función. es igual a la tasa de cambio instantánea de la función, f prima de c para algún C en.
Este vídeo da dos pruebas.
del valor medio para integrales dice que para la función continua f de x, definida en.
el intervalo de a a b, hay algún número c entre A y B, tal que f de c es igual al.
valiance promedio de f. la primera prueba que voy a dar utiliza el teorema del valor.
intermedio. Recordemos que el intermedio El teorema del valor dice que si tenemos una función.
continua f definida en un intervalo, lo cual llame a x 1x, dos, si tenemos algún número l en.
el medio, f de x uno y f de x dos, entonces f tiene que alcanzar el valor l en algún lugar entre.
x uno y x dos.Teniendo en cuenta el intermedio teorema del valiance, volvamos nuestra atención al.
teorema del valiance medio para integrales. Ahora, Es posible que nuestra función f de x sea.
constante en el intervalo de aa b. Pero Si eso es cierto, entonces nuestro teorema del valor medio.
para integrales se cumple fácilmente, porque f AV es justo igual a esa constante, que es igual a f.
de c para cualquier c entre A y B. Entonces, supongamos que f no es constante, ¿ continuará la.
función continua en un intervalo cerrado? tener un valiance mínimo y un valiance máximo, que.
Si no cree esto, considere.

m pequeña. Y si integramos esta desigualdad, obtenemos poco m multiplicado por b menos a es menor.
o igual que la essential de f es menor que o igual a M grande por b menos a. Observe que.
la primera y la última integrales fueron simplemente integrando una constante. Ahora, si divido.
los tres lados por b menos a, puedo ver que la m pequeña es menor o igual que el valor promedio.
de f es menor o igual que la M grande como yo quería. Ahora solo me falta aplicar el teorema.
del valiance intermedio con el promedio de F como mi número L y m pequeño y M grande como.
mis valores de f de x uno y f de x dos.El intermedio El teorema del valiance dice que el promedio F se logra.
Y por lo tanto, para algún C en mi intervalo a.
b. Y eso demuestra el teorema del valor valiance. Ahora voy a dar una segunda demostración.
del teorema del valiance medio para integrales. Y esta vez, será como corolario del teorema.
del valiance medio routine para funciones. Recuerde que el teorema del valor medio para funciones dice.
que si g de x es continua en un plano cerrado intervalo, y diferenciable en el indoor de ese intervalo,.
entonces hay algún número c en el intervalo, tal que la derivada de g en C es.
igual a la tasa de cambio promedio de G, a lo largo de todo el intervalo de a a b.Mantengamos.

el teorema del valiance medio para funciones. en mente y volvamos nuestra atención al teorema.
del valiance medio para integrales. Voy definir una función g de x como la important.
de a a x de f de t dt, donde F es la función que se nos da en el enunciado del teorema del valiance.
medio para integrales. Observe que g de A es solo la essential de a a a, que es cero,.
mientras que g de B es la important de a a b de nuestra función. Ahora, según el teorema essential.
del cálculo, nuestra función g de x es continua y diferenciable en el intervalo.
a, byg prima de x es igual a f de x.

Ahora la única manera de que g prime de x no podría existir, es si el denominador es. Y es que se encuentran dentro de mi intervalo que me interesa. C. En el gráfico, la tasa de cambio promedio de f es la
pendiente de la recta secante. C es igual a la tasa de cambio promedio de f en el intervalo de uno a tres.Ahora f prima de x es 6x al cuadrado menos ocho. C, tal que f primo de c es igual a cero, lo cual es exactamente la conclusión del teorema de las reglas.Y por el teorema del valor medio para funciones, sabemos
que g primo de c tiene que ser igual a g de b menos g de a sobre b menos a, para algunos números,
C y el intervalo a b, si sustituimos en los tres hechos anteriores, en nuestra ecuación a continuación,
obtenemos que f de c es igual a la important de a a b de f de t dt menos cero sobre b menos a, que
es exactamente la conclusión a la que llegamos quería llegar.Esto muestra

que el teorema del
valor medio para integrales es realmente el Teorema del valor medio para funciones donde nuestra
función es una integral. Y esto completa la segunda prueba del teorema major del valor para
integrales. Así que ahora he demostrado lo malo teorema de valor para integrales de dos maneras diferentes. Y he usado muchos de los grandes teoremas. de cálculo a lo largo del camino en este video clip, resolveremos
desigualdades que involucran polinomios como ésta, y desigualdades que involucran expresiones
racionales como ésta.Empecemos con un ejemplo simple, tal vez un ejemplo engañosamente basic, si ves la desigualdad, x al cuadrado es menor que cuatro, es posible que te sientas tentado a sacar la raíz cuadrada de ambos lados y obtenga algo como x es menor que dos como respuesta. Pero, de hecho, eso no funciona. A Para ver por qué no es correcto, considere el valor x de 10 negativo. 10 negativo satisface la desigualdad, x es menor que dos, ya que menos 10 es menor que dos. Pero no satisface la desigualdad x al cuadrado es menor que cuatro, ya que menos 10 al cuadrado es 100, que es no menos de cuatro. Entonces estas dos desigualdades no kid lo mismo. Y no sirve para resolver una desigualdad cuadrática solo para sacar la raíz cuadrada de ambos lados, podrías estar pensando parte de por qué este razonamiento es incorrecto, ya que hemos ignorado las dos opciones negativas, ¿ verdad? Si teníamos la ecuación, x al cuadrado es igual a cuatro, entonces x es igual a dos sería solo una opción, x es igual a menos dos sería otra solución.Entonces, de alguna manera, nuestra solución a esta desigualdad debería tener esto en cuenta. De hecho, una buena manera de resolver una desigualdad que involucra x cuadrados o términos de potencias superiores, es resolver primero la ecuación asociada.
Pero antes Incluso hacemos eso, me gusta dejar todo a. un lado, para que mi desigualdad tenga cero en el otro lado. Entonces, para nuestra ecuación,. restaré cuatro de ambos lados para obtener x al cuadrado menos cuatro es menor que cero. Ahora. voy a resolver los problemas asociados. ecuación, x al cuadrado menos cuatro es igual a. cero, puedo hacer esto factorizando 2x menos dos por x más dos es igual a cero. Y estableceré. mis factores iguales a cero, y obtengo x es igual a dos y x es igual a menos dos.Ahora. voy a trazar las soluciones de mi ecuación.
Entonces escribo menos. Como quiero encontrar dónde x al cuadrado menos. Entonces,.
en menos tres, la expresión x al cuadrado menos cuatro es positivo. Y de hecho, en todas partes.
de esta región de la recta numérica, mi expresión va a ser positivo, porque puede saltar.
de positivo a negativo, transgression pasar por un lugar donde es cero, puedo determinar si.
x al cuadrado menos cuatro es positivo o negativo en esta región y en esta región de la.
anus numérica ingresando el valor de prueba De manera comparable, evalúe el enchufe entre.
dos negativos y dos, un buen valiance es x igual 00 al cuadrado menos cuatro, eso es menos cuatro.
y número negativo.Entonces sé que mi expresión x al cuadrado menos cuatro es negativo en todo este. intervalo.
Finalmente puedo conectar algo. como x es igual a 10, algo mayor que dos, y obtengo.
10 al cuadrado menos cuatro. Wrong siquiera calculando que puedo decir que será un número.
positivo. Y eso es todo lo que es importante. Nuevamente, como quiero que x al cuadrado.
menos cuatro sea menor que cero, estoy buscando los lugares en esta recta numérica donde obtengo negativos. Así que lo compartiré en mi número. línea. Está aquí, wrong incluir los puntos finales, porque.
los puntos finales kid donde mi expresión x al cuadrado menos cuatro es igual a cero y lo.
quiero estrictamente menor que cero, puedo escribir mi respuesta. Como desigualdad, menos dos es.
menor que x es menor que dos, o un intervalo notación como corchete affable menos dos, dos corchetes.
A continuación, resolveremos los problemas asociados. Primero, escribiré.
la ecuación. Ahora factorizaré un X. Y ahora factorizaré la cuadrática. Entonces las soluciones.
de mi ecuación kid x es igual a 0x es igual seis y x e es igual a menos uno, escribiré las.
soluciones de la ecuación en el número línea. Eso es menos uno, cero y seis. Ahí.
es donde mi expresión x por x menos seis por x más uno es igual a cero. Pero.
quiero encontrar dónde es mayor que o igual a cero.Nuevamente, puedo usar valores de prueba,. puedo ingresar, por ejemplo, x es igual a negativo dos, ya sea a esta versión de expresión o a.
esta versión factorizada. ya que yo solo No importa si mi respuesta es positiva o negativa, a veces.
es más fácil usar el método factorizado. versión. Por ejemplo, cuando x es menos dos, este.
factor es negativo. Pero este variable, x menos seis también es negativo cuando sustituyo.
menos dos por x. Finalmente, x más uno, cuando Conecto menos dos para x, eso es menos uno, eso.
también es negativo.Y un negativo multiplicado por un negativo multiplicado por un negativo. me da un número negativo. Si conecto algo entre menos uno y cero, digamos que x es igual. a menos un medio, entonces obtendré un negativo para este variable, negativo para este variable,. pero positivo para este tercer aspect. Negativo multiplicado por negativo multiplicado por positivo me. da un resultado positivo para un valor de prueba entre cero y seis, intentemos que x sea igual a uno. Ahora obtendré. un positivo para este element y un negativo. para este factor, y un positivo para este factor. positivo multiplicado. por negativo multiplicado por positivo me da negativo. Finalmente, para un valiance de prueba mayor. que seis, podríamos usar una x igual
a 100, eso me va a dar positivo positivo positivo. Entonces mi producto será positivo.Como quiero valores donde mi expresión.

sea mayor o igual a cero, quiero el lugares donde n es igual a cero. Y los lugares donde. es positivo. Entonces mi respuesta last será cerrar el corchete negativo uno a cero, cerrar la unión. del corchete, cerrar el corchete seis al infinito. Como nuestro ejemplo last, consideremos la desigualdad. racional, x al cuadrado más 6x más nueve dividido por x menos uno es menor o igual a cero. Aunque.
podría resultar tentador borrar la denominador y multiplicar ambos lados por x menos.
uno, es peligroso hacerlo, porque x menos uno podría ser un número positivo. Pero también.
podría ser un número negativo. Y cuando multiplicas ambos lados por un número negativo, tienes.
que invertir la desigualdad. A pesar de es posible resolver la desigualdad de esta manera,.
pensando en casos donde x menos uno es menor que cero o mayor que cero, creo que es mucho.
más fácil resolverlo de la misma manera como lo hicimos antes.Entonces comenzaremos reescribiendo. para mover todos los términos hacia la izquierda y tener cero a la derecha, bueno, eso ya es cierto. Entonces el siguiente paso sería resolver el ecuación asociada. Es decir, x al cuadrado más 6x. más nueve partido por x menos uno es igual a cero. Ahí sería donde los numeradores 0x al cuadrado. más 6x más nueve boy iguales a cero, entonces tenemos x más tres al cuadrado es cero,. o x es igual a menos tres, hay uno additional paso que tenemos que hacer para expresiones racionales. Y eso. es lo que tenemos que encontrar donde está la expresión no existe. Es decir, encontremos dónde el. denominador es cero.
Y dicho esto xD es igual a uno. Pondré todos esos números en. la recta numérica, los lugares donde mi racional expresión es igual a cero, y el lugar donde. mi expresión racional no existe, entonces puedo comenzar disadvantage los valores de prueba. Por ejemplo, x es igual a menos cuatro, cero y dos trabajar.Si introduzco esos valores en esta expresión aquí, obtengo.

una respuesta negativa, una respuesta negativa. respuesta y una respuesta positiva. La razón por la que. necesito concluir los valores en mi recta numérica donde mi denominador es cero es porque puedo. mi expresión puede cambiar de negativa a positivo al pasar por un lugar donde mi. expresión racional no existe, además mientras de paso volaba hasta un lugar donde mi. expresión racional es igual a cero. Ahora Estoy buscando dónde mi expresión initial age. menor o igual a cero. Entonces eso significa Quiero los lugares en la recta numérica donde. mi expresión es igual a cero, y también el Lugares donde es negativo. Entonces mi respuesta final. es x es menor que uno, o una notación de intervalo,
infinito negativo a uno. En este video clip, resolvimos. desigualdades polinomiales y
racionales.Haciendo una recta numérica. Y usar valores de prueba para. hacer un gráfico de signos. El primero y el segundo La derivada de una función puede decirnos mucho. sobre la forma de la gráfica de la función. En este vídeo, veremos qué nos pueden decir. f primo y f doble primo acerca de dónde La función es creciente y decreciente, es cóncava. hacia arriba y cóncava hacia abajo y tiene inflexión.
puntos. Decimos que una función es creciente. Si. f de x uno es menor que f de x dos, siempre que x uno es menor que x dos.En otras palabras, la. gráfica de la función aumenta. A medida que x aumenta De izquierda a derecha decimos que la función. f es decreciente. Si f de x uno es mayor que f de f dos, siempre que x uno sea menor que x. dos.
En otras palabras, la altura de la función. desciende a medida que nos movemos de izquierda a derecha. En este gráfico, es un poco difícil decir qué es sucede cuando x está cerca de dos, ¿ es completamente.
horizontal o la gráfica aumenta ligeramente? Si asumimos que aumenta ligeramente, entonces, en.
este ejemplo, f de x aumenta a medida que x varía de cero a seis, y nuevamente cuando x varía.
de 10 a 11.

La gráfica es decreciente para valores de x entre seis y 10. Y para valores de.
x entre 11 y 12, la primera derivada de f puede decirnos dónde la función aumenta y.
disminuye. En specific, si f prima de x es mayor que cero para todo x en un intervalo,.
entonces f es creciente en este intervalo. Esto tiene sentido, porque el hecho de que f prima sea mayor que cero.
significa que la recta tangente tiene valores positivos. pendiente. De manera comparable, si f prima de x es menor.
que cero para todo intervalo excelente, entonces f es decreciente en este intervalo. Esto se debe a que una.
derivada negativa significa la recta tangente. tiene pendiente negativa. Una prueba precisa de estos hechos se puede encontrar.
en el libro de texto, o en otro vídeo, decimos. que una función es cóncava hacia arriba en un intervalo.
de a a b.Si de manera casual, parece un recipiente que pudiera contener agua en ese intervalo. Más.
formalmente, la función es cóncava hacia arriba. en ese intervalo. Si todas las rectas tangentes de.
la función en ese intervalo, se encuentran debajo la gráfica de la función. La función es cóncava.
hacia abajo en el intervalo de a a b. De manera informal, parece una pelota al revés.
O más formalmente, la función es cóncava hacia abajo. Si todas las rectas tangentes están por encima de la gráfica de la función en un intervalo.
ejemplo, f es cóncava por aquí. Y otra vez por aquí. En la pieza de la izquierda, parece.
parte de una bola que podría contener agua. Entonces podemos decir que f es cóncava hacia arriba.
en los intervalos de dos a cuatro, y el intervalo de ocho a 11. f es cóncava hacia abajo en esta pieza,.
y en esta pieza y en esta pieza, por lo que podemos decir que f es cóncava hacia abajo en el intervalo.
de cero a dos, de cuatro a ocho, y de 11 a 12.

La concavidad de una función está.
relacionada disadvantage su segunda derivada. Aquí, donde la función es cóncava hacia arriba, su derivada.
va esencialmente de cero a valores positivos mayores. valores. Entonces la primera vía fue creciente, lo.
que significa que la segunda derivada es positiva. En esta sección del gráfico, que también es cóncava.
hacia arriba, el impulsado pasa de negativo valores a cero. Eso es un aumento en la primera.
derivada. Entonces eso significa el segundo La derivada aquí debe ser positiva. Y en esta.
pieza, de dónde va el guide término cero a valores positivos, la primera derivada también.
es creciente, por lo que la segunda derivada también es positivo.En las partes

de la función que.
boy cóncavas hacia abajo, podemos ver que en En este ejemplo, la segunda derivada es negativa. Aquí, la primera derivada va de positiva hacia cero, eso es una disminución en la primera.
derivada o una segunda derivada negativa. Aquí la primera derivada va de positiva a cero y luego.
Y en esta sección pasa lo mismo. En general, podemos utilizar la segunda derivada para.
predecir la concavidad de una función. El La prueba de concavidad dice que si la segunda derivada es.
positiva para todo x en un intervalo, entonces la función f es cóncava hacia arriba en ese intervalo. De manera similar, si la segunda derivada es negativa para todo x en el intervalo, entonces la función f es cóncava.
hacia abajo en ese intervalo. De una sola mano Recordar la prueba de la concavidad es que una segunda derivada.
positiva nos da una cara feliz. Entonces Se supone que la sonrisa es una función cóncava hacia arriba. Y una segunda derivada negativa nos da una cara triste donde la sonrisa o el ceño fruncido, supongo,.
es una función cóncava hacia abajo.A continuación, vamos hablar de puntos de inflexión. Una función tiene un.
punto de inflexión en x es igual a C, si es continua en C, y cambia de concavidad en C. En otras palabras, f tiene una inflexión punto en x es igual a C. Si f cambia de cóncavo hacia arriba.
a cóncavo hacia abajo en x es igual a C, o cambia De cóncavo hacia abajo a cóncavo hacia arriba. En este gráfico, si.
volvemos a dibujar las regiones de concavidad, obtenemos vea que F tiene un punto de inflexión en x es igual.
a dos, donde la función cambia de cóncava de abajo a cóncavo arriba en x es igual a cuatro,.
donde la función cambia de cóncava a cóncava abajo en x es igual a ocho, y nuevamente, en x es igual a.
11.

Dado que la concavidad, tiene que ver con la segunda Si la derivada es positiva o negativa, los puntos de inflexión.
ocurren donde la segunda derivada cambia de signo de positivo a negativo o de.
negativo a positivo. Y eso es exactamente lo que dice la prueba del punto de inflexión. Si.
f doble prima de x cambia de signo en x es igual a C, entonces f tiene un punto de inflexión.
en x es igual a C.Ahora, para cambiar de positivo a negativo o negativo positivo, f.
doble primo tiene que pasar por cero, o pasar por un punto donde no existe. Pero.
hay que tener cuidado, sólo porque f El doble primo es cero, no existe, no garantiza.
que necesariamente tengas un punto de inflexión, porque podría ser cero y.
seguir siendo positivo en ambos lados o negativo a ambos lados. Por ejemplo, si f de x es x elevado.
a la cuarta, entonces f prima de x es para x al cubo, y f doble primo de x es 12x al cuadrado. Entonces.
f doble primo en cero es ciertamente cero. Pero no hay ningún punto de inflexión en x es igual.
a cero. De hecho, la gráfica de f de x es igual x a la cuarta parece una cuadrática aplanada,.
por lo que no hay cambios en la calma cavidad, f es cóncava hacia arriba en ambos lados de.
La derivada puede decirnos dónde la función.
Y el segundo derivada, cambiar el signo de positivo a negativo. o negativo o positivo puede indicar nosotros donde tenemos puntos de inflexión.Dado que.

es mucho más fácil trabajar con líneas y más funciones complicadas, puede ser extremadamente útil.
aproximar una función cerca de un punto certain. valiance con su recta tangente. Esa es la concept central.
de este vídeo. Comencemos con un ejemplo. Supongamos que F de T es la temperatura en grados.
Fahrenheit en el momento t medida en horas, donde t es igual a cero representa la medianoche. Supongamos.
que f de seis es 60 grados y la derivada f prima de seis es tres grados por hora. ¿ Cuál.
es tu mejor estimación para la temperatura? ¿ a las 7 y a las 8? Pausa el vídeo por un.
momento para hacer tu estimación.La temperatura a las 6 am hay 60 grados. Entonces, la temperatura.
a las 7 am, que llamamos F de siete, es aproximadamente 60 grados. Pero podemos hacerlo mejor que esto. A las.
6 de la mañana la temperatura sube, de hecho, está aumentando a un ritmo de tres grados por hora. Si este ritmo de cambio continúa, entonces A las 7 de la mañana la temperatura habrá subido tres grados.
y alcanzará los 63 grados. Y a las 8 de la mañana, la temperatura habrá tenido dos horas.
para subir de 60 grados a un ritmo de tres grados por hora. Entonces f de ocho debería ser.
aproximadamente 60 grados más los tres grados por hora multiplicado por dos horas o 66 grados. Estas estimaciones.
utilizan toda la información que nos dan. tanto el valiance de la temperatura a las seis como.
su tasa de cambio.Veamos cuáles

child estos las estimaciones significan gráficamente, en términos de.
la anus tangente. Dibujaré un gráfico aproximado de temperatura. con el tiempo. Y también dibujaré la línea tangente.
en el punto seis. En el momento seis, la altura de la función y la recta tangente es igual a 60.
La recta tangente tiene pendiente. Entonces ese es un aumento de una.
racha de tres, lo que significa que a las siete en punto, que es una hora, después de las seis, la.
recta tangente ha subido tres grados. Y a las ocho, la tangente ha subido otros tres.
grados. Entonces a las siete en punto, nuestra tangente ha tenido 63 grados, y a las ocho.
en punto, nuestra tangente tiene altura 66 grados. Al hacer estas estimaciones aquí, en realidad.
estábamos usando la línea tangente para aproximar nuestra función. Nuestra función de temperatura actual.
puede estar aumentando más pronunciadamente que la línea tangente, o posiblemente podría estar subiendo.
menos pronunciado, como en esta imagen. Pero tampoco De esta manera, la anus tangente es una buena aproximación.
La idea de aproximar una función con su recta. Sea f de x cualquier función diferenciable y sea A un valor arbitrario de x. Supongamos que conocemos.
pequeño. Si no podemos calcular f de un delta más x directamente, podemos intentar aproximarlo usando la.
recta tangente. Sabemos que la recta tangente tiene pendiente.
dada por f prima de a.Y así cuando pasamos por un recorrido de delta x, la recta tangente sube por.
un aumento de f prima de A multiplicado por delta x. Entonces la altura de la recta tangente será f.
de a más f prima de A multiplicada por delta X. El principio de aproximación lineal dice que.
podemos aproximar nuestra función disadvantage nuestra recta tangente. En otras palabras, f de a más.
delta x es aproximadamente igual a f de a más f prima de un delta x. Recuerde que se supone.
que delta x es un número pequeño, porque Si te alejas demasiado de a, tus líneas tangentes.
ya no serán una buena aproximación de su función.

Así que ahora he demostrado lo malo teorema de valiance para integrales de dos maneras diferentes. Si f de x uno es mayor que f de f dos, siempre que x uno sea menor que x. dos.
De manera comparable, si f prima de x es menor.
Si todas las rectas tangentes están por encima de la gráfica de la función en un intervalo. Sea f de x cualquier función diferenciable y sea A un valiance arbitrario de x. Supongamos que conocemos.Pero qué tan pequeño es lo suficientemente
pequeño es una cuestión de criterio. A veces el El principio de aproximación se escribe disadvantage diferentes símbolos,
si hacemos que x sea igual a a más delta x, entonces x es un número cercano a a, entonces delta
x es x menos a.Y podemos reescribir la aproximación. principio, ya que f de x es aproximadamente f de a.
más f primo de A multiplicado por x menos a. La cantidad en el lado derecho aquí a veces se le conoce.
como l de x, y se le llama linealización de f en A. Esa es la linealización de f.
de a es l de x, que es igual a f de a más f primo de A multiplicado por x menos a. Entonces, el principio de aproximación.
también se puede escribir como f de x es aproximadamente igual a l de x. Miremos un.
poco más de cerca esta linealización. ecuación y qué tiene que ver disadvantage la recta tangente. Supongamos que intentáramos escribir la ecuación de la recta tangente en x es igual.
a, bueno, la ecuación de cualquier recta se puede dar en forma de pendiente puntual como y menos y cero.
La línea es simplemente f prima de a. Entonces podemos reescribir.
a f de a más f primo de A multiplicado por x menos a. Entonces, esta ecuación para la recta tangente es en realidad.
solo la ecuación que tenemos para la linealización. Pero la linealización es en realidad sólo una palabra.
elegante para la recta tangente.Hay mucha notación y definiciones en esta página. Pero sólo. hay un principio importante que necesitas recordar. Y esa es la idea de que puedes.
aproximar una función disadvantage su tangente. línea. Si puedes mantener esa idea y esta imagen.
Usemos el principio de aproximación. En un ejemplo, el principio de aproximación.
nos dice que f de a más delta x es aproximadamente igual a f de a más f primo de A multiplicado por delta.
x, necesitamos averiguar cuál debería ser f qué debería ser a y qué debería ser delta x. Ya que estamos tratando de encontrar el cuadrado. raíz de 59, tiene sentido hacer que nuestra función sea la.
función de raíz cuadrada.Para un, nos gustaría elegir algo que sea fácil de calcular f de.
a, bueno, ¿ cuál es el número cercano a 59? Me viene a la mente que es fácil calcular la raíz.
cuadrada de 64. Así que establezcamos un igual a 64. Como estamos intentando calcular la raíz cuadrada.
de 59, queremos que más delta x sea 59. En otras palabras, 64 más delta x es 59. Entonces.
delta x debería ser menos cinco, está bien. tener un número negativo para delta x. Ahora conectando.
con nuestra fórmula de aproximación, tenemos tener f de 59 es aproximadamente igual a f de.
64, más f prima de 64 por menos cinco. Dado que f de x es la raíz cuadrada de x, o en.
otras palabras, x elevado a la mitad, f prima de x será la mitad de x elevado a menos.
Puedo reescribir mi ecuación roja para decir. Déjame.
Nuestro delta x aquí es. cinco negativo y nos lleva a 59. Entonces Estamos usando el valiance de nuestra línea tangente. aquí mismo para aproximar nuestro cuadrado real.
función raíz aquí mismo. Como puedes ver en. la imagen, se parece a la línea tangente.
El valor debe ser ligeramente mayor que el valor real. Y de hecho, eso es lo que obtenemos. Entonces El siguiente ejemplo es muy comparable. Lo llamamos la. linealización de una función es solo la ecuación. por su recta tangente. Es decir, la linealización en a. es f de a más f prima de A multiplicada por x menos a.Y el principio de aproximación dice que f. de x,

la función es aproximadamente igual a su linealización. Su recta tangente, al menos cuando. x está cerca de a. Esto es básicamente la misma fórmula que usamos en el último problema,. esta vez simplemente llamamos a nuestro valor x de un más delta x. Dado que estamos
tratando de estimar el valiance. del seno de A, tiene sentido dejar que nuestro la función sea seno de x.Para a, queremos elegir. un número cercano a 33 grados, para lo cual es

fácil calcular el seno de ese número. Bueno,. el seno de 30 grados es fácil de calcular. Así que
hagamos un igual a 30 grados, pero pongámoslo. en radianes y llamémoslo pi partido por seis. En cálculo, casi siempre queremos usar radianes. para el seno y el coseno, especialmente al tomar derivados.
Dado que la fórmula derivada,. D seno x dx es igual al coseno de x solamente funciona cuando x está en radianes, nuestra x debe. Es decir, l de x es la mitad, ya que el seno de.
la recta tangente, o la linealización del seno. de x en pi sobre seis. Ahora sabemos que el seno.
de x es aproximadamente igual a linealización, siempre que x esté cerca de pi sobre seis.
En particular, el. seno de nuestros 33 grados en radianes, que es 11 pi partido por 60 es aproximadamente
igual a la mitad. más la raíz cuadrada de tres partido por dos multiplicado por 11 pi sobre 60 menos pi sobre seis.Eso se simplifica a la mitad más la raíz cuadrada. de tres partido por dos por pi partido por 60. Y ahora voy a hacer un poco de trampa y usar mi calculadora. para obtener un valiance decimal para esto de aproximadamente 0,5453. Ahora, si uso mi calculadora para.
Entonces puedes ver que nuestra aproximación usando.
la linealización está muy cerca de las calculadoras, valiance más preciso. Observe que en este ejemplo, el. valiance aproximado basado en la linealización es ligeramente exceptional al valor real. Y puedes.
ver por qué en una gráfica de seno. La recta tangente en pi sobre seis se encuentra ligeramente por. encima de la gráfica del seno x. Por lo tanto, la El valiance aproximado basado en la linealización. será ligeramente mayor que el valor genuine. de seno de 33 grados. En este video clip, utilizamos varias.
fórmulas para expresar una idea clave.Las fórmulas principales fueron el principio de aproximación,.
la aproximación lineal y la linealización. La idea clave es que una función diferenciable se.
puede aproximar cerca de un valiance x igual A por la recta tangente en x es igual a a. El diferencial es una nueva. palabra de vocabulario envuelta alrededor del concepto acquainted de aproximar una función con. su recta tangente. Esta cifra debería Parece familiar por el video clip anterior sobre aproximación. lineal, es la misma imagen. Suponer tenemos una función diferenciable, f de x, y. conocemos el valiance de f en algún valor de x a. Es decir, conocemos el valor de f cada
uno, pero no. conocemos el valiance de f en algún lugar cercano. x valiance a más delta x. Es decir, no conocemos f de un. delta más x. Entonces dibujamos la tangente.Línea a f de x en x es igual a a. Y usamos la
. recta tangente en más delta x como aproximación para la función en más delta x. Dado que la recta. tangente tiene pendiente de f prima de a, el aumento de una carrera es f primo de a.
Entonces, si esta. carrera aquí es delta x, este aumento tiene que ser f prima de A multiplicada por delta
x. Entonces, la altura. de la línea tangente aquí en un delta más x es va a ser f de a más f primo de A multiplicado por. delta x.Esa es solo la altura aquí más la altura extra aquí.
Y como estamos usando esa. Si resto F de A de ambos. Y. esta es una alteración muy leve del mismo.Entonces no hay nada nuevo todavía.
concepto. El diferencial dx es otra forma de escribir. delta x, puedes pensar en ello como un pequeño cambio en el valiance de x. El diferencial df. se define como f prima de x dx, o equivalentemente f prima de x delta x. A veces esto se escribe como. d y, pero d y simplemente significa lo mismo cosa aquí como df.A veces es útil especificar. el diferencial y agregar

un particular valiance de x, como un valor de x es igual a a, y esto. se escribe df es igual a f prima de a dx, o f prima de un delta x. Observe que el valiance de. a no es evidente cuando simplemente escribe d f, o d y. Finalmente, el cambio en f, que se escribe delta.
f, se specify como f de x más delta x menos f de x para algún valiance de x, por ejemplo, f.
de a más delta x menos f de a, esto puede también se escribe como el cambio en y. Usando estas.
nuevas definiciones, ahora podemos reescribir nuestro principio de aproximación es decir, delta.
f es aproximadamente igual a d f, el cambio en la función es aproximadamente igual al curso.
diferencial, esto también podría ser escrito como el cambio en Y es aproximadamente.
igual a d y.En la imagen ahora podemos escribir d x para el recorrido, y D, F, para el ascenso.
de la recta tangente. Pausa el vídeo y toma un momento para encontrar delta f en esta imagen,.
aunque delta f es f de a más delta x menos f de a, entonces esa es esta altura aquí. Lo escribiré.
como delta f o delta y. Entonces la aproximación principio, escrito en notación diferencial, es simplemente.
decir que el aumento de la función, delta f se aproxima por el aumento de la recta.
tangente df. Usemos el diferencial y un ejemplo. Para la función f de x igual a x multiplicado.
Sabemos que df es igual a f prima de x dx. Y f prima de x por la regla del producto es igual a x multiplicado por la derivada de ln x,.
que es uno partido por x más la derivada de x, que es uno por ln x. En otras palabras, uno.
más ln x. Por lo tanto, df es igual a uno más ln x por dx. Cuando x es igual a dos y delta.
x es igual a punto negativo tres, bueno delta x es lo mismo que dx, podemos simplemente ingresar.
esos valores y obtener df es uno más En dos veces negativo 0,3.

Como decimal, eso es.
aproximadamente negativo 0,5079. Ahora delta f se define como f de x más delta x menos.
f de x. Entonces, para nuestra función, eso es x más delta x multiplicado por ln de x más delta.
x menos x ln x. Conectando los valores dados para x y delta x, obtenemos que delta f es dos menos.
0,3 veces ln de dos menos 0,3 menos dos ln dos, que según mi calculadora es cero negativo. Punto 4842. Y vemos que el cambio en la función entre dos y dos menos el.
punto tres se aproxima mucho por la cambio en la recta tangente. Como se esperaba. El diferencial.
se utiliza a menudo para estimar el mistake, Como en este ejemplo, supongamos que el radio.
de una esfera se mide como ocho centímetros.Con un posible mistake de punto cinco centímetros. Entonces la esfera que medimos parece algo así, pero la esfera real podría ser un poco. más grande o un poco más pequeña, queremos utilizar el diferencial para estimar el error resultante. al calcular el volumen de la esfera. Bueno, el volumen de una esfera viene dado por cuatro. tercios pi r al cubo,
donde r es el radio. Si nuestro radio cambia en punto cinco centímetros,. nuestro volumen cambiará sustancialmente más. Y ese cambio de volumen es el mistake resultante. al medir el volumen.Pero en lugar de calcular delta V directamente,

se nos pide que. lo aproximaremos usando el diferencial.
Entonces usaremos el hecho de que delta V es aproximadamente. igual a dv, lo cual es más fácil
computar. Por definición, dv es igual a la derivada de nuestra. función, simplemente la llamaré v prima
en función de r multiplicado por Dr. Ahora, v prima de. r es igual a cuatro pi r al cuadrado, simplemente por tomando la derivada. Y aquí estamos interesados en. un valiance R de ocho y un valiance del Dr. Igual que delta r de 0,5 centímetros. Entonces. dv va a ser cuatro pi r al cuadrado Dr.
Y cuando Conecto R y D R, obtengo cuatro pi multiplicado por ocho al cuadrado. multiplicado por 0,5, que es 128 pi, o como un decimal 402,1 centímetros.Ésa es nuestra estimación. de mistake, que parece bastante mayor que nuestro mistake initial del punto cinco al medir el.
radio. Ahora, el mistake relativo de una función. es su mistake sobre el valor original de la función. Entonces en nuestro caso, es el cambio. en volumen sobre el volumen real. Como en su lugar. estamos usando el diferencial, calcularemos el error relativo como dv sobre V. Ahora, el volumen.
cuando r es ocho centímetros, es cuatro tercios por pi por ocho al cubo. Y dv, ya vimos.
que age cuatro pi por ocho al cuadrado. veces 0,5. Entonces dv dividido por V viene dado por.
esta relación, que se simplifica a 0,1875. Entonces un 18,75% relativo allí.
Para mí, el mistake. Y delta f es el aumento en la función actual. En el lenguaje de los diferenciales,.
En el En el pasado, hemos encontrado límites, como el límite cuando. No podemos evaluar este límite simplemente.
reemplazando dos por x, porque x menos dos va a cero, y x al cuadrado menos cuatro va.
a cero cuando x va a dos.Esto es conocido como una forma indeterminada de cero sobre cero. Se.
llama indeterminado porque no podemos decirlo. cuál será el límite simplemente por el.
hecho de que el numerador llega a cero y el el denominador va a cero. Depende de qué tan rápido.
sean el numerador y el denominador. yendo a cero en comparación entre sí. Y el límite.
last del cociente podría ser cualquier número alguno, o podría ser infinito o ni siquiera.
podría existir. En el pasado, hemos He podido evaluar algunos límites en forma indeterminada.
cero sobre cero mediante el uso de métodos algebraicos. trucos para reescribir los cocientes. En este vídeo,.
presentaremos la regla de lopi talls, que es una técnica muy poderosa para evaluar límites y.
formas indeterminadas. Un limitado de los formar el límite cuando x va a a de f de x sobre.
g de x se llama cero sobre cero indeterminado forma, si el límite cuando x va a a de f de.
Si el límite cuando x llega.
a a de f de x es igual a infinito o menos infinidad. Y el límite cuando x llega a a de.
g de x es igual a infinito o menos infinito. Vimos un ejemplo de una forma indeterminada de cero sobre cero.
en la diapositiva introductoria. Un ejemplo de infinito sobre infinito y forma determinante.
es el límite cuando x llega a infinito de 3x al cuadrado menos 2x más siete.
dividido por menos 2x al cuadrado más 16.

Aviso que cuando x va al infinito, el numerador va al infinito.
mientras que el denominador va al infinito al infinito negativo. En estas definiciones.
de forma indeterminada, es posible que una ser infinito negativo o infinito, como.
es en este ejemplo, pero no tiene estar loco. La regla de talles se puede aplicar cuando.
f y g son funciones diferenciables. Y la derivada de g es distinta de cero en algún intervalo.
abierto alrededor de a, excepto posiblemente en a bajo estas condiciones, si el límite cuando x va a a.
de f de x sobre g de x es cero sobre cero o infinito sobre infinito forma indeterminada que.
el límite cuando x va a a de f de x sobre g de x es lo mismo que el límite cuando x llega.
a a de f prima de x sobre g prima de x, siempre que exista el segundo límite,.
Entonces tenemos un infinito sobre el infinito de forma indeterminada. Así que intentemos. aplicar la regla de los mosaicos lopi, nuestra original. el límite debe ser igual al límite cuando x. llega al infinito de la derivada del numerador, que es uno dividido por la derivada del. denominador, que es ln de tres veces tres elevado a la x, siempre que exista el segundo. límite o como infinito o infinito negativo. En el segundo límite, los numeradores simplemente se. fijaron en uno. Y el nominador va al infinito. cuando x tiende al infinito. Por tanto, el segundo límite. es simplemente cero.
Y entonces el límite initial también se evalúa a cero. En este ejemplo, tenemos.
del numerador y la derivada del denominador, la derivada del seno x menos x.
es el coseno de x menos uno, y la derivada del seno x al cubo es tres por el seno x al cuadrado por.
el coseno x usando la regla de la cadena. Ahora deja Intento evaluar el límite nuevamente, cuando x llega.
a cero, el coseno de x llega a uno. Entonces el numerador aquí va a cero. Cuando x va a cero, el seno.
de x va a cero y el coseno de x va a uno, por lo que el denominador también llega a cero. Entonces todavía tengo un cero sobre cero indeterminado forma.Y también podría intentar aplicar la regla del lanzamiento. loco nuevamente.
Pero antes de hacerlo, quiero Señale que el coseno de x va a uno. Entonces. Y de hecho, podría reescribir mi límite.
Ahora aplica lopatok regla sobre este primer límite, que es un poco. más fácil de tomar las derivadas y así la derivada de la cima es menos seno x. Y la.
derivada de la parte substandard es seis veces. seno x por coseno x.

Es decir, l de x es la mitad, ya que el seno de. Suponer tenemos una función diferenciable, f de x, y. conocemos el valiance de f en algún valiance de x a. Es decir, conocemos el valiance de f cada
uno, pero no. Si resto F de A de ambos. Y f prima de x por la regla del producto es igual a x multiplicado por la derivada de ln x,.
Pero antes de hacerlo, quiero Señale que el coseno de x va a uno.Ahora intentemos evaluar nuevamente,
cuando x llega a cero, nuestro numerador es va a cero, y nuestro denominador también
va a cero. Pero espera, no tenemos aplicar nuevamente la regla de las toallas del vestíbulo,
porque en realidad podemos simplificar nuestra expresión, el seno x en la parte premium se cancela con el seno x en la
parte inferior.Y podemos simplemente reescribir nuestro límite como el límite de menos uno sobre seis coseno de x, que se evalúa fácilmente como negativo uno, seis. En este ejemplo, quiero enfatizar que es una buena idea simplificar después de cada aplicación. de la regla de lopi talls. Si no simplifica, como hicimos nosotros aquí, entonces podría verse tentado aplicar la regla de las toallas locas y tiempo adicional cuando no sea necesario, lo que podría hacer que El problema es más complicado.En lugar de ser más sencillo de resolver con este vídeo, pudimos evaluar cero sobre cero e infinito sobre infinito formas indeterminadas reemplazando el límite de f de x sobre g de x con el límite de f.
prima de x sobre g prima de x, siempre que existe un segundo límite. Este truco se conoce como.
regla de lopi tels. Hemos visto esa regla lopatok se puede utilizar para evaluar límites de la forma.
cero sobre cero o infinito sobre infinito.En este video

, continuaremos usando la regla de las.
toallas lopi para evaluar indeterminados adicionales. formas, como cero por infinito, infinito.
por 00 por cero y uno por infinito. En este ejemplo, queremos evaluar el límite de un.
producto. Observe que cuando x tiende a cero desde el lado positivo, el seno x va a cero.
y ln x va al infinito negativo. Recordar la gráfica de y es igual a ln x. Entonces esta es en realidad.
una forma indeterminada de cero veces infinito. Aunque el segundo element va a infinito.
negativo, todavía lo llamamos cero veces infinito y forma indeterminada, puedes.
pensar que el Infinito aquí está para infinito positivo o negativo. Es.
indeterminado. Porque cuando x va a cero, el aspect seno x está empujando el producto hacia.
cero, mientras que el factor ln x está tirando el producto hacia grandes números negativos.Y es.

difícil predecir cuál será el límite de el producto realmente será. Pero lo mejor.
es que puedo reescribir este producto. parecerse a un infinito sobre infinito y forma.
determinante, o un cero sobre cero y forma determinante. En lugar de seno x multiplicado por.
ln x, puedo reescribir el límite como ln x dividido por uno sobre el seno x. Ahora, cuando x llega.
a cero, mi numerador irá a infinito negativo. Y como el seno x va a cero mediante números.
positivos, mi denominador uno sobre El seno x va hacia el infinito positivo. Entonces.
tengo un infinito sobre infinito indeterminado. forma. Ahora, podría optar por dejar el.
seno x en el numerador y, en su lugar, pon uno sobre ln x en el denominador. Si hago esto,.
entonces cuando x llega a cero a través de números positivos, el seno x tiende a cero.Y.

como ln x tiende a infinito negativo, uno sobre ln x tiende a cero. Y entonces tengo una forma.
indeterminada de cero sobre cero. A veces eso Puede resultar difícil decidir cuál de estas dos.
formas de reescribir un producto como cociente. Una regla basic es tomar la versión que.
haga más fácil tomar la derivada de el numerador y el denominador. Otro truco es simplemente.
probar una de las formas y si Quédate atascado, regresa y prueba el otro. Voy.
a utilizar el guide método de reescritura. porque reconozco que uno sobre el seno de x se.
puede escribir como cosecante de x. Y yo sé cómo tomar la derivada de la cosecante x. Usando.
la regla baja de los Beatles en este infinito infinito y forma determinante, puedo reescribir mi límite.
como el límite de lo que obtengo cuando tomar la derivada del numerador, es decir, siempre.
que x se divida por la derivada del denominador, eso es cosecante x cotangente x negativa. Como siempre, quiero simplificar mi expresión.Antes de seguir adelante. Puedo reescribir mis funciones. trigonométricas en el denominador en términos de seno y coseno. cosecante x es uno sobre el seno. x cotangente x es el coseno de x sobre el seno de x. Ahora, volteando y multiplicando, obtengo.
el límite cuando x llega a cero más uno sobre x por el seno al cuadrado de x sobre el coseno negativo.
de x. En otras palabras, el límite de negativo seno al cuadrado x sobre x coseno x, sabemos que el coseno de x tiende a uno cuando x tiende.
a cero. Entonces puedo reescribir esto como el límite del seno negativo al cuadrado de x sobre x veces.
el límite de algo que va a uno. Entonces Una vez más tengo una forma indeterminada de cero sobre cero. Y puedo aplicar la regla lopatok una vez más, tomando la derivada de la cima, obtengo menos dos,.
seno de x, coseno de x.Y el trabajo del el fondo es solo uno. Ahora estoy en una buena posición.
para evaluar el límite conectando cero para x en el numerador, obtengo negativo.
dos por cero por uno, el denominador es solo uno, por lo que mi límite last es cero. En.
este límite, tenemos una batalla de fuerzas. Como x va al infinito, uno sobre x va a cero. Entonces uno más uno sobre x va a uno, pero el exponente x va al infinito, es.
difícil saber qué va a pasar aquí. Si tuviéramos uno, para cualquier número finito,.
sería uno.Pero algo

un poco más grande de uno, a medida que lo elevamos a potencias cada vez mayores,.
esperaríamos obtener infinito. Entonces nuestro límite tiene una forma permanente independiente,.
es difícil saber si la respuesta va ser un infinito, o tal vez algo intermedio. Cada vez que veo una expresión disadvantage una variable en la base y una variable en el exponente,.
me siento tentado a usar logaritmos. Si igualamos y a uno más uno sobre x elevado a x,.
entonces si tomo el logaritmo all-natural de ambos lados, puedo usar mis functions de registro para reescribir.
Uno más uno sobre x es solo uno y ln uno.
Entonces tenemos un infinito multiplicado por cero en forma indeterminada, que podemos.
intentar reescribir como un infinito sobre infinito, o una forma indeterminada de cero sobre cero. Reescribamos.
Así que nosotros Puedes usar la regla de los mosaicos lobi y tomar la derivada. Y la derivada abajo, la derivada de uno sobre x es menos uno sobre x al cuadrado, en.
En otras palabras, E. Entonces encontramos. que nuestro límite original es igual a E. Y de hecho, puedes reconocer que este límite. es una de las formas de definir IE.
En el ejemplo former, teníamos un uno para. Web Today en forma determinante, y tomó registros y usó duties de registro para escribir eso. Los ceros de una función pueden También puede considerarse como las intersecciones x de su.
gráfica. Supongamos que queremos encontrar una solución. a la ecuación o la x es igual a 4x. Esta ecuación no.
se puede resolver usando métodos algebraicos estándar. métodos. Por ejemplo, tomar el ln de ambos.
lados realmente no ayuda porque todavía obtener x es igual a ln de 4x, lo cual es igual de difícil de.
En lugar de ello, podemos buscar datos aproximados. Mirando la gráfica de y es igual a e.
elevado a x e y es igual a 4x, vemos que debería Habrá dos soluciones, una en aproximadamente x es igual.
a poco más de dos y la otra alrededor x es igual quizás al punto tres o al punto cuatro. El método de Newton nos permitirá ganar mucho aproximaciones más precisas a la solución de esta ecuación,.
entonces podemos hacerlo disadvantage solo echar un vistazo en el gráfico.Para usar el método

de Newton, en lugar. de mirar la ecuación
, e elevado a x es igual 4x. Veremos la ecuación E a la X menos.
4x es igual a cero. Y de hecho, definiremos la función f de x es e elevado a x menos.
4x. Y busca ceros de esa función. Después En definitiva, encontrar un cero de esta función es lo mismo.
que encontrar una solución a nuestra función original.Ecuación.

Entonces ahora estamos tratando de resolver.
el problema equivalente de encontrar el cero de la función f de x es igual a e elevado a x menos 4x. Esa es la función que se dibuja a continuación. Me voy a centrar en este cero, el que está.
cerca, y sólo voy a hacer una inicial Supongo que cualquier valiance razonablemente cercano al cero genuine debería.
Adivina aquí y lo llamaré x uno. Ahora x.
uno no es en realidad cero de mi función, y escribiré el punto en el gráfico de arriba como.
x uno, f de x uno. Para obtener una mejor estimación para el cero de mi función, voy a hacer.
uso de la recta tangente a mi función que pasa por este punto. Entonces el segundo paso.
será encontrar esta anus tangente. Desde la recta tangente es una aproximación razonablemente buena.
a la función, el punto donde la tangente La línea que cruza el eje x debe estar más.
cerca del punto donde se cruza la función.El eje x, que es el punto que estoy buscando. Entonces el tercer paso será encontrar el intercepto x para la recta tangente. Llamaré a. esto x interceptar, x dos. ahora solo me voy para repetir este proceso. Usaré x dos como mi.
próxima suposición. Lo seguiré hasta la función. donde tengo el punto x a f de x dos, y luego dibujaré.
una nueva línea tangente y obtendré una nueva intercepción. Puedo repetir este proceso tantas.
veces como sea necesario para obtener una suficiente aproximación precisa a mi cero genuine de mi.
función. Ahora que he descrito el proceso Gráficamente, encontremos algunas ecuaciones.
que acompañan a esta imagen. si empiezo disadvantage la suposición inicial, de x uno, luego la recta tangente.
que pasa por x uno, f de x uno está dada por el x bayesiano y es igual a f de x uno más.
f primo de x uno por x menos x uno.Quizás recuerdes esta ecuación de una sección sobre. linealización.
Y realmente simplemente llega de la fórmula y menos y uno es igual a m x menos.
x uno que se cumple para cualquier línea, donde m aquí es la derivada en x uno, y y uno es.
f de x uno. conectando disadvantage esa ecuación, tenemos y menos f de x uno es igual a f prima.
de x uno por x menos x uno, lo que simplifica a y es igual a f de x uno más f primo de x uno multiplicado.
por x menos x uno. Entonces ahí es donde esto De donde proviene la ecuación de linealización. Es solo.
la ecuación de la recta tangente. Ahora si queremos encontrar la intersección x de la recta tangente,.
acabamos de decir la ecuación de la recta tangente es igual a ceros,.
tenemos cero es igual a f de x uno más f primo de x uno por x menos x uno, y resolvemos para.
x.Entonces esto puede restar f de x uno de cada lado, dividido por f primo de x uno y resolver.
para x. A esta nueva intercepción x la llamaremos x dos. Entonces x dos es x uno menos f de x uno sobre.
f primo de x uno. Ahora tenemos nuestro segundo adivina, x dos, y nuevamente podemos encontrar la recta tangente.
que pasa por x dos, f de x dos, esa tangente La línea estará dada por el mismo tipo de ecuación. Y.
si luego encontramos la intercepción x, lo mismo pasos algebraicos, llegamos a la ecuación análoga x.
tres es igual a x dos menos f de x dos sobre f prima de x dos.Y de manera más general, a medida.
que repetimos este proceso una y otra vez, nuestra n más una suposición estará dada por x n más.
uno es igual a x n menos f de x n sobre f prima de x n. Ésa es la ecuación J en el centro.
del método de Newton. Ahora que tenemos Una vez analizada la teoría, analicemos el problema que nos.
ocupa con algunos números. Nuestra función tiene la ecuación f de x es igual a e elevado a x menos 4x. Entonces f prima de x es e elevado a x menos cuatro. Entonces, de la ecuación del método de Newton, tenemos.
en general, X below n más uno es X below n menos e elevado a x below n menos cuatro por X below n sobre.
e elevado a x sub n menos cuatro. Empecemos con por ejemplo, x below uno es igual a tres,.
entonces x sub dos va a ser tres menos e al cubo menos cuatro por tres sobre e al cubo menos.
Ahora, para calcular el cubo x sub tres, tengo que tome este número entero y conéctelo a mi. Lo he escrito como solo 2,49.
Pero para mayor precisión, cuando calculé mi. calculadora, usaré el número completo. mi calculadora me da esta respuesta para x. de tres y sigo en este proceso, puedo obtenga x de 4x 5x below seis. Si calculo uno más,. x de siete, noto que no tengo cambio a mi valiance en el número de dígitos que escupe. la calculadora.Así que en este punto, mi Las iteraciones del método de Newton han convergido. Y tengo una respuesta que es precisa aproximadamente ocho decimales. Encontré un cero para mi. función. Y si quisiera encontrar el segundo cero, el de aquí, solo necesitaría comenzar. con un valor inicial cercano para esta coordenada x, quizás un valor inicial de. cero podría ser bueno. En este vídeo desarrollamos un algoritmo
para obtener aproximaciones cada vez. más precisas al cero de una función.La ecuación main que utilizamos fue ésta que. nos dice cómo llegar a partir de una aproximación, X sub n al siguiente 1x below n más uno. Cuando pasamos. de una función, digamos 3x más seno x a su derivada, en este caso, tres más. coseno x, eso se llama derivar, o encontrar una
derivada. Antidiferenciar, o. encontrar una antiderivada, nos lleva al otra dirección, de una derivada a una función.
que tiene esa como derivada. Por ejemplo, si g prima de x es 3x al cuadrado,.
esa es la derivada. ¿ Qué podría g de x el función initial ser? Bueno, g de x podría ser.
x al cubo, ya que la derivada de x al cubo es 3x al cuadrado. O también podría ser g de x igual.
a x al cubo más siete, por ejemplo, o g de x es igual a x al cubo más cualquier constante, donde.
escribo una constante basic disadvantage C mayúscula.Esto se debe a que la

derivada de un cero constante,. por lo que la derivada de x al cubo más a La constante será simplemente 3x al cuadrado, sin. importar cuál sea la constante.
Un funding funcional F de X se llama antiderivada de F minúscula. de X en un intervalo a,
b, si la derivada, F resources prima de X es igual a F minúscula. de X en ese intervalo a b. En otras palabras, Podemos pensar en la pequeña f como la derivada de.
la función funding F. En el ejemplo former, x al cubo es una antiderivada de 3x al cuadrado. Y de.
hecho, x al cubo más C para cualquier constante C también es una antiderivada de 3x al cuadrado. Cuando agregamos una constancia general, eso es a veces denominado antiderivado general, encontramos.
una familia general de antiderivados para la función 3x al cuadrado.

¿ Pero podría.
haber otras antiderivadas, otras funciones? cuya derivada es 3x al cuadrado. De hecho,.
no hay otros. Y una forma de pensar Esto intuitivamente es que si tienes dos funciones.
con la misma derivada, es como tener dos corredores en una carrera que siempre aceleran.
y desaceleran exactamente al mismo tiempo. Si uno de esos corredores comienza delante del otro, entonces.
la distancia entre ellos siempre será sigue exactamente igual. Esa es la distancia upright.
dibujada aquí en el gráfico. Y eso es la constante C, que separa una primitiva y es igual.
a x al cubo de otra y es igual a x al cubo más C.Y en general, si la F mayúscula de X.
es una antiderivada de una f pequeña de x, entonces todas las demás antiderivadas se pueden escribir.
en la forma F mayúscula de x más C para algunos constancia. Una justificación más rigurosa de este.
hecho se puede demostrar utilizando el valor medio teorema, como lo haré en un video clip separado. Si.
conoces las derivadas de algún estándar. funciones, entonces es bastante fácil obtener algunos.
antiderivados.Por ejemplo, la antiderivada de uno es x. Dado que la derivada de x es uno,. si queremos convertirla en una
primitiva general, podemos sumar una constante C, la antiderivada de. x es x al cuadrado sobre dos porque cuando toma la derivada de x al cuadrado sobre dos, los dos. que saqué hacia abajo y los multiplicas cancelan con
los dos en el denominador, dejándome x. Nuevamente,. puedo hacer de esto una antiderivada más general. agregando una constante C. De manera más general,. la antiderivada de x ante n para cualquiera y eso
es no igual a menos uno está dado por x a n. más uno dividido por n más uno más una constante C.Puedo comprobar esto tomando la. derivada de x elevado a n más uno sobre n

más uno. La n aquí es solo una constante. Entonces, usando la. regla de la potencia, obtengo n más uno por x para el n dividido por n más uno que da x. al n, que es lo que quiero. Podemos Piense en esta regla como la regla de poder para la antidiferenciación,. ya que está estrechamente relacionada a la regla de potencia para diferenciar.
Ahora bien,. esta regla no se aplica cuando n es igual a negativo uno.Observe que estaríamos dividiendo por cero.
si n fuera negativo uno, pero podemos manejar la caso cuando n es igual a menos uno por separado,. ya que x al negativo es uno de nuestros x, reconocemos que la antiderivada de uno de.
nuestros x es justamente ln del valiance absoluto de x más C. Dado que la derivada de ln del valiance. absoluto de x es uno partido por x, por support pausa el vídeo y mira cuántos antiderivados. más puedes completar en esta tabla.Deberías obtener todas estas fórmulas basadas. en fórmulas análogas para diferenciar, observe que la antiderivada del seno x es el coseno. x negativo, no el coseno x, porque el La derivada del coseno x es el seno negativo x. Si tengo. una constante multiplicada por x elevado a n, soy Voy a llamar a la constante a en lugar de C,. ya que ya tengo algunas C flotando por ahí.

Los ceros de una función pueden También puede considerarse como las intersecciones x de su.
Ahora x.
uno no es en realidad cero de mi función, y escribiré el punto en el gráfico de arriba como.
Entonces ahí es donde esto De donde proviene la ecuación de linealización. Entonces, de la ecuación del método de Newton, tenemos.
Un resources funcional F de X se llama antiderivada de F minúscula.Si quiero la primitiva de A multiplicada por x.
elevado a n, eso será simplemente a veces la antiderivada de x elevado a n, que es x elevado.
a n más uno sobre n más uno más a constante digo que es porque cuando tomo la derivada.
de una constante multiplicada por una función, Puedo simplemente sacar la constante.De manera más

basic, la antiderivada.
de una constante A multiplicada por cualquier función, la pequeña f de x va a ser igual a A multiplicada.
por la antiderivada de la pequeña f de x, que denotaré con F mayúscula de X, más.
una constante C. La antiderivada de f de x más g de x es funding F de X, más resources.
G de x más c, donde capital F y funding G kid la antiderivada de la F minúscula y la.
J minúscula. Esto se debe a que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.Usemos.

esta información para calcular el antiderivada para f de x es igual a cinco partido por.
uno más x al cuadrado menos uno partido por dos la raíz cuadrada de x. Primero, voy a reescribir.
f de x como cinco veces uno sobre uno. más x al cuadrado menos la mitad por x elevado.
a menos la mitad. Sé que la antiderivada de uno sobre uno más x al cuadrado es arcotangente.
de x. Y por la regla del poder para la antidiferenciación la antiderivada de x al menos la mitad, la obtengo.
elevando el exponente en uno, negativo un medio más uno es un medio positivo, y luego.
dividir por el nuevo exponente por mi constante reglas de multiplicación, puedo simplemente multiplicar.
por mis constantes. Y esa es mi antiderivada F mayúscula de X, tengo que recordar el más.
C para la antiderivada general, puedo Simplifique un poco cancelando estas mitades. Y obtengo una respuesta last de cinco veces.Arco tan de x

menos un cuadrado de x más.
C. En este video, presentamos antiderivadas y construir una tabla de antiderivados basada en nuestro.
conocimiento de los derivados. En este video, Resolveremos problemas en los que se nos da una.
ecuación para la derivada de la función. Y nos dan una condición inicial, algo así como.
f de uno es igual a siete. Y tenemos que Encuentre la función f de x. En este guide ejemplo, supongamos.
que g primo de x es e elevado a x menos tres veces seno x. y g de dos pi es cinco, necesitamos.
encontrar g de x. Bueno, g de x es una antiderivada de e elevado a x menos tres seno x. Entonces g de.
x es de la forma e elevado a x más tres cosenos de x más una constante C. Eso se debe a.
que la derivada de e a x es e a x, la la derivada del coseno x es menos el seno x, y la.
C que hace que esta condición inicial se cumpla. Como el coseno de. Entonces mi función g de x es igual a x más.
tres coseno x más dos menos e para los dos pi. En este ejemplo, se nos da la.
segunda derivada de f. Y nos dan dos condiciones iniciales, f de uno es cero y f.
de cero es dos.Para empezar,

voy a reescribir f doble primo de.
x en una forma más manejable. distribuyendo, Obtengo la raíz cuadrada de x por x menos la raíz.
cuadrada de x sobre x. y reescribiendo con exponentes, obtenemos x elevado a las tres mitades menos.
x elevado a menos la mitad. A continuación voy a encuentre f prima de x, que es la antiderivada de f.
doble prima de x. Entonces f prima de x, usando la regla de potencia para antiderivadas, elevé el exponente.
de tres mitades por uno para obtener cinco mitades y luego divida por el nuevo exponente cinco.
mitades. Del mismo modo, planteé negativos la mitad por uno para obtener la mitad y dividir.
por el nuevo exponente la mitad. Y agregaré a simple view, permítanme simplificar un poco aquí,.
en lugar de dividir por cinco mitades, multiplica por dos quintos, y en lugar de dividir por.
Entonces ahora tengo dos quintos por x para las siete mitades sobre siete mitades menos dos. Y ahora mi segunda condición dice que f de uno es igual a cero. Entonces al conectar uno para x, obtengo 430 quintos menos cuatro tercios más c más dos, y eso.
tiene que ser igual a cero, lo que significa que c es menos dos, menos 430 quintos, más cuatro.
tercios, lo que se simplifica a menos 80 a 100 y quintos.Si reemplazamos

eso para C, obtenemos. una respuesta final para f de x. Y eso termina el problema. En este ejemplo last, no se nos.
dan ninguna ecuación, por lo que tenemos para inventarlos nosotros mismos, nos dicen que estamos.
parados al borde de un acantilado, en la altura 30 cities, lanzando un tomate al aire a una.
Luego, el tomate cae al suelo debido a la gravedad. Y queremos saber cuánto tiempo dura toma y cuál es su velocidad en el momento del impacto. Sabemos que la aceleración debida a la gravedad.
estamos trabajando en unidades métricas. lo comparable La cifra, si trabajamos en unidades de pies,.
es menos 32 pies por segundo al cuadrado. El El signo negativo se debe a que la gravedad atrae.
los objetos hacia el suelo en sentido negativo. dirección. También nos dan la condición inicial, que la.
Y nos dicen que la posición inicial s de cero es 30 cities. Así que comencemos trick la ecuación que La aceleración es negativa 9,8. S doble primo de t es menos 9,8.
Por lo tanto, S primo de t es negativo 9,8 t más un c constante. Y desde mi condición inicial sobre velocidad, sé que s prima de cero es 20. En. otras palabras, S prima de cero es negativa 9,8 por cero más c uno que tiene que ser igual a. 20. Lo que significa que c uno es igual a 20. Sustituyendo C por uno en 20, puedo reescribir s. primo de t. Ahora puedo encontrar f de t, la primitiva. de S prima. Y eso será negativo 9,8 por t al.
cuadrado partido entre dos más 20 t más una segunda constante C dos. Usando mi segunda condición inicial, f de cero es.
igual a 30. Puedo reemplazar cero por t y obtener una expresión que es igual a 30. Dado que todos los términos.
desaparecen, además de los dos C, eso indica Para mí, C dos es 30.

Entonces puedo encontrar la.
Ahora quiero saber cuánto tiempo le toma al.
tomate llegar al suelo. Así que eso va ser el momento en que s de t es igual a cero.
cero a mi expresión para S de t, I Puedo usar la fórmula cuadrática para resolver.
t, y obtengo que t es aproximadamente negativo 1,17 o 5,25. El tiempo negativo no tiene sentido.
Ahora para encontrar. En otras palabras,.
entonces es primo de 5,25, es 9,8 por 5,25, más 20, lo que se.
simplifica a menos 31,45 cities por segundo, probablemente suficiente para aplastar el tomate. Y eso.
es todo por este vídeo sobre cómo encontrar anti derivados utilizando condiciones iniciales. En este.
video, usaré el teorema del valor medio para Demuestre que la primitiva cero tiene que ser una.
constante. Y luego dos antiderivados cualesquiera de la misma función tienen que diferir en una constante. En un vídeo anterior, dije el hecho de que si f de x es una antiderivada de una función, poco.
f de x, que cualquier otra antiderivada de esa misma función se puede escribir en la forma.
F mayúscula de x más C para alguna constante C.En otras palabras, dos primitivas cualesquiera.
de la misma función deben diferir en una constante. Para probar este hecho, observemos primero que.
si la derivada de una función, g prima de x es igual a cero en un intervalo que la función.
initial, g de x debe ser igual a C para alguna constante C. Esta afirmación se deriva del.
teorema del valiance medio, porque el valiance medio El teorema nos dice que para cualquier x uno y x.
dos en nuestro intervalo, la tasa de cambio promedio entre x uno y x dos es igual a la derivada en.
algún número x tres entre x uno y x dos.Pero por supuesto, g primo es cero en todas.
partes del intervalo, por lo que g primo de x tres debe ser igual a cero. Esto significa que.
nuestro numerador, g de x, quiere menos g de x uno tiene que ser igual a cero. En otras palabras,.
g de x dos es igual a g de x uno, pero eso es cierto para cualquier x uno y x dos. Entonces todos los valores.
de G boy iguales y G debe ser una constante. La segunda observación que quiero hacer es.
que si G uno y G dos boy dos funciones, que tienen la misma derivada, entonces g uno de x.
debe ser igual a g dos de x más C para algún constante C. Esta afirmación se deriva de.
la anterior, porque si G es un primo de x es igual a g dos primos de x, entonces g.
un primo de x menos g dos primos de x debe igual a cero. Pero eso significa que si miro la.
función g uno de x menos g dos de x, y tomar su derivada, que tiene que ser igual a cero,.
ya que la derivada La diferencia es la diferencia de las derivadas.Ahora nuestra afirmación. former nos dice que si la derivada de una función es cero, la función debe ser una. constante y, por lo tanto, g uno de x menos g dos de x es igual a C para alguna constante C, lo que. significa que g uno de x es igual a g dos de x más C, que es lo que queríamos demostrar. Entonces. hemos demostrado que dos funciones cualesquiera disadvantage la misma derivada tiene que diferir en una constante o. en otras palabras, si el funding F de X es
uno antiderivada de una función que cualquier otra. antiderivada debe ser de la forma mayúscula F de x más C. Esto concluye la prueba de que dos. antiderivadas cualesquiera de una función particular debe diferir por una constante. Este video revisará. la notación sumatoria,
es decir, la sigma.Notación utilizada para escribir una canción. En esta expresión, usando la letra mayúscula. griega sigma, la letra I se llama índice. El número uno se llama límite inferior. de suma o índice inicial.
Y el El número cinco se llama límite exceptional de suma,. o índice last, evaluamos esta expresión. sumando el I, para todos los valores de i comenzando. desde uno y terminando en cinco y pasando por los números enteros. En otras palabras, comenzamos. con i es igual a uno y tomamos dos para el único.
Y luego le sumamos dos a. dos, dos a tres, dos a cuatro, y dos a las cinco.Si hacemos la aritmética,

. esto da 62. En la segunda expresión, nuestro índice es J, y comenzamos fool J es igual a. tres y subimos hasta J es igual a siete, una vez más, pasando por valores enteros. Entonces tenemos.
que sumar 1/3 más 1/4, más 1/5, más uno, seis, y entonces nuestro último término es un siete. Esta suma es igual a 153, sobre 140. Cuando estamos dado un salmo como este, puede ser útil escribirlo.
en notación sigma, porque es Mas Compacto. Pero para hacerlo, tenemos que buscar.
el patrón entre los términos. En esto En este caso, todos los términos difieren en tres. Entonces puedo pensar que nueve es seis más tres, y 12, como seis más dos, tres, y 15.
como seis más tres por tres, y pronto. De hecho, podemos incluso pensar en el propio seis.
como seis más cero por tres para encajar este patrón. Ahora podemos escribir la suma como.
sigma de seis más i por tres, donde I varía de cero a cuatro. Aquí, estamos pensando en.
seis más tres como seis más uno por tres.Ahora bien,

existen otras formas de escribir esta notación.
de suma y sigma. Por ejemplo, podríamos observe que cada uno de los términos es múltiplo.
de tres. Y de hecho, seis es tres veces. dos, nueve es tres por tres, y así sucesivamente. Y entonces.
podríamos escribir nuestra suma como sigma de tres veces n, donde n varía de dos a seis. La.
elección de la letra que utilizamos para el El índice no importa en absoluto. Por ejemplo, también.
podríamos escribir esto como sigma de K es igual dos a seis de tres veces k.Aquí, k y n juegan.
el mismo papel. Por support pausa el video por un momento e intente escribir el siguiente ejemplo.
en notación sigma. Desde los denominadores child potencias de dos, podríamos escribir los denominadores.
como dos elevado a i, donde i varía de dos a cinco. Los numeradores kid uno menos que los denominadores,.
entonces podemos escribir los numeradores. como dos elevado a i menos uno, sumamos estos.
términos, escribimos sigma y vamos de dos a cinco. En este video clip, revisamos la notación.
de suma o notación sigma para escribir sumas. En este video, aproximaremos el área.
bajo una curva usando rectángulos altos y delgados, esto introducirá la concept de una important. Comencemos aproximando el área debajo esta curva y es igual a x al cuadrado entre x.
es igual a cero y x es igual a tres aproximando con seis rectángulos.Hay varias formas de hacer esto. Por ejemplo, podría. dibujar rectángulos para el lado derecho. de cada rectángulo es tan alto como la curva. Llamaremos. a esto usando puntos finales de escritura. Alternativamente, Podríamos alinear nuestros rectángulos, de modo que el lado. izquierdo de cada rectángulo sea tan alto como la curva. A este uso lo llamaremos puntos endings izquierdos. Observe. que el rectángulo más a la izquierda en esta imagen es degenerado y tiene altura cero. Si usamos. la imagen disadvantage los puntos finales correctos, entonces la base de cada rectángulo tiene un tamaño. de la mitad.Y la altura de cada rectángulo es dado por el valor de nuestra función, y es igual a. x al cuadrado en el lado derecho del rectángulo. Entonces, por ejemplo, el área del primer rectángulo es. su base multiplicada por su altura, que es el punto cinco veces 0,5 al cuadrado. El 0,5 al cuadrado proviene. de mí evaluando la función en este punto. 0,5 para obtener la altura.
De manera similar, el. área del segundo rectángulo también será base por base de altura, todavía punto cinco,. y ahora la altura va a ser uno al cuadrado, o uno.
Si continuamos así y sumamos todas nuestras. áreas, obtenemos el área de los seis.
Esto funciona porque los números. entre paréntesis aquí kid todos múltiplos del punto cinco.El primero es punto cinco.
por uno, y el último, tres es punto cinco por seis. Ahora, si calculamos la

suma,. obtenemos 91 octavos, que es 11,375. Aviso de la imagen, que la suma de
las áreas de los. rectángulos es una sobreestimación del área debajo de la curva, podemos hacer el mismo tipo de. cálculo para esta imagen verde usando la izquierda puntos endings, y obtendremos una subestimación. para el área bajo la curva, los invito Pruébalo tú mismo antes de continuar con el vídeo. Para los rectángulos verdes, el primero rectángulo tiene área cero, el segundo rectángulo. tiene área dada por su base de 0,5 veces su altura de 0,5 al cuadrado.
Y si calculamos las seis áreas. Y luego, para la altura, usamos 0,5 veces I. menos uno, al cuadrado. Esto funciona porque cuando i es uno, i menos uno.
El área del rectángulo de. Mientras se da la altura por el valiance de las funciones en el punto last derecho, el.
Luego.

se puede dar el área de todos los rectángulos. por la suma de i es igual a uno a 12 para los. 12 rectángulos de 0,25 por 0,25 i al cuadrado. Si calculamos esa suma, resulta 10,156.
De nuevo,. Y ahora la altura viene dada por el. Entonces el área de todos los rectángulos juntos será la suma desde el guide rectángulo.
Ahora es En algún lugar entre ocho y diez, podemos seguir. obteniendo estimaciones cada vez mejores
. de área usando más y más rectángulos. Por. ejemplo, si queremos usar 100 rectángulos, entonces nuestra área de todos los rectángulos que usan. puntos finales derechos estará dada por la suma desde i es igual a uno a 100 de la base por las. alturas. Ahora la base de cada rectángulo. será 100 de la longitud aquí de cero a tres. En otras palabras, la base será tres más de 100. El punto last derecho del ojo, al.
que llamaré X sub i, será solo tres más 100 veces I, ya que se llega al punto last de amenaza.
del ojo derecho tomando copias de un rectángulo de ancho tres centésimas.Por lo tanto, la.

altura de los ojos va a estar dada por esto. es el extremo derecho al cuadrado, o tres centésimas por i al. cuadrado. Entonces podemos escribir nuestra suma de áreas como sigma de i es igual a uno a 100.
de tres centésimos por tres centésimos multiplicado por el cuadrado. La fórmula que utiliza puntos finales.
Estos dos salmos funcionan resultaron ser 9.1435
y 8.8654. Pero para determinar exactamente Área segura, hagamos este proceso de dividir. Y esta vez, Solo usaremos rectángulos donde n es un número.

Y nos dicen que la posición inicial s de cero es 30 metros. Sustituyendo C por uno en 20, puedo reescribir s. primo de t. Ahora puedo encontrar f de t, la primitiva. En un vídeo former, dije el hecho de que si f de x es una antiderivada de una función, poco.
Aviso de la imagen, que la suma de
las áreas de los. Entonces podemos escribir nuestra suma de áreas como sigma de i es igual a uno a 100.Ya que estamos dividiendo un intervalo de longitud tres en n pequeños trozos, el ancho
de cada subintervalo, en otras palabras, la base de cada rectángulo, nos dará tres
sobre n.Llamaré a este delta x como un poquito de x. Ahora el punto final derecho, x by
está dado por tres sobre n veces i. Desde tenemos que viajar a través de I rectángulos, cada
uno de ancho tres sobre n para llegar a ese punto final derecho. Entonces nuestra altura, H sub i,
está dada por el valiance de las funciones a la derecha punto last. Podemos encontrar expresiones similares para
la imagen usando puntos endings izquierdos aquí. Nuestra estimación del área utilizando puntos extremos derechos
es entonces la suma de i es igual a uno an de tres sobre n por tres I sobre n al cuadrado.Y nuestra estimación utilizando puntos finales izquierdos es una la suma de i es igual a uno an de tres sobre n multiplicado por tres, i menos uno partido por n al cuadrado, la Cuantos más rectángulos usemos, en otras palabras, cuanto mayor sea el valor de n, más se acercará nuestra estimación. El área será nuestra área exacta bajo la curva. Y.
por lo tanto, el área exacta está dada por el límite el límite cuando n va al infinito.
de esta canción, que se conoce como Riemann suma, En realidad, hay dos límites posibles: podríamos usar puntos.
De hecho, hay otras opciones entre lados usando puntos endings.
para calcular nuestras áreas de rectángulos. Y eso El límite también debería terminar siendo lo mismo. Entonces tenemos una expresión para el área bajo la curva y es igual a x al cuadrado Entre los los valores de x son uno y x child tres. Y eso.
está dado por el límite de este salmo. llamada suma de Riemann. Me quedaré con la versión.
de punto final correcta por ahora, para calcular el área exacta, tenemos que evaluar este límite,.
lo cual es complicado. Voy a empezar reescribiendo. Dado que tres y n no involucran el índice.
I, puedo sacarlos de esta suma firmar. Limpiaré esto un poco. Ahora necesitarás.
usar el hecho de que la suma de los primeros n cuadrados de los números enteros.
es igual a n por n más uno por dos n más uno más de seis, podemos verificar esa fórmula para algunos valores.
de n.Por ejemplo, si n es igual a dos, estamos sumando uno al cuadrado más dos al cuadrado,.
que es cinco. Y nos estamos conectando dos veces dos más uno por cuatro más uno partido por seis.
de la fórmula, que también es igual a cinco. Si usamos esta fórmula, en nuestro cálculo de límites,.
obtenemos esta expresión, que se simplifica a nueve mitades, dividiendo 27 entre seis, podemos cancelar.
una copia de n y obtener n más uno veces dos n más uno sobre n al cuadrado. Voy a.
sacar las nueve mitades. Y ahora observo Tengo el límite de una expresión racional, donde.
el término de mayor potencia en el numerador Serán dos n al cuadrado, el poder más alto.
y hay nominadores solo de n al cuadrado, entonces ese será un límite de dos, lo multiplicamos.
por nueve mitades y obtengo un límite de nueve, tal como esperaba del trabajo anterior.Entonces.

esa fue una grandmother producción. Pero nosotros Encontró fool éxito el área debajo de la curva,.
y age nueve. En este vídeo, nos aproximamos el área bajo una curva tomando el límite cuando.
el número de rectángulos llega al infinito del área de los rectángulos, que viene dada por.
un salmo llamado suma de Riemann de la base multiplicado por las alturas de los rectángulos. Las.
bases suelen escribirse como delta x y las alturas están dados por el valiance de la función en el punto last.
izquierdo, o en el punto last derecho, o algún otro punto en el intervalo. Para nuestros propósitos, f.
siempre fue x al cuadrado. Pero este tipo de expresión, llamada suma de Riemann, se puede usar de manera más general.
para evaluar el área bajo cualquier función.En secciones

anteriores, pensamos.
que la integral definida representa el área, y lo hemos calculado como un número. En esta.
sección, pensaremos en la indispensable misma. en función de los límites de la integración. Y describiremos la primera parte de los fundamentos. Teorema que relaciona la derivada y la indispensable. Supongamos que.
f de x tiene la gráfica que se muestra aquí, y sea g de x la essential de uno a x de f de.
t dt.Estoy usando t como mi variable dentro mi integrando Aquí, sólo para distinguirlo.
de la variable x que estoy usando en mis límites de integración, esta expresión solo significa.
el área neta entre uno y algún valiance x en el eje x. Llamaré geovax, la función de área acumulada,.
porque a medida que x aumenta, g de x, mide cuánta área neta se ha acumulado. Calculemos.
y grafiquemos algunos valores de g. de x. g de uno es la important de uno a uno de.
f de t, dt, eso es simplemente cero. Desde los límites de integración aquí son los mismos,.
g de dos es la integral de uno a dos de f de t, dt. Esa es el área neta de uno a dos,.
que está en unidades cuadradas. g de tres es la important de uno a tres. Ahora, hemos agregado.
dos unidades adicionales aquí, y una unidad adicional aquí arriba de este triángulo, para.
un total de cinco, g de cuatro es g de tres disadvantage un área adicional agregada en el adicional El área mide tres unidades.Entonces g de cuatro

. es ocho.
Por support pausa el video y completa los siguientes valores de J. Cuando pasamos de g de cuatro a g de cinco, agregamos.
una unidad additional de área. Entonces g de cinco es nueve. A medida que pasamos de g de cinco a g de seis,.
comenzamos a acumular área negativa, porque f ahora está debajo del eje x. Entonces aquí he acumulado una.
unidad de área negativa, lo que significa que g de seis es uno menos que g de cinco. En otras palabras,.
gf seis es ocho, g de siete es cinco. Como acumulamos tres unidades más de área negativa,.
para encontrar g de cero, la essential de uno a cero de f de t dt, voy a reescribir esta.
integral como negativa la important de cero a uno de f de t dt.Como hay

dos unidades.
de área entre cero y uno, g de cero es negativo para aplicar todos estos valores.
de G en estos ejes de coordenadas, y conectar los puntos para tener una idea de cómo se ve.
g de x. Ahora pensemos en la derivada. g primo de x. Sabemos que g prima de x es positiva,.
donde g de x es creciente, pero g de x aumenta, dondequiera que agreguemos un área.
positiva, es decir, cuando f de x es positiva. Entonces tenemos que g prima de x es positiva,.
donde f es x es positiva. También, g prima de x es negativa, donde g de x es decreciente. Eso sucede cuando estamos agregando en un área negativa porque f de x es negativa. Entonces.
podemos ver que g prima de x es negativa, donde f de x es negativo. Además, g primo es.
cero en este máximo local, donde f es cero.En ese instante, no estamos agregando nada positivo o. negativo.
área. Si miramos un poco más de cerca, podemos ver.
que la tasa a la que g de x aumenta depende sobre la altura de f de x. Cuando f de x es alto,.
o alto, agregamos área muy rápidamente. Mientras que cuando f de x es bajo o pequeño, agregamos.
área más lentamente. Entonces la tasa de cambio de G. En otras palabras, g prima de x se comporta de manera.
muy parecida a la función f de x misma. Y de hecho, resulta que g prima de x es igual.
a f de x. Ésta es la primera parte del teorema fundamental del cálculo. El teorema essential del cálculo, primera parte,.
dice que de f de x es una función continua en el intervalo cerrado de a a b, entonces para cualquier.
x en este intervalo, la función g de x, la essential de a a x de f de t dt es continua.
en el intervalo a b y diferenciable en el interior de este intervalo, y para Además, g.
prima de x es igual a f de x, como vimos en el ejemplo anterior.La prueba de este hecho. se basa en una definición
límite de derivada, y se puede encontrar en un vídeo posterior. Por ahora, hagamos.
algunos ejemplos basados en este hecho. Primero, encontremos la derivada con respecto.
a x de la indispensable de cinco a x de la raíz cuadrada de t al cuadrado más tres dt. El.
teorema fundamental del cálculo nos dice que esta expresión aquí considerada como una función.
de x es diferenciable, y su derivada es solo la función integrando evaluada en x. Esto.
es genial, no tenemos que hacer nada. trabajar aquí en absoluto. Para evaluar la derivada, simplemente.
reemplazamos x, donde vemos la T aquí, la derivada y la segunda expresión también es.
la raíz cuadrada de x al cuadrado más tres, Puede parecer extraño que estas dos expresiones.
tengan la misma derivada. Pero recuerda, en En ambos casos, estamos tomando la derivada de.
Eso es, no depende de dónde empecemos a contar, solo.
la important de x a cuatro es lo mismo como el negativo de la essential de cuatro a x. Entonces obtenemos el negativo de la derivada. de cuatro a x. y aplicando el teorema fundamental.
del cálculo, esta lección es negativa la raíz cuadrada de x al cuadrado más tres, tiene.
Entonces nuestra función de área. Y luego el La derivada del seno x, por supuesto, es simplemente coseno de. Este video clip presentó el teorema fundamental del.
Este vídeo presenta la segunda parte de los fundamentos. Otra forma de relacionar. Y esa prueba la daré en otro video.
Si Si pensamos en f de x como la derivada del capital F. de x, entonces esto quiere decir que la essential de la derivada es igual a la función original. Supongamos que G resources de X es una antiderivada diferente para F minúscula. Entonces si tomamos g de b menos g de a,
eso será lo mismo que f de.
Encontrar. Calcular integrales utilizando la definición de. Y así porque del teorema basic del cálculo, no.
En este guide ejemplo, la. Y la primitiva de menos cuatro sobre x es menos.
general, pero realmente no la necesitamos. El teorema basic dice que podemos usar cualquier. antiderivada, por lo que también podríamos usar el más simple, donde c es igual a cero.
Ahora. necesitamos evaluar esta antiderivada en los puntos finales de menos uno y menos cinco.
Y normalmente escribimos esto como upright. línea disadvantage un uno negativo en la parte inferior y un cinco. negativo en la parte remarkable para indicar la evaluación.En otras palabras, la notación mayúscula F de X entre A y B significa capital F de b menos capital. F de A, que es lo que necesitamos para calcular para nuestra antiderivada aquí. Así que ahora simplemente. reemplazamos menos cinco por
x y luego restamos lo que obtenemos cuando conectamos uno negativo para. x. En este ejemplo, puedes ver por qué es importante escribir la primitiva de uno sobre x como. ln valor absoluto de x y no solo ln de x, porque en el valiance absoluto de cinco, que es en. un cinco, en realidad tiene una respuesta, mientras que l de menos cinco no existiría. Puedo simplificar un poco esta expresión, Obtengo menos 125 menos cuatro ln cinco menos.
menos uno, más cuatro ln de uno.Desde en de uno es cero, esto se vuelve negativo 124 menos. cuatro en cinco. eso es casi negativo 130 punto 438. En el siguiente ejemplo, necesitamos.
encontrar la antiderivada de esta

expresión y al cuadrado menos y más uno sobre la raíz cuadrada.
Ahora no podemos tomar la antiderivada. Así que tampoco. En lugar de eso, intentemos simplificar esta expresión.
Entonces voy a reescribir.
mitad negativa. Eso es algo que yo podemos tomar la antiderivada de simplemente usar.
Ahora cuatro a las cinco mitades es lo mismo que cuatro elevado a la mitad elevado a la quinta. De manera comparable, para las tres mitades es. Y después de un poco de aritmética, obtengo una respuesta.
important de la derivada es igual a la función original evaluada en los
límites de integración. En este vídeo te lo demostraré. ambas partes del teorema fundamental del cálculo. La. primera parte del teorema basic. del cálculo dice que si f de x es una función continua,. entonces la función g de x definida como la indispensable de una constante A a la variable. x de f de t dt es diferenciable y tiene derivada igual a la función initial, f de x. Para demostrar este teorema, comencemos fool la.
Por propiedades de integrales

. La essential de. a a x más h menos la essential de a a x es solo la indispensable de x a x más h. Ahora. de manera casual, la important de x a x
más h se puede aproximar mucho mediante un rectángulo. delgado con altura, f de x y ancho, H. Y entonces este límite es aproximadamente el límite cuando. h llega a cero de f de x multiplicado por h sobre h, que es justo f de x. Pero hagamos este argumento. un poco más preciso. vamos a dejar capital M sea el valiance máximo que f de x alcanza. en este pequeño subintervalo, y m minúscula será el valiance mínimo alcanzado. En esta imagen, ocurren en los puntos finales.Del intervalo de x a x más h, pero también podrían. ocurrir en algún lugar del inside.

Pero sabemos que f de x tiene que tener un. valor mínimo y un valiance máximo, ya que es una función continua por supuesto en un intervalo. cerrado. Ahora sabemos que la essential de f de t dt de x a x más h tiene que ser menor.
Pero El teorema del valor intermedio, que se cumple para.
todas las funciones continuas, dice que esto Debe alcanzarse el valor intermedio que se encuentra.
entre el valiance mínimo y máximo de f.Como f de c para algún C en el intervalo. Por lo tanto,.
no puedo reemplazar esta indispensable en el límite. expresión anterior simplemente por el valor. f de c para alguna c entre x y x más h. El valiance de C aquí depende de x y h. Pero cuando. h tiende a cero, C tiene que acercarse y más cerca de x. Y como f es continua, esto significa. que este límite es igual a f de x.

Pero este tipo de expresión, llamada suma de Riemann, se puede usar de manera más general.
A medida que pasamos de g de cinco a g de seis,.
Si Si pensamos en f de x como la derivada del funding F. de x, entonces esto quiere decir que la integral de la derivada es igual a la función initial. Entonces si tomamos g de b menos g de a,
eso será lo mismo que f de. Ahora sabemos que la indispensable de f de t dt de x a x más h tiene que ser menor.Ahora hemos demostrado la primera parte del teorema basic
del cálculo, que la derivada de g existe y es igual a f de x. La segunda parte
del teorema essential del cálculo dice que si f es continua, entonces la integral
de a a b de f de x dx es igual a la primitiva de F minúscula, que denotaré por F mayúscula,
evaluada en B menos esa antiderivada evaluado hoy. La segunda parte del teorema fundamental
se deriva directamente de la primera.Vamos definamos g de x como la important de a a x.
de f de t dt. Luego la primera parte del El teorema fundamental del cálculo nos dice que g.
primo de x existe y es igual a f minúscula. de x. En otras palabras, la G mayúscula es una antiderivada.
de una F minúscula. Ahora g de menos g de A es, por definición, la important de a a.
b de f de t dt menos la indispensable de a de a a a de f de t dt. La segunda essential es cero,.
ya que los límites de la integración son idéntico. Entonces la segunda parte del teorema.
basic del cálculo es cierta si uso la primitiva resources GRAMO. Pero se supone que el teorema es cierto para cualquier.
antiderivada. Así que dejemos que la F mayúscula sea cualquier antiderivada de F minúscula, sabemos que.
el resources F de x tiene que ser igual al resources G de X más alguna constante, ya que dos primitivas cualesquiera.
para la misma función difieren en una constante, y por lo tanto, el capital F de b menos el capital.
F de A va a ser igual al resources G de B más C menos G capital de A más C.La constante.
C se cancela y solo obtenemos G resources de b menos G mayúscula de A, que ya vimos age.
igual a la integral de a a b de minúscula f de tdt. Entonces el lado izquierdo de esta ecuación.
es igual al lado derecho. Y lo basic Teorema de cálculo La segunda parte se demuestra para.
cualquier antiderivada. Esto completa la prueba. del teorema essential del cálculo. Este vídeo.
trata sobre el método de sustitución de evaluación de integrales, también conocida como sustitución.
u. Como guide ejemplo, intentemos integrar a x seno de x al cuadrado dx. Ahora el seno de x al cuadrado.
es la composición de la función seno y la función x al cuadrado. Y observe que la función.
x al cuadrado tiene derivada de x, que está sentado aquí y el integrando. voy a.
hacer la sustitución u es igual a x al cuadrado, y luego escribiré d u es igual.
a 2x dx. Esa es notación diferencial. A encontrar d u, tomo la derivada tengo X al cuadrado.
y luego multiplico por el diferencial dx, Entonces puedo reescribir el integrando como seno de u. Y el 2x.

Dx se convierte en do después de hacer esta sustitución, puedo integrar, porque.
la primitiva del seno de u es negativa coseno de u. Y agregaré la constante de integración. Aún no he terminado, mi initial. El problema estaba en términos de x, y ahora tengo una.
función en términos de u. Así que sustituyamos De nuevo, dado que u es igual a x al cuadrado, puedo.
reemplazarlo y tengo mi respuesta last. Para comprobar que esta respuesta last es correcta,.
que realmente es la antiderivada de lo que comenzamos, tomemos la derivada de nuestra.
respuesta y asegurémonos de recuperar la función para x seno de x al cuadrado.Si tomamos la

derivada del coseno negativo de.
x al cuadrado más C, obtenemos la derivada de una constante es cero, entonces tenemos la derivada.
del coseno negativo, que es igual al seno de la función interna x al cuadrado multiplicada por la derivada.
de la función interna usando la regla de la cadena. Y, de hecho, volvemos al integrando disadvantage el.
que empezamos. Observe que utilizamos el regla de la cadena al tomar la derivada para comprobar nuestra.
Cuando busques qué.
También es lo suficientemente bueno tener simplemente un múltiplo constante de la derivada en. el integrando.
Entonces, en el primer ejemplo, Podríamos usar el trozo uno más 3x al cuadrado,.
como tú. La derivada de esa expresión. es seis veces x. Y aunque seis por x no está completamente.
en el integrando, sí lo hacemos tener un factor de x en el numerador, eso.
es solo un múltiplo constante de la derivada de 6x.

Así que escribamos d u, que será.
6x dx. Y voy a seguir adelante y reescribe esto como x dx es igual a uno seis d U. Al escribirlo de esta manera, será más fácil sustituir uno seis d u por x dx. Y luego en.
mi denominador, mi uno más 3x al cuadrado se convierte en ud. Puedo reescribir esto como uno seis.
veces la important de uno sobre u d u tú y reconozco que la primitiva de uno sobre u es el valor.
absoluto de u. Sustituyendo de nuevo en para ti, obtengo una respuesta final de uno seis en.
valiance absoluto de uno más 3x al cuadrado, más Por ejemplo, los signos de valiance absoluto no kid realmente.
necesarios en este ejemplo, ya que uno más 3x al cuadrado siempre es positivo.Como nuestro.

siguiente ejemplo, veamos la important de e a el 7x dx. un trozo disadvantage nosotros aquí es u es igual a.
7x. Si hacemos eso, entonces d u es solo siete dx. Y entonces tenemos que dx es igual a 1/7, sustituyendo.
tenemos la essential de e elevado a u veces 1/7 d u, puedo sacar el 1/7 e integrar e.
a la u en la aplicación, solo la U y sustituyendo 7x por back, obtengo e al 7x más.
C.Te animo a que hagas una pausa en el Vídeo para comprobar que estas dos respuestas.
Tomando derivados. Notarás que utilices la regla de la cadena cada vez.
hagamos un ejemplo disadvantage una essential definida, la indispensable de E a E al cuadrado de ln x sobre x.
dx. Si igualamos u a ln x, entonces d u es la derivada de ln x, que es uno de nuestros x multiplicado.
por dx.Esta es una opción mucho mejor de En lugar de decir establecer u igual a x del denominador,.
porque entonces d u sería simplemente dx. Y cuando hiciéramos la sustitución, nada cambiaría.
realmente. Para integrales definidas, Necesitamos abordar los límites de integración aquí.
Te mostraré la preocupación por ellos. Nuestros límites de integración E y E al cuadrado.
boy valores de Bax cuando convertimos todo en nuestra important de x a usted, necesitamos convertir.
los límites de integración de valores de x a valores de u también.Ahora, cuando x

es igual. a e, u es igual a ln IV, que es uno, justo usando esta ecuación. De manera similar, cuando x.
es igual a E al cuadrado, u es igual a ln t al cuadrado, que kid dos. Entonces, mientras reescribo mi.
important, reemplazaré los límites fool uno y dos. Y ahora mi ln x se convierte en mi u y mi dx.
dividido por x se convierte en mi do, van crecer de UD u es igual a usar al cuadrado sobre.
dos, y lo evalúo entre los límites de u es igual a dos y u es igual a uno para obtener dos al cuadrado.
partido entre dos menos uno al cuadrado partido entre dos, que es la mitad. Observe que cuando resolvimos el problema.
de esta manera, en realidad nunca tuvimos Para volver a nuestra variable x, nos quedamos en.
la variable u y evaluamos. la segunda manera La manera de abordar los límites de la integración.
es preocuparse por ellos más adelante.Volvamos al comienzo del

problema. Estamos a punto.
de sustituir u por ln x y d u es igual a uno partido por x dx. En lugar de sustituir.
los límites de la integración, voy a ignorarlos temporalmente y simplemente evaluar.
la important indefinida ln x sobre x dx, que Puedo sustituirlo como lo hace usted, podemos evaluarlo.
para elevarlo al cuadrado sobre dos. Normalmente tendríamos una constante más c. Pero dado que finalmente vamos a hacer un integral definida, realmente no necesitamos la constante.
aquí. Ahora, al igual que cuando estamos haciendo integrales indefinidas, voy a volver a la.
variable x sustituyendo nuevamente en para ti U es ln de x. Así que lo cuadrado y.
lo divido por dos, y luego puedo volver a mis límites de integración originales, esos límites.
child los valores x de E al cuadrado y E. en esos límites, obtengo ln de E al cuadrado cantidad al.
cuadrado sobre dos menos ln de E al cuadrado sobre dos, que se evalúa como dos al cuadrado sobre dos.
menos uno sobre dos, que nuevamente es la mitad. Este vídeo ofrece algunos ejemplos de uso de la sustitución.
para evaluar integrales.Este método funciona

muy bien en ejemplos como este, donde hay un fragmento. al que puedes llamar cuyo derivado o al menos un múltiplo constante de su derivada también. está en el integrando. Ya has visto cómo funciona la sustitución u en. la práctica. En este vídeo intentaré explicar por qué funciona. La sustitución se basa en la regla de la. cadena. Recuerde que la regla de la cadena dice si tomamos la derivada de una función, F mayúscula de. g minúscula de x
con respecto a x, tenemos obtener la derivada del capital F evaluada en la. función interna g de x multiplicada por la derivada de g de x. Si escribimos esa ecuación en el orden opuesto,. tenemos una expresión de la forma f prima de g de x multiplicada por g prima de x se. puede resumir como la derivada de un compuesto función, f de g de x.Ahora si tomo la indispensable de.

ambos lados de esta ecuación disadvantage respecto a x, en el lado derecho, estoy tomando la essential de un derivado. Bueno, la essential o primitiva de una derivada. es solo la función initial
, resources f de g de x más C. Ahora, cuando usamos sustitución,. en realidad solo estamos escribiendo esta ecuación hacia abajo. Estamos viendo una expresión. de la forma f prima de g de x por g prima de x dx, te reconocemos como g de x y d u como g primo.
de x dx.Entonces estamos

reescribiendo esta expresión como la essential de resources. F prima de u d u do y que integra a solo capital F de u más C. Y luego lo sustituiremos. nuevamente para obtener funding f de g de x más C, el principio y el final de. este proceso boy exactamente iguales que el lado izquierdo y lado derecho de nuestra expresión de regla. de cadena anterior. Entonces, cuando estás
haciendo tu sustitución para integrarse, se puede agradecer a esta regla de la cadena. que está detrás de todo. Este vídeo presenta la idea de un valor promedio de una función. Para. tomar el promedio de una lista finita de números, simplemente sumamos los números y dividimos por n,. el número de números.
En notación sumatoria, escribimos la suma de i es igual a uno an de Q. i todo dividido por n.
Pero definir el promedio El valor de una función continua es un poco diferente. Porque una función puede asumir infinitos valores en un intervalo de a a. b, podríamos estimar el valiance promedio de la función muestreándola en un Li finito y muchos. valores de x espaciados uniformemente.Llamaré ellos x uno hasta x n. Y supongamos que

están. separados por una distancia de delta x, entonces el valor promedio de f en estos puntos muestrales. es solo la suma de los valores de f dividido por n, el
número de valores están. en notación de suma, la suma de i es igual uno a n de f de x i todo dividido por n. Este. es un valor promedio aproximado de f, ya que solo estamos usando n puntos de muestra. Pero la aproximación. mejora a medida que aumenta el número de los puntos de muestra n se hacen cada vez más grandes. Entonces. podríamos definir el promedio como el límite como
n va al infinito del promedio muestral. Me gustaría. que esto se pareciera más a un Riemann.
Entonces necesito tener delta x allí. Entonces.
llega al infinito, delta x, la distancia entre ellos llegan a cero.Entonces puedo

reescribir mi límite.
como el límite cuando delta x llega a cero, de la suma de FX II multiplicada por delta x dividida por b menos.
a. Ahora el límite de esta suma de Riemann en el el numerador es simplemente la important de aab de.
f de x dx. Y entonces el valiance promedio de la función está dada por la important en el intervalo.
de a a b dividida por la longitud del intervalo. Observe la similitud entre la fórmula.
para el valor promedio de una función y la fórmula para el valor promedio de una.
lista de números, la integral de la función Corresponde al signo de suma de la lista.
de números.Y la duración del intervalo B menos A para la función corresponde a n,. el número de números en la lista de números. Ahora trabajemos con un ejemplo. Para la función g de. x es igual a uno partido por
uno menos 5x. Sobre el intervalo de dos a cinco, sabemos que el valiance.
promedio de G viene dado por la essential de dos a cinco de uno sobre uno menos 5x dx.
dividido por la duración de ese intervalo, Voy a utilizar la matrícula para integrar, así que.
voy a establecer u igual a uno menos 5x.

Entonces d u es menos cinco dx. En otras palabras,.
dx es negativo 1/5 de do. mirando mi límites de integración, cuando x es igual a.
dos, u es igual a uno menos cinco por dos, que es menos nueve. Y cuando x es igual a cinco, u es igual a menos 24. sustituyendo en mi essential, obtengo.
la essential de menos nueve a menos 24 de uno sobre u por menos 1/5. Hazlo y eso.
se divide por tres. Ahora dividiendo por tres es lo mismo que multiplicar por 1/3. Y a medida que.
integro, voy a sacar el 1/5 negativo y luego toma la indispensable de uno sobre u, que es.
ln del valor absoluto de u evaluado en entre menos 24 y menos nueve. Los signos de.
valiance absoluto boy importantes aquí porque me impiden intentar tomar el logaritmo natural de.
números negativos para evaluar obtener negativo 1/15 veces ln de 24 menos ln de nueve,.
puedo usar mis tiradas de registro para simplificar y obtenemos menos 1/15 ln de 24 sobre nueve,.
eso es menos 1/15 ln de ocho tercios, y como decimal, eso es aproximadamente negativo 0,0654. Entonces encontré el valiance promedio de G.Ahora mi

siguiente pregunta es: ¿ alcanza alguna vez.
ese valor promedio? En otras palabras, ¿ existe? ¿ un número c en el intervalo de dos a cinco para.
el cual la GFC es igual a su valor promedio? Bien, una forma de averiguarlo es simplemente establecer GFC igual.
al valor promedio de G. En otras palabras, establecer uno partido por uno menos cinco c igual a menos.
1/15 ln de ocho tercios, e intenta resolver para C. Hay muchas maneras de resolver esta.
Pero voy a tomar el recíproco. Esto simplifica a tres sobre ln de ocho tercios, más 1/5, que.
es aproximadamente 3,25. y ese valor de x se encuentra dentro del intervalo de dos a cinco. Entonces hemos demostrado que g logra su valor promedio durante el intervalo.Pero, de hecho,.
podríamos haber predicho que esto sería cierto. El valiance promedio de Gs debe estar en algún lugar entre.
el valiance mínimo y el valiance máximo de GS en este intervalo. Y como G es continua en el intervalo.
de dos a cinco, tiene que alcanzar cada valor que se encuentra entre el mínimo y.
el máximo, incluido su valor promedio. El mismo argumento muestra que para cualquier función.
continua, la función debe alcanzar su promedio valor en un intervalo. Y esto se conoce como teorema.
del valor medio para integrales. A saber, Para cualquier función continua f de x en un intervalo.
de a a b, tiene que haber al menos una número c, entre A y B, tal que f de c es igual.
a su valiance promedio, o, en símbolos, f de c es igual a la important de A b de f de x.
dx dividida por b menos a. Este vídeo dio la definición de un valiance promedio de una función y estableció.
Este video clip ofrece dos pruebas.
el teorema del valiance medio para integrales dice. que para la función continua f de x, definida en un intervalo de a a b, hay un número c. entre A y B, tal que f de c es igual al valor medio de
f.La primera prueba. que nos voy a dar es la intermedia.

teorema del valor. Recuerde que el teorema del valiance.
Teniendo en cuenta el teorema del valor. Ahora. Así como La función continua en un intervalo cerrado debe.
que llamaré m pequeña y M grande. Ahora sabemos. que el valiance promedio de F en el intervalo tiene que estar entre su valiance máximo y. su valor mínimo.
Si no crees esto, Considere el hecho de que todos los valores en el.
intervalo tienen que estar entre la grandmother M y pequeño m. Y si integramos esta desigualdad Obtenemos poco m multiplicado por b menos a es menor.
o igual que la integral de f es menor que o igual a M grande por b menos a. Observe que.
Ahora solo me falta aplicar el.

mis valores de f de x uno y f de x dos. el intermedio El teorema del valor dice que el promedio F se logra.
mediante f de c para algún C entre mi x uno y x dos.Y por lo tanto, para algún C en mi intervalo a.
b. Y eso demuestra el teorema del valiance medio. para integrales. Ahora voy a dar una segunda demostración.
del teorema del valor medio para integrales. Y esta vez, será como corolario del teorema.
del valiance medio regular para funciones. Recuerde que el teorema del valiance medio.
para funciones dice que si g de x es continuo en un intervalo cerrado, y diferenciable en el interior de ese intervalo,.
entonces hay algún número c en el intervalo, tal que la derivada de g en C es.
igual a la tasa de cambio promedio de G, a lo largo de todo el intervalo de a a b. Mantengamos.
el teorema del valor medio para funciones. en mente y volvamos nuestra atención al teorema.
del valiance medio para integrales. Voy definir una función g de x como la important.
de a a x de f de t dt, donde F es la función que se nos da en el enunciado del teorema del valiance.
medio para integrales.Observe que g de A es solo la essential de a a a, que es cero,.
mientras que g de B es la essential de a a b de nuestra función. Ahora, según el teorema fundamental.
del cálculo, nuestra función g de x es continua y diferenciable en el intervalo.
a, byg prima de x es igual a f de x.

Ahora g de menos g de A es, por definición, la essential de a a.
b de f de t dt menos la integral essential a de a a a de f de t dt. Recuerde que la regla de la cadena dice si tomamos la derivada de una función, F mayúscula de. Este vídeo presenta la concept de un valiance promedio de una función. En notación sumatoria, escribimos la suma de i es igual a uno an de Q. i todo dividido por n.
Pero definir el promedio El valor valiance una función continua es un poco diferente. Porque una función puede asumir infinitos valores en un intervalo de a a. b, podríamos estimar el valiance promedio de la función muestreándola en un Li finito y muchos.Y por el teorema del valor medio para funciones, sabemos
que g primo de c tiene que ser igual a g de b menos g de a sobre b menos a, para algunos números,
C y el intervalo a b, si sustituimos en los tres hechos anteriores, en nuestra ecuación a continuación,
obtenemos que f de c es igual a la indispensable de a a b de f de t dt menos cero sobre b menos a, que
es exactamente la conclusión a la que llegamos quería llegar.Esto muestra

que el teorema del
valiance medio para integrales es realmente el Teorema del valor medio para funciones donde nuestra
función es una important. Y esto completa la segunda prueba del teorema primary del valor para
Así que ahora he demostrado lo malo teorema de valiance para integrales de dos maneras diferentes. Y he usado muchos de los grandes teoremas.

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