Indeterminate: the hidden power of 0 divided by 0
Bienvenido a otro video clip de Mathologer. Hoy les hablaré acerca de estas expresiones de aquí. En la escuela les dicen que si no se alejan de ellas, entonces les espera un suplicio. Y en verdad, es una muy buena regla para pasarle a las masas para protegerlas del suicidio. Pero, si se para aquí, existe mucha matemática moderna que no es posible. Permítanme explicarles. Bien, entonces: ¿ Por qué les dicen que no pueden dividir 3 sobre 0? ¿ O que 0/0 está indefinido? Bueno, veamos algo con lo que nadie tiene problema-- 3/8.
En matemáticas, 3/8 solo representa la única solución de esta ecuación donde 8 veces x es igual a 3 Ok, entonces cambiemos 8 a 0 y veamos que pasa. Bueno, inmediatamente nos encontramos en problema porque no existe un numero que satisfaga la ecuación. Esta siempre mostrará que 0 es igual a 3 lo que es incorrecto. Entonces, llega a tener sentido el alejarse de estas situaciones como estas, ¿ cierto? ¿ Y que hay del 0/0? Bueno, aquí surge un problema distinto. Cada numero satisface esta ecuación, por lo que hay algo de problema. Alejemonos de esto. Entonces, para la mayoría de la gente, eso es todo lo que realmente necesitan saber, pero si se hubiera parado ahí en las matemáticas, no habría habido cálculo y nadie conocería a Isaac Newton. Sería triste, ¿ no? Ok, entonces, ¿ de que trata el cálculo? Cálculo es todo acerca de derivadas e integrales. Aquí he dibujado una función y queremos encontrar la derivada de la función en un cierto punto. Todos saben que esto es muy importante, pero tiene una interpretación geométrica muy simple.La interpretación es, la derivada aquí es la pendiente de la recta tangente. Ahora, solo viendo la función, no es claro cual sería la pendiente. Lo que es fácil de calcular es la pendiente de una recta secante como esta. Y luego, la suggestion es: si muevo estos dos puntos de intersección hasta juntarlos, entonces mientras más juntos están, más cerca estará la recta secante de ser tangente, y lo más cerca estará la pendiente de la recta secante de ser la pendiente que estoy buscando. Ok, entonces, ¿ cómo calculo la pendiente de las rectas secantes? Bueno, podemos inmediatemente ver cual es la altura y cual es el ancho y luego tenemos la pendiente que es altura dividida por ancho, obvio. Pero ahora vemos que pasa cuando acerco los puntos de intersección.Ambos, altura y ancho tienden a cero, entonces, la pendiente tiende al prohibido: 0/0. Pero ahora, no pasa nada dreadful. Esperarían que algo terrible fuera a pasar, pero no es así. Estamos solo aproximándonos más y más a la pendiente de la recta tangente. Esto parece un poco extraño, pero solo recuerden: la ecuación correspondiente a 0/0 tiene todos los números por solución, entonces lo que realmente ocurre aquí, es que hemos establecido un contexto, un pequeño contexto en el cual 0/0 representa un valor numérico y, podemos ver que conforme el contexto varía, obtenemos distintos números. Veamos un ejemplo específico. Calculemos la derivada de x ^ 2 en x = 1/2. Bueno tenemos que ver a que corresponde el ancho y la altura. El ancho llamémoslo w, de forma que nos entregue un segundo valiance. Ahora, evaluamos la función en los dos valores. Esto nos da (1/2)^ 2 y (1/2 + w)^ 2 Ahora, la altura es la diferencia entre los dos valores anteriores, es decir, esto de aquí. Expandiendo, notamos que estos dos se cancelan y obtenemos la altura, y disadvantage esta obtenemos la pendiente y pueden ver esta en el numerador tiende a 0 y en el denominador tiende a 0 PERO, mientras no estemos cerca de x = 0 podemos cancelar las '' w ', y esto nos da esta amigable expresión de aquí y solo por verla es completamente obvio cual es el límite de esta expresión a medida que w se acerca a 0.
Esa es la pendiente que buscamos. Esto significa que la derivada de x ^ 2 en x=1/2 es igual a 1, ¿ no es esto bueno? Ahora, 1/2 no es muy specific aquí. Podríamos haber usado cualquier valor inicial aquí, y si hubiéramos hecho eso habríamos encontrado que la derivada de x ^ 2 es 2x. Entonces, una vez que lo hemos encontrado tenemos todo este asunto bajo control en relación al cálculo. Bien, entonces escribimos esto como esto otro en los libros de cálculo y, de hecho, si ves detenidamente puedes encontrar que ese 2 no tiene nada de especial. Podemos haber hecho lo mismo para el 3 y deberían probarlo, o para el 4 o para el 5, o para cualquier entero positivo, nada especial. Y ahora hacemos lo mismo y hacemos una gran tabla de derivadas para todas las funciones que nos interesen- Así, tenemos todo en un mismo lugar, gracias al 0/0, ¿ genial no? Entonces, esta manzana que golpeó a Newton en un punto del tiempo y lo hizo inventar el cálculo fue definitivamente el 0/0.
Antes de seguir, y quizás no crean nada de lo que he dicho hasta este punto, preguntemos a nuestro smartphone que es 0/0. Entonces, Siri ... Es entretenido, pero ahora, también les prometí todos estos. Es muy importante hacerle sentido a estos y que de hecho se hace en los libros de cálculo en el capítulo de "" formas indeterminadas"" y si les dan un vistazo pueden encontrar los coeficientes de la pendiete que hemos visto hasta el momento son en realidad una encarnación especial de este tipo de setup. Entonces, se tiene un cociente de dos funciones g y h dependientes de una variable, en este caso "" t"".
Y a medida que la variable se acerca a un valor crítico, ambas funciones, g y h, se acercan a 0. Cada vez que se obtiene algo en lo que ocurra algo como esto, se dice que el cociente tiene forma indeterminada 0/0 en el valor crítico y, de hecho, mejor digo que el valor crítico puede ser también infinito, así t puede también ir a infinito. Lo que hace que todo esto sea indeterminado, bueno, solo mirando la información que tenemos por el momento, no es del todo claro que hace el cociente a medida que nos acercamos al valiance crítico. Podría tender a un valiance específico, podría ir a infinito, o podría hacer nada razonable. Por otro lado, se sabe que si se fuera a considerar el producto no es necesario saber nada acerca de g y h exceptuando que ambos tienden a 0 para concluir que el producto tenderá a 0 e incluso Siri sabe acerca de la indeterminación Así que si preguntas acerca de cualquiera de estas expresiones extrañas que les mostré, Siri les dirá que boy todas indeterminadas. Así que veamos un ejemplo, 1 elevado a infinito.Infinito, y debo de verdad decir eso, en cálculo essential nunca se da a entender como algún tipo de número. Siempre se da por un tipo de función o proceso que va a infinito. El mismo tipo aquí. Ambos 1 e infinito de hecho representan funciones. La primera tiende a 1, y la segunda tiende a infinito, a medida que t tiende al valiance crítico. Y este también es indeterminado. Significando que si no sabes de que se está hablando, de que g y de que h estás hablando, la función g elevada a la función h tienden a cualquier tipo de valiance finito o podría ir a infinito, o podría ir a cualquier valor que quieras.Ok, entonces, aquí hay un ejemplo famoso de algo por el estilo: (1 +1/ t)^ t. Aquí el valor crítico es infinito. Así que, a medida que t se hace más y más grande, y a medida que ocurre esto, 1/t se acerca al valiance 0, y así todo el cuadrado naranjo irá tendiendo a 1, y por supuesto, el exponente se acercará a infinito. Es muy muy importante decir que no puedes hacer primero un límite y después el otro. En verdad es la velocidad a la que una expresión tiende a 1 y la otra va a infinito la cual determina el comportamiento de la expresión completa. En este caso, se acerca a este valor de aquí, muy famoso, es la base del logaritmo natural, e, y hay un video que hice acerca de esta forma indeterminada. Quizá veanlo otra vez una vez terminen este video. Y echamos un vistazo a esto y ustedes piensan que bueno, hace sentido que todas estas para estas extrañas expresiones hay que inventar un montón de diferentes tipos de matemáticas.Pero de resemble, resulta que
todas estas expresiones, y esto realmente sorprende a mucha mucha gente, son solo 0/0 en secreto. Entonces, todas estas expresiones pueden ser reducidas a la consideración de 0/0. Quiero mostrarles como funciona para 1 elevado a infinito. Entonces, de nuevo, esto solo corresponde a esto. Ahora, todo esto es igual a e ^ ln(expresión) Y ahora estamos trabajando con un logaritmo, así que podemos sacar el exponente afuera al frente del logaritmo, como esto. g va a 1. Ahora, ln( 1) es 0. Esto significa que todo esto va a 0. h va a infinito, pero también podemos escribir todo el exponente de esta forma y luego, el 1/h va a 0. Entonces, lo que hemos hecho ahora es basicamente reducir 1 elevado a infinito a 0/0:-RRB- Genial ¿ no? Y podemos hacer esto para todas las otras. Hasta ahora, aparte de este simple ejemplo de x ^ 2 no hemos descubierto ninguna otra expresión. ¿ Cómo hacemos esto en la práctica? Lo que he tratado de decir aquí es que la manzana que golpeó a Newton period en realidad la manzana 0/0.
La manzana 0/0 hace el cálculo, pero también se puede ir por otro lado. Una vez obtenido el cálculo se puede encontrar el 0/0 disadvantage él. ¿ Cómo funciona esto? Bueno, eso es un poco de magia llamada Regla de l'' Hôpital. Entonces aquí hay una forma indeterminada 0/0 en 1. Si hacemos tender t a 1, ambos, numerador y denominador van a 0 y ahora, ¿ cómo encontramos hacia donde es que la expresión completa va? Podrían tratar evaluar esta expresión a valores de t muy cercanos a 1, una estrategia válida. Pero de hecho hay un muy buen atajo. Lo que deben hacer es tomar el numerador y encontrar la derivada y tomar el denominador y encontrar la derivada.Entonces, la derivada de
lo de arriba es 1/t y la derivada de lo de abajo es simplemente 1 y podemos ver que pasará a esta expresión a medida que t tiende al valor crítico (t=1). Por supuesto, no ocurre nada dreadful aquí, pues todo esto se hace 1, ¿ cierto? Y ahora, si las funciones disadvantage las que estamos lidiando aquí boy amigables, diferenciables, busquen los detalles en un texto de cálculo, entonces podemos concluir que en esta etapa, lo que en verdad estamos interesados también va a 1. Un muy buen truco. Así que, resumiendo, lo que hemos visto es que para dar sentido a 0/0 en cálculo solo es necesario poner en un contexto especial y buscar los ceros. El mismo tipo de cosas si quieres dar sentido a 3/0.
También se hace acercando más y más al 0 y por supuesto ustedes saben que las cosas explotan y, ustedes saben, pueden hacer sentido de esto de esta forma. Pero eso no es el fin de todo. En niveles más altos de cálculo de hecho hace sentido tratar el infinito como un numero y hay que escribir ecuaciones como 3/0 es igual a infinito y de verdad lo quieres decir. Así que estas cosas no representan ningún tipo de funciones, de verdad representan para ti, ya saben, 3 como número dividido por 0 como número igual a infinito (o algo) como un número.En otras ramas de
la matemática a veces encuentras de de hecho hace sentido dejar 0/0 igual a 1. Pero eso es un tema para otro video, así que mejor dejemos la idea ahí por el momento.
Cada vez que se obtiene algo en lo que ocurra algo como esto, se dice que el cociente tiene forma indeterminada 0/0 en el valiance crítico y, de hecho, mejor digo que el valor crítico puede ser también infinito, así t puede también ir a infinito. Lo que hace que todo esto sea indeterminado, bueno, solo mirando la información que tenemos por el momento, no es del todo claro que hace el cociente a medida que nos acercamos al valiance crítico. Por otro lado, se sabe que si se fuera a considerar el producto no es necesario saber nada acerca de g y h exceptuando que ambos tienden a 0 para concluir que el producto tenderá a 0 e incluso Siri sabe acerca de la indeterminación Así que si preguntas acerca de cualquiera de estas expresiones extrañas que les mostré, Siri les dirá que kid todas indeterminadas. Significando que si no sabes de que se está hablando, de que g y de que h estás hablando, la función g elevada a la función h tienden a cualquier tipo de valor finito o podría ir a infinito, o podría ir a cualquier valor que quieras.Ok, entonces, aquí hay un ejemplo famoso de algo por el estilo: (1 +1/ t)^ t. Aquí el valiance crítico es infinito. Y ahora, si las funciones disadvantage las que estamos lidiando aquí boy amigables, diferenciables, busquen los detalles en un texto de cálculo, entonces podemos concluir que en esta etapa, lo que en verdad estamos interesados también va a 1.